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Achsensymmetrische Figuren 11:53 min

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Transkript Achsensymmetrische Figuren

Hallo und herzlich willkommen zur Geometrie. Dieses Video heißt "Achsensymmetrische Figuren". Ihr wisst schon, was Punkt, Gerade, Strecke, Winkel und Längeneinheiten sind. Nachher könnt Ihr achsensymmetrische Figuren erkennen und ihre Eigenschaften erklären. Das Video besteht aus fünf Abschnitten. Erstens: Irgendwie regelmäßig. Zweitens: Wir basteln. Drittens: Zeichnen geht auch. Viertens: Achsensymmetrie. Und fünftens: Eine nützliche Idee. Erstens: Irgendwie regelmäßig. Schaut Euch einmal bitte diese geometrischen Figuren an. Was fällt Euch dazu ein? Vielleicht werdet Ihr solche Begriffe nennen: Regelmäßig, gleichmäßig, ausgewogen, harmonisch. Mathematischer klingt dann so etwas: Spiegelbildlich, spiegelgleich, spiegelungsgleich oder gar symmetrisch. Der Fachbegriff für dieses Aussehen ist "achsensymmetrisch". Zweitens: Wir basteln. Achsensymmetrische Figuren zu basteln, ist gar nicht so schwer. Wir benötigen dafür einen Bogen Papier. Am besten bunt. Und eine Schere. Das Papier wird in der Mitte gefaltet. So ist es schön. Und nun schneiden wir eine Figur. Aber aufgepasst, an der Seite, wo wir gefaltet haben. Das ist wichtig. Schnibbel di schnabbel die Scher und fertig ist das, richtig, Viereck. Die Stelle der Faltung werde ich nun markieren. So sieht es aus, unser Viereck. Und nun zur nächsten Figur. Ich falte und schneide. Und fertig ist das, richtig, Sechseck. Schnell noch die Faltungslinie markiert. Und weiter geht es. Ich falte und schneide. Aha. Ein Herz. Hübsch. Schnell noch die Faltungslinie markiert. So sieht das aus, unser Herz. Und weiter gehts. Wir falten und schneiden. Ich bin ein Gummibär, ich bin ein Gummibär, ich bin ein kleiner dicker, runder Gummibär. Jawohl, Du bist ein Gummibär. Noch schnell die Faltungslinie markiert und ich denke, es reicht. Alle von uns gebastelten Figuren haben eine Eigenschaft: Sie sind achsensymmetrisch. Man kann achsensymmetrische Figuren aber auch zeichnen. Drittens: Zeichnen geht auch. Ganz speziell für Euch zeichne ich nun eine geometrische Figur. Ich schlage einen Kreis, lege darauf gleiche Abstände fest, verbinde diese. Ich erhalte ein Sechseck. Nun werden noch einige Eckpunkte miteinander verbunden. Und jetzt geht es ans Ausmalen. Eigentlich kann ich malen, wie ich will. Aber halt, nicht ganz. Die Farbe links der langen Linie muss mit dem, was rechts ist, übereinstimmen. Links rot, rechts rot. Links blau, rechts blau. Links gelb, rechts gelb. Links und rechts schwarz. Orange auf beiden Seiten. Links und rechts violett. Auch rot ist links und rechts gleich. Und schließlich noch unten die beiden Felder. Hübsch, nicht? Diese Figur ist achsensymmetrisch. Viertens: Achsensymmetrie. Diese Figuren kennt Ihr bereits. Sie sind achsensymmetrisch. Die Achse ist dabei jeweils die Faltungslinie. Hier, hier, hier und hier. Durch die Achse werden die Figuren in zwei Teile geteilt. Der eine Teil entsteht durch Spiegelung aus dem anderen. Links ist das Bild und rechts das Spiegelbild. Man kann auch sagen, rechts ist das Bild und links das Spiegelbild. Wir bleiben dabei, links Bild, rechts Spiegelbild. Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie in Bild und Spiegelbild zerlegt werden kann. Die Achse, an der die Spiegelung stattfindet, bezeichnet man als Symmetrieachse oder Spiegelachse. Wir wenden nun unsere neuen Kenntnisse auf die gezeichnete Figur an. Sie ist achsensymmetrisch. Und das hier ist die Symmetrieachse. Die Symmetrieachse heißt auch Spiegelachse. Bei der Spiegelung an der Achse wird das Bild links in das Spiegelbild rechts überführt. Oder umgekehrt das Bild rechts in das Spiegelbild links. Wir bleiben dabei, Bild links, Spiegelbild rechts. Die Figur ist achsensymmetrisch. Wir wollen nun die Achsensymmetrie noch exakter erklären. Erinnert Euch an diesen Körper. Er besteht aus Bild und Spiegelbild. Dazwischen liegt die Spiegelachse. Wir betrachten nun einen Punkt auf der Bildseite. Das ist der Punkt P. Wir zeichnen eine Gerade, die durch P verläuft und die Spiegelachse senkrecht schneidet. Auf der Bildseite erhalten wir einen zweiten Punkt. Das ist der Bildpunkt P'. P und P' haben von der Spiegelachse von 10cm. Wir verallgemeinern: Punkt P und Bildpunkt P' haben den gleichen Abstand von der Spiegelachse. Fünftens: Eine nützliche Idee. Achsensymmetrische Körper bestehen aus einem Teil und einem zweiten Teil. Der zweite Teil ist "das Gleiche", nur gespiegelt. Dadurch spart man Zeit und Geld. Zum Beispiel in der Architektur. In der Autoindustrie. In der Kunst. Und selbst in der Mathematik. Das wärs für heute. Ich wünsche Euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.

