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Potenzen mit negativer oder rationaler Basis

Hier lernst du, wie du mit einer Potenz umzugehen hast, in deren Basis eine negative Zahl oder ein Bruch steht.

Einleitung

Eine Potenz mit einer natürlichen Zahl im Exponenten ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst. Sie setzt sich, wie die folgende Abbildung zeigt, aus einer Basis und einem Exponenten zusammen. Das Ergebnis einer Potenz wird Potenzwert genannt.

Potenzen funktionieren im Allgemeinen immer gleich. Wenn du die Potenz $a^n$ siehst, dann weißt du, dass du die Zahl $a$ einfach $n$-mal mit sich selbst multiplizierst. Das ändert sich auch nicht, wenn $a$, also die Basis der Potenz, rational oder negativ ist. Du lernst im Folgenden also keine neue Rechentechnik, sondern wendest das dir bekannte Verfahren der Potenzierung auf neue Zahlenbereiche an.

Wiederholung wichtiger Rechenregeln

Multiplikation negativer Zahlen

Wenn du zwei negative Zahlen miteinander multiplizierst, ist das Ergebnis wie im folgenden Beispiel stets positiv.

$-5\cdot(-3) = 15$

Multiplizierst du hingegen eine negative mit einer positiven Zahl, erhältst du ein negatives Ergebnis.

$-7\cdot 6 = -42$

Multiplikation von Brüchen

Die Multiplikation zweier Brüche liefert wieder einen Bruch. In diesem steht das Produkt der beiden Zähler im Zähler und das Produkt der beiden Nenner im Nenner. Allgemein gilt also:

$ \dfrac{a}{n}\cdot\dfrac{b}{m}=\dfrac{a\cdot b}{n\cdot m} $

Das folgende Zahlenbeispiel verdeutlicht dieses Vorgehen:

$ \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{3\cdot 2}{5\cdot 7}=\dfrac{6}{35} $

Potenzen mit negativer Basis

Wie Potenzen mit negativer Basis funktionieren, siehst du dir am besten an einem Zahlenbeispiel an. Betrachte zunächst folgende Potenz:

$ (-2)^4 $

Diese setzt sich aus der Basis $-2$ und dem Exponenten $4$ zusammen. Die Klammern um die negative Basis sind sehr wichtig, denn ohne sie würde die Potenz vor dem Minuszeichen ausgeführt werden. Es würde also Folgendes gelten:

$-2^4=-(2^4)=(-16)$

Du wirst gleich feststellen, dass dieses Ergebnis nicht dem Potenzwert von $(-2)^4$ entspricht.

Wir schreiben diese Potenz nun als Multiplikation aus. Die Basis $-2$ wird hierbei viermal mit sich selbst multipliziert. Es folgt:

$(-2)^4=-2\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$

Da die Multiplikation immer assoziativ ist, kannst du die vier Faktoren auf beliebige Weise gruppieren, um die Rechnung zu vereinfachen. So kannst du zum Beispiel zunächst die ersten beiden Faktoren und dann die letzten beiden Faktoren miteinander multiplizieren, um dann wiederum die beiden Ergebnisse miteinander zu multiplizieren. Konkret heißt das:

$(-2)^4=\underbrace{-2\cdot(-2)}_{=4}\cdot\underbrace{(-2)\cdot (-2)}_{=4}=4\cdot 4 = 16$

Die Potenz mit negativer Basis hat also ein positives Ergebnis! Doch ist das immer so?

Betrachte hierzu die Potenz $(-2)^5$. Du kannst nun einfach $(-2)^4$ noch einmal mit $-2$ multiplizieren. Es folgt dann der Potenzwert:

$(-2)^5=(-2)^4\cdot(-2)=16\cdot(-2)=-32$

Diesmal erhältst du also einen negativen Potenzwert. Wiederholst du dieses Vorgehen für die Exponenten $6$ und $7$, so erhältst du $(-2)^6 = 64$ und $(-2)^7 = -128$. Das Muster, das du hier vielleicht schon bemerkt hast, lässt sich in zwei allgemein gültigen Regeln ausdrücken:

  • Für den Betrag einer Potenz ist das Vorzeichen der Basis egal: $\vert(-a)^n\vert = \vert a^n\vert$
  • Eine Potenz $a^n$ mit negativer Basis $a$ hat für gerade Exponenten $n$ einen positiven und für ungerade Exponenten $n$ einen negativen Potenzwert

Potenzen mit rationaler Basis

Liegt eine Potenz mit rationaler Basis vor, also mit einem Bruch als Basis, so kannst du wie oben die Potenz erst einmal als Multiplikation ausschreiben. Auch hier sollte auf die Klammern geachtet werden, um deutlich zu machen, dass der gesamte Bruch in der Basis der Potenz steht.

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\underbrace{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}\cdot\ \ldots\ \cdot\dfrac{a}{b}}_{n-\text{mal}}$

Hier gehst du am besten von links nach rechts vor und siehst dir an, was passiert. Multipliziere zuerst die ersten beiden Brüche:

$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot a}{b\cdot b}=\dfrac{a^2}{b^2}$

Mit diesem neuen Bruch kannst du nun den dritten Bruch multiplizieren:

$\dfrac{a^2}{b^2}\cdot\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^2\cdot a}{b^2\cdot b} = \dfrac{a^3}{b^3}$

Nach diesem Schema könntest du dich, wenn du $n$ kennen würdest, bis zum Ende durcharbeiten. Und sobald du mit dem $n$-ten Bruch multiplizierst, erkennst du auch die Rechenregel, die du in Zukunft anwenden kannst. Sie lautet wie folgt:

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

Zusammenfassung

Es gilt für die Potenz $a^n$ mit $a\lt 0$:

  • $\vert(-a)^n\vert = \vert a^n\vert$
  • $a^n\gt 0$, wenn $n$ gerade
  • $a^n\lt 0$, wenn $n$ ungerade

Für Potenzen mit rationaler Basis gilt:

  • $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

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Potenzen mit negativer oder rationaler Basis (2 Arbeitsblätter)