y=x² – Wertetabelle und Funktionsgraph

y=x² – Wertetabelle und Funktionsgraph Übung

• Vervollständige die Wertetabelle.

  Tipps

  Das Produkt zweier negativer Zahlen ist eine positive Zahl.

  Achte darauf, dass eine Quadratzahl immer positiv ist.

  Lösung

  Den Funktionswert $f(x)$ ermittelst du, indem du den jeweils gegebenen Wert für $x$ in die Funktion einsetzt. In diesem Fall ist die Funktion durch $f(x)=x^2$ gegeben. Hast du also eine beliebige Zahl $x$ gegeben, so sagt dir diese Funktion, dass du ihre Quadratzahl berechnen sollst. Das geht zum Beispiel so:

  $x=3\quad\Longrightarrow\quad f(3)=3^2 = 9$

  So sieht die fertige (und um den Wert für $0$ ergänzte) Tabelle aus:

  $\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 4 & 2 & -4 & -2 & 3 & -3 & -1 & 1\\ \hline f(x) & 0 & 16 & 4 & 16 & 4 & 9 & 9 & 1 & 1 \end{array}$

• Beschrifte die eingezeichneten Punkte mit ihren Koordinaten.

  Tipps

  Orientiere dich an den Hilfslinien im Koordinatensystem, um die Koordinaten eines Punktes abzulesen.

  Wenn du dir nicht sicher bist, ob ein Punkt auf der Parabel liegt, überprüfe, ob der $y$-Wert tatsächlich dem Quadrat des $x$-Wertes entspricht.

  Lösung

  Wenn du dir nicht sicher bist, ob ein Punkt $(x|y)$ tatsächlich auf der Parabel liegt, kannst du überprüfen, ob durch das Quadrieren des $x$-Wertes auch wirklich der $y$-Wert entsteht. Ist das nicht der Fall, kann der Punkt nicht auf der Parabel liegen, da die Parabel ja genau (und nur) aus den Punkten besteht, für die $y=x^2$ gilt. Somit können die Punkte $(3|3)$ und $(2|-4)$ nicht auf der Parabel liegen. Bei letzterem kannst du das auch daran sehen, dass Quadratzahlen immer positiv sind.
  Der Punkt $(5|25)$ liegt zwar eigentlich auf der Parabel, ist aber hier nicht eingezeichnet.
  Bei den restlichen Punkten reicht es aus, wenn du den $x$-Wert aus dem Graphen abliest und überprüfst, ob der zugehörige $y$-Wert auch tatsächlich durch Quadrieren des $x$-Wertes entsteht.

• Benenne die zur Funktionsgleichung gehörigen Wertetabellen.

  Tipps

  Setze die gegebenen $x$-Werte in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob du die angegebenen Funktionswerte erhältst.

  Beachte die Reihenfolge der Rechenoperationen! Das Quadrieren wird vor dem Multiplizieren durchgeführt.

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob die gegebenen Wertetabellen tatsächlich zur Funktionsgleichung passen, ist es am einfachsten, die $x$-Werte in die Funktionsgleichung einzusetzen. Wenn dir die Funktionsgleichung für jeden $x$-Wert einer Tabelle auch den gegebenen Funktionswert liefert, dann gehört die Tabelle auch tatsächlich zur Funktion.

  Betrachten wir die Tabelle

  $\begin{array}{c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3\\ \hline f(x) & 0 & 6 & 16\\ \end{array}$

  als Beispiel. Wir setzen die $x$-Werte (hier also $1$, $2$ und $3$) nacheinander in die Funktion $f(x)=2x^2-2$ ein und überprüfen, ob wir als Ergebnis die gegebenen Funktionswerte (also $0$, $6$ und $16$ in dieser Reihenfolge) erhalten. Zuerst $x=1$:

  $f(1)=2\cdot 1^2-2=2\cdot 1 -2 = 2-2 = 0$

  Dann $x=2$:

