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Potenzen - Produkte gleicher Faktoren 04:11 min

Textversion des Videos

Transkript Potenzen - Produkte gleicher Faktoren

Seit sie ein kleines Mädchen war, wollte Lilly berühmt sein, aber jetzt als Teenager kommt ihr ihre Tollpatschigkeit in die Quere. Arme Lilly, ihr Traum scheint unerreichbar zu sein, aber eines Tages macht sie rein zufällig ein unglaubliches Video. Wirklich unglaublich. Lilly ist sich sicher, dass dieses Video ihr den Weg zum Ruhm ebnen wird. Wie lange es wohl dauert, bis es viral geht? Finden wir das gemeinsam heraus, indem wir Potenzen zu Hilfe nehmen. Lilly hat einen Plan: Sobald sie ihr unglaubliches Video hochgeladen hat, wird sie es mit drei Freunden teilen und sie bitten, es jeweils mit drei weiteren Freunden teilen, die es dann wiederum mit drei ihrer Freunde teilen sollen und so weiter und so fort. Das Video ist sehr kurz, darum dürfte jede Person nur eine Minute brauchen, um das Video anzuschauen und es dann mit drei anderen Personen zu teilen. Fassen wir diese Informationen in einer Tabelle zusammen. Nach der ersten Minute haben ihre drei Freunde das Video gesehen. Das wären dann also drei Views. Nachdem sie es mit jeweils drei Freunden geteilt haben, wären das neun weitere Views. Und wenn diese Personen es dann jeweils mit drei weiteren Personen teilen, wären das 27 weitere Views. In Minute vier teilen diese 27 Personen es jeweils mit drei ihrer Freunde, wodurch 81 weitere Views hinzukommen. Erkennst du das Muster? Die Anzahl der Views wächst exponentiell also können wir jeden dieser Ausdrücke als Potenz schreiben. Eine Potenz besteht aus der Basis und einer Hochzahl, dem sogenannten Exponenten. Schauen wir uns das an: 3 ist gleich 3 hoch 1. 3 mal 3 ist das gleich wie 3 Quadrat, was bekanntlich 9 ergibt. Und 3 mal 3 mal 3 ist gleich 3 hoch 3, also 27. Und so weiter und so fort. Alle diese Potenzen haben die gleiche Basis. Das ist die Zahl, die wir multiplizieren. Der Exponent, also die Zahl, die angibt, wie oft wir die Basis mit sich selbst multiplizieren, erhöht sich mit jedem Schritt um 1. Mit diesem Muster können wir einen Ausdruck formulieren, mit dem man die Anzahl der neuen Views für eine beliebige Minute berechnen kann. Wir können das Schreiben als 3 hoch x, wobei x für eine beliebige Minute steht. Lilly ist ungeduldig. Sie will berühmt sein, und zwar auf der Stelle. Was also, wenn sie das Video mit fünf Personen teilt und die teilen es jeweils mit fünf weiteren Personen und so weiter? Wie viele neue Views wird es in Minute 10 geben? Wenn wir 5 10-mal mit sich selbst multiplizieren, ist das das Gleiche wie 5 hoch 10. Das bedeutet, in Minute 10 werden 9.765.625 Personen das Video anschauen. Wow! Lilly ist total aufgeregt. Das Video ist endlich hochgeladen. Sie schaut es sich an, denn sie will die erste Zuschauerin des potentiellen Hitvideos sein. So cool! Wie Lilly es vorausgesehen hat, geht das Video schon bald viral und die Fliege ist superberühmt. Lilly leider nicht so wirklich!

2 Kommentare
  1. Jonas ohne rahmen

    Hallo 15chrissi051983,
    vielen Dank für dein positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass dir dieses Video so gut gefällt.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 9 Tagen
  2. Default

    cool echt gut gemacht

    Von 15chrissi051983, vor 9 Tagen

Potenzen - Produkte gleicher Faktoren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen - Produkte gleicher Faktoren kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wie du die hinzukommenden Views nach vier Minuten mathematisch ausdrücken kannst.

    Tipps

    Die Anzahl der Views verändert sich in jeder Minute um denselben Faktor.

    Man kann die Anzahl der hinzukommenden Views auch als Potenz schreiben.

    Lösung

    Nach der ersten Minute haben ihre drei Freunde das Video gesehen. Das wären dann also drei Views.

