Potenzen und Potenzgesetze
Was sind Potenzen und wie kannst du mit Potenzen rechnen?
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Was ist eine Potenz?
Eine Potenz ist die abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in dem ein Faktor mehrfach mit sich selbst multipliziert wird:
- Der Ausdruck wird als Potenz bezeichnet.
- Der wiederkehrende Faktor ist die Basis der Potenz.
- Die Häufigkeit des Auftretens von , also , ist der Exponent der Potenz.
Schau dir ein Beispiel an: . Das Ergebnis einer Potenz, also hier die , wird als Potenzwert bezeichnet.
Diese Definition gilt so allerdings nur für , .
Potenzen mit der Basis werden als Zehnerpotenzen bezeichnet:
- ...
Du erhältst für die Zehnerpotenz als Potenzwert eine mit Nullen.
Verschiedene Exponenten
Was passiert eigentlich, wenn der Exponent ist oder eine negative ganze Zahl oder sogar eine rationale Zahl?
Exponent gleich Null
Für jede Basis gilt .
Zum Beispiel ist .
Negative Exponenten
Potenzen mit negativen Exponenten können wir wie folgt schreiben. Sei und , dann gilt:
.
Schau dir das einmal am Beispiel der Zehnerpotenzen an:
- ...
Betrachten wir also eine Zehnerpotenz der Form mit und , so erscheint im Potenzwert die an der -ten Stelle hinter dem Komma.
Rationale Exponenten
Sei der Exponent eine positive rationale Zahl, dann kannst du die Potenz wie folgt als Wurzel schreiben:
.
Verschiedene Basen
- Für und sind Potenzen für beliebige Basen definiert.
- Für und sind die Potenzen nur für Basen ungleich definiert.
- Ist der Exponent rational, so darf die Basis nicht negativ sein.
Im Folgenden schauen wir uns nun Potenzen mit negativer oder rationaler Basis an, sofern diese definiert sind.
Negative Basis
Ist der Exponent eine natürliche Zahl und , so gilt
Rationale Basis
Wir nehmen nun an, dass die Basis eine rationale Zahl ist. Es gilt dann:
.
Wenn du einen Bruch potenzieren möchtest, potenzierst du den Zähler und den Nenner des Bruches mit dem gleichen Exponenten.
In vielen verschiedenen Anwendungsaufgaben kommen Potenzen vor.
Die Potenzgesetze
Die Potenzgesetze erklären das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen:
- Potenzgesetz „Das Produkt von Potenzen“:
- Potenzgesetz „Der Quotient von Potenzen“:
- Potenzgesetz „Potenzen von Produkten“:
- Potenzgesetz „Potenzen von Quotienten“:
- Potenzgesetz „Das Potenzieren von Potenzen“:
Anhand von Beispielaufgaben kannst du diese Potenzgesetze üben.
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