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Potenzen und Potenzgesetze

Was sind Potenzen und wie kannst du mit Potenzen rechnen?

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Themenübersicht in Potenzen und Potenzgesetze

Was ist eine Potenz?

Eine Potenz ist die abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in dem ein Faktor mehrfach mit sich selbst multipliziert wird:

an=a ... anmala^{n}=\underbrace{a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n-\text{mal}}

  • Der Ausdruck ana^{n} wird als Potenz bezeichnet.
  • Der wiederkehrende Faktor aa ist die Basis der Potenz.
  • Die Häufigkeit des Auftretens von aa, also nn, ist der Exponent der Potenz.

Schau dir ein Beispiel an: 43=444=644^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64. Das Ergebnis einer Potenz, also hier die 6464, wird als Potenzwert bezeichnet.

Diese Definition gilt so allerdings nur für nNn\in\mathbb{N}, n1n\ge 1.

Potenzen mit der Basis 1010 werden als Zehnerpotenzen bezeichnet:

  • 101=1010^{1}=10
  • 102=1010=10010^{2}=10\cdot 10=100
  • 103=101010=100010^{3}=10\cdot 10\cdot 10=1000
  • ...

Du erhältst für die Zehnerpotenz 10n10^{n} als Potenzwert eine 11 mit nn Nullen.

Verschiedene Exponenten

Was passiert eigentlich, wenn der Exponent 00 ist oder eine negative ganze Zahl oder sogar eine rationale Zahl?

Exponent gleich Null

Für jede Basis a0a\neq 0 gilt a0=1a^{0}=1.

Zum Beispiel ist 100=110^{0}=1.

Negative Exponenten

Potenzen mit negativen Exponenten können wir wie folgt schreiben. Sei nNn\in\mathbb{N} und n1n\ge 1, dann gilt:

an=1ana^{-n}=\frac1{a^n}

.

Schau dir das einmal am Beispiel der Zehnerpotenzen an:

  • 101=1101=110=0,110^{-1}=\frac1{10^1}=\frac1{10}=0,1
  • 102=1102=1100=0,0110^{-2}=\frac1{10^2}=\frac1{100}=0,01
  • 103=1103=11000=0,00110^{-3}=\frac1{10^3}=\frac1{1000}=0,001
  • ...

Betrachten wir also eine Zehnerpotenz der Form 10n10^{-n} mit nNn\in\mathbb{N} und n1n\ge 1, so erscheint im Potenzwert die 11 an der nn-ten Stelle hinter dem Komma.

Rationale Exponenten

Sei der Exponent n=pqn=\frac pq eine positive rationale Zahl, dann kannst du die Potenz wie folgt als Wurzel schreiben:

apq=apqa^{\frac pq}=\sqrt[q]{a^p}

.

Verschiedene Basen

  • Für nNn\in\mathbb{N} und n1n\ge 1 sind Potenzen für beliebige Basen definiert.
  • Für nZn\in\mathbb{Z} und n1n\le -1 sind die Potenzen nur für Basen ungleich 00 definiert.
  • Ist der Exponent rational, so darf die Basis nicht negativ sein.

Im Folgenden schauen wir uns nun Potenzen mit negativer oder rationaler Basis an, sofern diese definiert sind.

Negative Basis

Ist der Exponent eine natürliche Zahl und a>0a\gt 0, so gilt

(a)n={anwenn n gerade istanwenn n ungerade ist({-a})^n = \begin{cases} a^n& \text{wenn }n \text{ gerade ist} \\ -a^n& \text{wenn }n \text{ ungerade ist} \end{cases}

Rationale Basis

Wir nehmen nun an, dass die Basis a=pqa=\frac pq eine rationale Zahl ist. Es gilt dann:

(pq)n=pnqn\left(\frac pq\right)^n=\frac{p^n}{q^n}

.

Wenn du einen Bruch potenzieren möchtest, potenzierst du den Zähler und den Nenner des Bruches mit dem gleichen Exponenten.

In vielen verschiedenen Anwendungsaufgaben kommen Potenzen vor.

Die Potenzgesetze

Die Potenzgesetze erklären das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen:

  1. Potenzgesetz „Das Produkt von Potenzen“: anam=an+ma^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}
  2. Potenzgesetz „Der Quotient von Potenzen“: anam=anm\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}
  3. Potenzgesetz „Potenzen von Produkten“: anbn=(ab)na^{n}\cdot b^{n}=\left(a\cdot b\right)^{n}
  4. Potenzgesetz „Potenzen von Quotienten“: anbn=(ab)n\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac ab\right)^{n}
  5. Potenzgesetz „Das Potenzieren von Potenzen“: (an)m=anm\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n \, \cdot \, m}

Anhand von Beispielaufgaben kannst du diese Potenzgesetze üben.