    Nachdem diese drei es mit jeweils drei Freunden geteilt haben, wären das neun weitere Views, denn $3\cdot3 = 3^2 =9$.

    Und wenn diese Personen es dann jeweils mit drei weiteren Personen teilen, wären das 27 weitere Views, denn $3\cdot3\cdot3 = 3^3 = 27$

    In Minute vier teilen diese 27 Personen es jeweils mit drei ihrer Freunde, wodurch 81 weitere Views hinzukommen, denn $3\cdot3\cdot3\cdot3 = 3^4 = 81$.

    In der vierten Minute kommen also $3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$ Views hinzu.

    Hier sind die richtigen Lösungen also $3^4$ sowie $3\cdot3\cdot3\cdot3$.

  • Bestimme, welche Multiplikation zu welcher Potenz gehört.

    Tipps

    Folgendes Beispiel kann dir hier helfen:

    $2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^4$

    Die Anzahl der Faktoren hilft dir dabei, die passende Potenz zu finden.

    Lösung

    Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, heißt Basis, so kannst du also erkennen, welche Zahl die zugehörige Basis ist.

    Der Exponent gibt an, wie oft wir die Zahl mit sich selbst multiplizieren. Wir können also die Anzahl der Faktoren zählen und wissen somit, welcher Exponent gewählt werden soll.

    Daher ergeben sich folgende Paare:

    $\mathbf{1)}$ $5^4 = 5\cdot5\cdot5\cdot5$

    $\mathbf{2)}$ $10^3 = 10\cdot10\cdot10$

    $\mathbf{3)}$ $3^7 = 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3$

    $\mathbf{4)}$ $7^6 = 7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7$

    $6\cdot7$ und $3\cdot10$ können natürlich keiner Potenz zugeordnet werden, da hier die Faktoren unterschiedlich sind.

  • Ergänze den Text mit den passenden Begriffen.

    Tipps

    Teilt Lilly das Video zum Beispiel mit $2$ Freunden und diese teilen es dann wieder mit $2$ Freunden, kommen in der zweiten Minute $2\cdot2 = 4$ Views hinzu.

    $3\cdot3\cdot3\cdot3$ kann man zum Beispiel als $3^4$ schreiben.

    Lösung

    Wenn wir $5$ insgesamt $10$-mal mit sich selbst multiplizieren, ist das das Gleiche wie $5$ hoch $10$.

    Ein Bestandteil der Potenz ist die Basis, also die Zahl, die immer wieder mit sich selbst multipliziert wird. Dies ist in unserem Beispiel also $5$.

    Der zweite Bestandteil der Potenz heißt Hochzahl, auch Exponent genannt. Dies ist gerade die Zahl, die angibt, wie oft wir die Basis mit sich selbst multiplizieren. In unserem Beispiel ist dies die Zahl $10$.

    Aber wie viele Views kommen denn jetzt in Minute $10$ hinzu?

    Rechnen wir einmal zusammen:

    $5^{10}$ $= 5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5 = 9.765.625$

    Wow! Ganz schön viele!

  • Ordne die Ergebnisse den passenden Basen zu.

    Tipps

    Berechne am besten ein paar Werte mit den jeweiligen Basen und möglichen Exponenten.

    Die Quadratzahlen kennst du bestimmt schon und kannst sie dadurch sehr einfach zuordnen.

    Auch die Teilbarkeitsregeln können dir bei der Zuordnung helfen.

    Lösung

    Zur Lösung dieser Aufgabe können wir sehr gut die Teilbarkeitsregeln verwenden.

    So können wir zum Beispiel direkt erkennen, dass die Zahlen $9$, $27$, $81$ und $243$ weder durch $2$ noch durch $5$ teilbar sind, sie können also nur der Basis $3$ zugeordnet werden.

    Aber stimmt dies nun wirklich? Gehen wir die Dreierpotenzen einmal durch:

    $3^1 = 3$

    $3^2 = 3\cdot3 = 9$

    $3^3 = 3\cdot3\cdot3 = 27$

    $3^4 = 3\cdot3\cdot3\cdot3 = 81$

    $3^5 = 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot 3 = 243$

    Wir sehen also, dass diese Zahlen tatsächlich nur die $3$ als ihre Basis haben können.

    Schauen wir uns nun die Zahlen $25$, $125$ und $625$ an, erkennen wir, dass diese Zahlen alle $5$ als gemeinsamen Teiler haben.