33 Kommentare
  1. Hallo Albert Heller, durch den Schattenwurf sieht die Ampel nicht ganz symmetrisch aus. Trotzdem ist ihre linke Hälfte spiegelbildlich zur rechten Hälfte geformt. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 3 Monaten
  2. Die Ampel Ist nicht symmetrisch.

    Von Bastian T., vor 3 Monaten
  3. Hallo Baschir M,
    du hast recht, dass diese geometrische Figur sehr stark an eine Raute erinnert. Eine Raute ist jedoch ein spezielles Viereck mit vier gleich langen Seiten. In diesem Fall können wir nicht mit Sicherheit sagen, dass alle Seiten wirklich gleich lang sind. Insofern ist es in nicht falsch, dass wir diese Figur als Viereck bezeichnen. Eine genauere Bezeichnung dieses Vierecks wäre z.B. Parallelogramm. Dazu kannst du dir gerne auch noch einmal unser Video zum Haus der Vierecke anschauen: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/haus-der-vierecke-2
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor etwa einem Jahr
  4. Die erste Geometrische Form war eine Raute kein Viereck

    Von Baschir M, vor etwa einem Jahr
  5. Viel zu viel gebastel!

    Von Mika K., vor etwa einem Jahr
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Achsensymmetrische Figuren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Achsensymmetrische Figuren kannst du es wiederholen und üben.

  • Schildere, was achsensymmetrische Figuren sind.

    Tipps

    Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie einen Teil besitzt und dieser an einer Faltlinie gespiegel wird.

    Hier siehst du den achsensymmetrischen Buchstaben „M“ mit der zugehörigen Symmetrieachse.

    Auch dieser Drache ist achsensymmetrisch.

    Lösung

    Du kannst eine achsensymmetrische Figur daran erkennen, dass sie irgendwie links und rechts oder oben und unten gleich aussieht. Sicher fällt dir das eine oder andere Beispiel ein.

    Die Teilung in rechts und links oder oben und unten erfolgt durch eine Achse. Wenn du einen Bogen Papier faltest und auf der Seite, an welcher sich die Faltung befindet, ein Muster einschneidest, kannst du den Bogen aufklappen. Du wirst merken, dass die Faltlinie der Achse entspricht, an welcher dein Muster gespiegelt wird.

    Die eine Hälfte, das Spiegelbild, entsteht aus der anderen, dem Bild, durch Spiegelung.

    Die Achse, welche die Figur teilt, heißt Symmetrieachse oder auch Spiegelachse, da ja an ihr gespiegelt wird.

  • Gib an, wie sich ein Sechseck mithilfe eines Bogens Papier und einer Schere basteln lässt.

    Tipps

    Wenn du dieses Sechseck im Geiste faltest, erhältst du jene Form, welche es auszuschneiden gilt.

    Falte zuerst, bevor du die Schere benutzt und achte darauf, auf der richtigen Seite die Form auszuschneiden.

    Lösung

    Du kannst achsensymmetrische Figuren auch aus einem Blatt Papier ausschneiden.

    Bei geometrischen Figuren ist dies sicher etwas leichter als zum Beispiel bei einer komplexeren Form, wie einem Schmetterling.

    1. Du benötigst ein Blatt Papier und eine Schere.
    2. Du faltest das Blatt Papier in der Mitte.
    3. Mit der Schere schneidest du an der Faltungslinie ein Trapez aus. Bei diesem Trapez sind alle Seiten gleich lang, davon zwei schräg und eine Seite parallel zur Faltungslinie. Du kannst dir ruhig am Bild klarmachen, wie das genau aussehen soll.
    4. Nun kannst du die ausgeschnittene Form herausnehmen und aufklappen.
    5. Das Ergebnis deiner Arbeit ist ein regelmäßiges Sechseck. Dort wo die Faltungslinie ist, kann die Symmetrieachse markiert werden.
    Ein regelmäßiges Sechseck hat 6 Symmetrieachsen. Findest du sie alle?

  • Prüfe, ob die Figuren achsensymmetrisch sind.