  $f(2)=2\cdot 2^2-2 =2\cdot 4 -2 = 8-2 = 6$

  Und zuletzt $x=3$:

  $f(3)=2\cdot 3^2-2=2\cdot9-2=18-2=16$

  Tatsächlich liefert die Funktion für alle drei $x$-Werte die richtigen Funktionswerte; die Tabelle ist also korrekt. Nach dem gleichen Verfahren kannst du auch herausfinden, dass die folgenden Tabellen ebenfalls korrekt sind:

  $\begin{array}{c|c|c|c} x & 0,5 & -0,5 & -1\\ \hline f(x) & -1,5 & -1,5 & 0\\ \end{array}$

  $\begin{array}{c|c|c|c} x & -1 & -2 & -4\\ \hline f(x) & 0 & 6 & 30\\ \end{array}$

  In die beiden anderen Tabellen haben sich Fehler eingeschlichen.

• Prüfe, welcher Funktionsgraph durch die gegebenen Punkte verläuft.

  Tipps

  Setze jeweils den $x$-Wert eines Punktes in alle drei Funktionen ein und überprüfe, ob eine der Funktionen den zugehörigen $y$-Wert liefert. Beim Punkt $(3|10)$ beispielsweise setzt du also die Zahl $3$ in alle drei Funktionen ein und überprüfst, ob du bei einer davon das Ergebnis $10$ erhältst.

  Beachte die Reihenfolge der Rechenoperationen! Das Quadrieren wird vor dem Multiplizieren ausgeführt.

  Die Funktion $f(x)=-x^2$ liefert die gleiche Parabel wie $f(x)=x^2$, nur an der $x$-Achse gespiegelt.

  Lösung

  Die folgenden Funktionen sind gegeben:

  • $f(x)=2x^2$
  • $g(x)=x^2+2$
  • $h(x)=-3x^2$

  Um herauszufinden, ob ein Punkt auf der Parabel einer dieser Funktionen liegt, setzt du den $x$-Wert dieses Punktes in die Funktion ein und überprüfst, ob dir die Funktion den zugehörigen $y$-Wert liefert. Probieren wir dies am ersten Punkt, also $(3|18)$ aus. Zur Erinnerung: Diese Schreibweise ist die Kurzform für einen Punkt, dessen $x$-Wert $3$ und dessen $y$-Wert $18$ ist.

  Setzen wir also $x=3$ in allen Funktionen, so erhalten wir die folgenden Ergebnisse:

  • $f(3)=2\cdot 3^2 = 2\cdot 9 = 18$ (Beachte: das Quadrieren wird vor dem Multiplizieren ausgeführt!)
  • $g(3)=3^2+2=9+2=11$
  • $h(3)=-3\cdot 3^2 = -3\cdot 9 = -27$

  Wir sehen, dass uns die Funktion $f(x)$ den richtigen Wert – nämlich $y=18$ – liefert. Der Punkt $(3|18)$ liegt also auf dem (parabelförmigen) Funktionsgraphen der Funktion $f(x)$.

  Wiederholen wir dieses Vorgehen für die restlichen Punkte, so erhalten wir die folgende Zuordnung:

  $\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Punkt} & \text{Funktion}\\ \hline (3|18) & f(x) \\ (2|6) & g(x) \\ (1|-3) & h(x) \\ (1|2) & f(x) \\ (-2|-12) & h(x) \\ (3|11) & g(x) \\ (1|3) & g(x) \\ (-2|8) & f(x) \\ (3|12) & \text{keine} \\ (2|-12) & h(x) \\ \hline \end{array}$

• Bestimme, welche Funktionswerte richtig berechnet wurden.

  Tipps

  Die zu untersuchende Funktion ist $f(x)=x^2$. Auf der rechten Seite sollte also immer das Quadrat der Zahl in der Klammer stehen.

  Das Produkt aus zwei negativen Zahlen ergibt eine positive Zahl.