    Bedeutet das also, dass sie der Basis $5$ zugeordnet werden können? Schauen wir uns dazu die Fünferpotenzen an:

    $5^1 = 5$

    $5^2 = 5\cdot5 = 25$

    $5^3 = 5\cdot5\cdot5 = 125$

    $5^4 = 5\cdot5\cdot5\cdot5 = 625$

    Wir sehen also, dass diese Zahlen tatsächlich nur $5$ als ihre Basis haben können.

    Nun können wir also daraus schließen, dass die restlichen Zahlen alle der Basis $2$ zugeordnet werden müssen; sie sind ja auch alle gerade Zahlen und somit durch $2$ teilbar. Aber gehören sie denn wirklich alle zu den Zweierpotenzen?

    überprüfen wir dies besser noch einmal.

    $2^1 = 2$

    $2^2 = 2\cdot2 = 4$

    $2^3 = 2\cdot2\cdot2 = 8$

    $5^4 = 2\cdot2\cdot2\cdot2 = 16$

    $2^5 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 32$

    $2^6 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 64$

    Wir sehen also, dass diese Zahlen tatsächlich $2$ als ihre Basis haben können.

  • Vergleiche die Potenzen miteinander.

    Tipps

    Du kannst Potenzen vergleichen, wenn sie die gleiche Basis haben. Dann ist der Ausdruck mit dem höheren Exponenten größer.

    Ist der Exponent bei zwei Potenzen gleich, so ist der Wert mit der höheren Basis größer.

    Sind weder Basis noch Exponent gleich, kannst du die Potenzen auch ausrechnen, um sie miteinander vergleichen zu können.

    Lösung

    Du kannst zunächst die Potenzen miteinander vergleichen, die eine gleiche Basis haben:

    In diesem Fall sind das $7^4$ und $7^5$. $7^4$ ist kleiner, da man die $7$ einmal weniger als Faktor hat.

    Nun kannst du die Potenzen vergleichen, die den gleichen Exponenten haben:

    Hier sind dies die Potenzen mit dem Exponenten $4$, also $7^4$, $3^4$ und $4^4$.

    Die Potenz mit der kleinsten Basis hat hier den kleinsten Wert und die Potenz mit der größten Basis hat den größten Wert.

    Also ist $3^4$ kleiner als $4^4$, und dies ist wiederum kleiner als $7^4$.

    Die übrig gebliebenen Potenzen haben weder die gleiche Basis mit den anderen Potenzen, noch einen gleichen Exponenten. Um diese einzuordnen müssen wir sie also ausrechnen.

    $5^2 = 5\cdot5 = 25$.

    Ist dies kleiner als der Wert, den wir bisher als kleinsten Wert ermittelt haben, also $3^4$?

    Rechnen wir einmal den Wert für $3^4$ aus:

    $3^4 = 3\cdot3\cdot3\cdot = 9\cdot3\cdot3 = 27\cdot3 = 81$

    $5^2 = 25$ ist also kleiner als dieser Wert.

    Nun berechnen wir noch die letzte Potenz:

    $2^3 = 2\cdot2\cdot2 = 4\cdot2 = 8$

    Dies ist also insgesamt der kleinste Wert.

  • Bestimme den Wert der folgenden Potenzen.

    Tipps

    Eine Potenz wird dazu verwendet, eine wiederholte Multiplikation desselben Faktors zusammenzufassen.

    Der Exponent zeigt dir, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss.

    Zum Beispiel ist

    $2^3 = 2\cdot2\cdot2 = 8$

    Lösung

    Eine Potenz wird dazu verwendet, eine wiederholende Multiplikation desselben Faktors zusammenzufassen. Dabei gibt der Exponent an, wie oft wir die Basis mit sich selbst multiplizieren.

    Schreiben wir also die Potenzen, die wir gegeben haben, in eine Multiplikation um und rechnen diese dann aus, erhalten wir folgende Ergebnisse:

    $4^4 = 4\cdot4\cdot4\cdot4 = 16\cdot4\cdot4 = 64\cdot4 = 256$ $\\$

    $5^3 = 5\cdot5\cdot5 = 25\cdot5 = 125$ $\\$

    $7^3 = 7\cdot7\cdot7 = 49\cdot7 = 343$ $\\$

    $2^5 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 4\cdot2\cdot2\cdot2 = 8\cdot2\cdot2 = 16\cdot2 = 32$