    Tipps

    Mache dich bei jeder Figur auf die Suche nach einer Symmetrieachse wie bei dem Buchstaben „M“.

    Kannst du diese finden, dann ist die Figur achsensymmetrisch.

    Halbiere doch mal die Bilder: Taucht in der einen Hälfte etwas auf, was du in der anderen Hälfte nicht finden kannst?

    Dann kann die Figur nicht achsensymmetrisch sein.

    Eine Symmetrieachse muss nicht waagerecht sein, sie kann auch senkrecht sein oder schräg.

    Lösung

    Der Schmetterling, die Waage, das Verkehrsschild mit dem Ausrufezeichen, der Pfeil und das +-Zeichen sind achsensymmetrisch.

    Die Symmetrieachse muss nicht zwangsläufig waagerecht sein, sie kann auch senkrecht sein oder schräg. Bei dem Pfeil liegt eine waagerechte Symmetrieachse vor.

    Alle übrigen Bilder sind nicht achsensymmetrisch. Bei einigen ist dies ganz klar zu sehen. Bei dem Schulgebäude könnte Achsensymmetrie vorliegen. Aber hast du auch den Schornstein gesehen? Den gibt es nur auf der einen Seite.

  • Erläutere, wie du einen Punkt an einer Achse spiegeln kannst.

    Tipps

    Ein Lineal reicht nicht aus. Überlege dir, warum ein Geodreieck notwendig ist.

    Der Abstand von Punkt und Spiegelpunkt zur Symmetrieachse ist immer gleich.

    Lösung

    Wie kannst du einen Punkt an einer Achse spiegeln?

    Natürlich brauchst du am Anfang einen Punkt P und eine Symmetrieachse.

    Nun legst du ein Geodreieck senkrecht an die Symmetrieachse an und zeichnest eine Gerade von P über die Symmetrieachse hinaus. Beachte dabei, dass diese Gerade und die Symmetrieachse einen rechten Winkel bilden müssen.

    Nun muss nur noch der Abstand von P zur Symmetrieachse gemessen werden. Diesen überträgst du auf die andere Seite der Symmetrieachse. Der Punkt P' liegt auf derselben Geraden wie P.

    So erhältst du den Bildpunkt P'.

    Und wenn du ein Sechseck oder ein Viereck spiegeln möchtest? Dann machst du das mit jedem Eckpunkt. Die musst du nur noch richtig verbinden. Fertig!

  • Ergänze die Aussagen über achsensymmetrische Figuren.

    Tipps

    Wenn du eine achsensymmetrische Figur genau an der Achse faltest, decken sich die beiden Teile ab.

    Ein Sechseck lässt sich mithilfe eines Bogens Papier leicht erstellen.

    Lösung

    Du hast bestimmt schon ganz viele Dinge gesehen, die irgendwie regelmäßig aussehen.

    Was heißt das?

    Wenn du morgens in den Spiegel schaust, kannst du feststellen, dass deine beiden Gesichtshälften fast gleich aussehen. Dass sie das nun nicht tun, kann uns aber nur fröhlich stimmen, da Gesichter viel interessanter sind, wenn sie nicht achsensymmetrisch sind.

    In der Antike sah man dies allerdings anders. Das Schönheitsideal der alten Ägypter sah ein gleichmäßiges Gesicht vor. Noch heute erkennen wir dies in der Darstellung der Königin Kleopatra, welche häufig mit spiegelgleichem Gesicht dargestellt wird. Mathematisch nennen wir dies Achsensymmetrie.

    Achsensymmetrische Figuren kannst du auch mit Schere und Papier basteln: Die Faltungslinie ist dann gerade die Symmetrieachse. Und an dieser schneidest du eine Figur aus. Schnell das Papier wieder aufgeklappt und du siehst die ausgeschnittene Figur doppelt, aber gespiegelt.

    Ein schönes Beispiel hierfür ist das Herz oder eine Raute.

  • Entscheide, welche geometrische Figur durch zweimalige Achsenspiegelung entsteht.

    Tipps

    Du kannst diese Figur auf ein Blatt Papier übertragen und sie zweimal spiegeln.

    Lösung

    Und so sieht die Figur nach zweimaligem Spiegeln aus.

    Wenn du die Ausgangsfigur an einer waagerechten Symmetrieachse, der unteren Kante, spiegelst, erhältst du die linke Hälfte dieses Achtecks. Diese besitzt fünf Ecken und neben einer langen auch vier kürzere, aber gleich lange Seiten.

    Die zweite Spiegelung an einer senkrechten Achse, der rechten Kante, ergänzt die Figur zu einem kompletten Achteck.

    Ein regelmäßiges Achteck, das auch Oktagon genannt wird, besitzt vier Symmetrieachsen durch die einzelnen Ecken und vier weitere Symmetrieachsen durch die gegenüberliegenden Seiten.