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Was ist ein Bruch?

Was genau verstehen wir unter einem Bruch? Stelle dir vor, du möchtest eine Pizza in vier gleich große Stücke teilen. Jedes dieser Stücke ist dann ein Viertel der Pizza. Drei Viertel einer Pizza kannst du hier sehen:

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Ein Bruch besteht immer aus drei Teilen, dem Bruchstrich und zwei Zahlen. Diese Pizza kann durch den Bruch $\frac34$ beschrieben werden.

  • Der Strich wird Bruchstrich genannt und steht für das Divisionszeichen. Es wird die obere durch die untere Zahl dividiert.
  • Die Zahl unter dem Bruchstrich heißt Nenner, weil sie dem Bruch seinen Namen gibt, zum Beispiel „Viertel“. Der Nenner gibt also an, in wie viele Teile ein Ganzes zerteilt wird.
  • Die Zahl über dem Bruchstrich ist der Zähler. Er gibt an, wie viele Teile betrachtet werden: In unserem Fall sind es drei Teile („drei Viertel“).

Wie werden zwei Brüche addiert?

Wir haben bereits festgestellt, dass der Nenner den Bruch benennt. Du kannst dir das so ähnlich vorstellen wie eine Maßeinheit. Betrachten wir ein Beispiel, um das besser zu verstehen:

Paul benötigt von Zuhause bis zur Schule 30 Minuten, von der Schule bis zu seiner Oma fährt er eine Stunde. Von dort wieder nach Hause braucht er 45 Minuten. Wie lange ist Paul insgesamt unterwegs?

Junge.JPG

Wir können natürlich nicht einfach $30+1+45=76$ rechnen, da die Angaben in verschiedenen Maßeinheiten (Minuten und Stunden) vorliegen. Wir müssen also alle Angaben in einer gemeinsamen Maßeinheit angeben: zum Beispiel in Minuten. Der Weg von der Schule zu Pauls Oma dauert dann 60 Minuten.

Jetzt kann addiert werden: $30+60+45=135$. Paul ist also insgesamt 135 Minuten oder zwei Stunden und 15 Minuten unterwegs.

Addition von gleichnamigen Brüchen

Ebenso kannst Du Brüche nur addieren, wenn sie den gleichen Nenner haben. Brüche mit gleichem Nenner werden als gleichnamig bezeichnet. Sind zwei Brüche gleichnamig, kannst du sie addieren, indem du

  • die Zähler addierst und
  • den Nenner beibehältst.

Dies ist genau wie bei Paul und seiner Fahrtzeit. Du addierst die Anzahl der Minuten und behältst die Maßeinheit Minuten bei. Schauen wir uns ein erstes Beispiel an:

$\frac37+\frac27=\frac{3+2}7=\frac57$

Addition von Brüchen, die nicht gleichnamig sind

Können wir Brüche, die nicht gleichnamig sind, nicht addieren? Doch. Das geht. Wir müssen die Brüche aber zuerst gleichnamig machen, indem wir die Brüche kürzen oder erweitern. Dabei gehst Du wie folgt vor:

  • Du suchst das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner.
  • Dann erweiterst oder kürzt du einen oder beide Brüche so, dass sie einen gemeinsamen Nenner, den Hauptnenner, haben.
  • Wenn die Brüche gleichnamig sind, kannst Du die Zähler addieren und den Hauptnenner beibehalten.

Erweitern bedeutet, in einem Bruch den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren.

Kürzen bedeutet, in einem Bruch den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren.

Beispiel 1

Wir wollen eine Addition von Brüchen durchführen: $\frac12+\frac13$

  • Die beiden Nenner sind $2$ und $3$.
  • Das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner ist $6$.
  • Wir erweitern den linken Bruch mit $3$ und den rechten Bruch mit $2$: $\frac12+\frac13=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac36+\frac26$
  • Nun sind die Brüche gleichnamig und du kannst die Zähler addieren: $\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac{3+2}{6}=\frac56$

Beispiel 2

Betrachten wir nun die Summe $\frac37+\frac5{14}$:

  • Der Hauptnenner der beiden Brüche ist $14$.
  • Dieses Mal muss nur der linke Bruch erweitert werden, nämlich mit $2$.
  • Dies ergibt: $\frac37+\frac5{14}=\frac{3\cdot 2}{7\cdot 2}+\frac5{14}=\frac{6}{14}+\frac{5}{14}=\frac{5+6}{14}=\frac{11}{14}$

Das kleinste gemeinsame Vielfache

Manchmal ist es gar nicht so einfach, das kleinste gemeinsame Vielfache zu ermitteln. Dazu gehst du wie folgt vor:

Zuerst bestimmst Du die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen. Lass uns die Zahlen $12$ und $18$ nehmen:

  • $12=2\cdot 2\cdot 3$ und
  • $18=2\cdot 3\cdot 3$

Nun schaust Du Dir die Primfaktoren der beiden Zahlen an. Es sind die $2$ und die $3$. Das kleinste gemeinsame Vielfache lässt sich nun so berechnen: Wir bestimmen die maximale Anzahl

  • an 2en: Es gibt zwei 2en in der Zerlegung von $12$.
  • an 3en: Es gibt zwei 3en in der Zerlegung von $18$.

Diese Faktoren verwenden wir nun. Das kleinste gemeinsame Vielfache von $12$ und $18$ ist $2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=36$.

Wir müssen also $12$ mit $3$ und $18$ mit $2$ multiplizieren, um auf dieses kleinste gemeinsame Vielfache zu kommen.

Nun üben wir doch gleich mit diesen Zahlen im Nenner das Addieren von Brüchen:

$\frac{5}{12}+\frac{7}{18}=\frac{5\cdot 3}{12\cdot 3}+\frac{7\cdot 2}{18\cdot 2}=\frac{15}{36}+\frac{14}{36}=\frac{29}{36}$

Das Kommutativgesetz und Assoziativgesetz beim Rechnen mit Brüchen

  • Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz der Addition besagt, dass die Reihenfolge beim Addieren vertauscht werden darf: $a+b=b+a$.
  • Dieses Gesetz gilt auch für die Multiplikation: $a\cdot b=b\cdot a$.
  • Das Assoziativgesetz besagt, dass Du nicht unbedingt von links nach rechts addieren oder multiplizieren musst: $(a+b)+c=a+(b+c)$ sowie $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$.

Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gilt auch für die Addition von Brüchen. Diese Gesetze dienen dazu, „geschickt“ zu rechnen.

Beispiel zum Assoziativgesetz

Wenden wir das Assoziativgesetz gleich einmal auf die Summe $\frac23+\frac47+\frac13+\frac{10}7$ an.

Du könntest jetzt den Hauptnenner $21$ suchen, alle Brüche erweitern und dann die Zähler addieren. Wenn Du genau hinschaust, erkennst du, dass jeweils zwei Brüche einen gemeinsamen Nenner haben. Vertausche doch einmal die Reihenfolge der Addition:

$\frac23+\frac47+\frac13+\frac{10}7=\frac23+\frac13+\frac47+\frac{10}7$

Nun kannst du jeweils die beiden Brüche mit den gemeinsamen Nennern addieren, indem Du die Zähler addierst.

$\frac23+\frac13+\frac47+\frac{10}7=\frac{2+1}{3}+\frac{4+10}{7}=\frac33+\frac{14}7=1+2=3$

Das ist doch sicher einfacher! Oder?

Videos und Übungen in Brüche addieren

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Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Brüche addieren

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