  Lösung

  Wir betrachten die Funktion $f(x)=x^2$. Es wird hier also diejenige Zahl, die im Argument der Funktion (also in den Klammern neben dem $f$) steht, quadriert. Ein Beispiel: Setzen wir $x=2$, so ergibt sich

  $f(2)=4$,

  da $2$ zum Quadrat gleich $4$ ist.

  Quadrieren wir auch die anderen Zahlen, so sehen wir, dass die folgenden Funktionswerte richtig berechnet wurden:

  • $f(3)=9$
  • $f(-2)=4$
  • $f(0,5)=0,25$
  • $f(-1)=1$

  Beachte, dass auch negative Zahlen quadriert positive Zahlen ergeben.

  Die folgenden Funktionswerte wurden dementsprechend falsch berechnet:

  • $f(4)=8$ (richtig: $f(4)=16$)
  • $f(-3)=-9$ (richtig: $f(-3)=9$)
  • $f(1)=0$ (richtig: $f(1)=1$)
  • $f(2)=-4$ (richtig: $f(2)=4$)

• Ermittle die zur Funktionsgleichung zugehörige Parabel.

  Tipps

  Fertige dir zuerst eine Wertetabelle für die jeweilige Funktionsgleichung an und überprüfe dann, welche der Parabeln durch die jeweiligen Punkte verläuft.

  Hier siehst du den Graphen folgender Funktion:

  $f(x)=2x^2$

  Vergleichst du ihn mit der dir bereits bekannten Parabel $f(x)=x^2$, so wirst du feststellen, dass er in $y$-Richtung gestreckt ist.

  Beachte die Reihenfolge der Rechenoperationen! Das Quadrieren wird, solange nirgends Klammern stehen, vor dem Multiplizieren ausgeführt:

  $3x^2\neq (3x)^2$

  Lösung

  Hier siehst du die richtige Zuordnung der Funktionsgleichungen zu den Parabeln. Diese erhältst du, indem du dir Wertetabellen zu den Funktinosgleichungen anfertigst und dann überprüfst, welche der Parabeln durch die jeweils richtigen Punkte verläuft. So sollten deine Wertetabellen aussehen:

  $\begin{array}{lll} f(x)=3x^2 & \Longrightarrow & \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & -1 & -2 & -3 & -4 \\ \hline y & 0 & 3 & 12 & 27 & 48 & 3 & 12 & 27 & 48\end{array} \\ \\ f(x)=\dfrac{1}{2}x^2 & \Longrightarrow & \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & -1 & -2 & -3 & -4 \\ \hline y & 0 & 0,5 & 2 & 4,5 & 8 & 0,5 & 2 & 4,5 & 8 \end{array} \\ \\ f(x)=-2x^2 & \Longrightarrow & \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & -1 & -2 & -3 & -4\\ \hline y & 0 & -2 & -8 & -18 & -32 & -2 & -8 & -18 & -32 \end{array} \\ \\ f(x)=-\dfrac{1}{4}x^2+2 & \Longrightarrow & \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & -1 & -2 & -3 & -4\\ \hline y & 2 & 1,75 & 1 & -0,25 & -2 & 1,75 & 1 & -0,25 & -2 \end{array} \end{array}$

  Hier erkennen wir schon einige Eigenschaften solcher modifizierter Parabeln:

  • Ein positiver Vorfaktor vor dem $x^2$-Term streckt oder staucht die Parabel in $y$-Richtung, abhängig davon, ob er größer oder kleiner als $1$ ist.
  • Ein negativer Vorfaktor vor diesem Term spiegelt die Parabel an der $x$-Achse. Auch hier wird die Parabel wieder gestaucht oder gestreckt, abhängig davon, ob der Betrag des Vorfaktors größer oder kleiner als $1$ ist.
  • Die Addition eines konstanten Terms verschiebt die Parabel nach oben (Subtraktion würde sie entsprechend nach unten verschieben).