Volumen zusammengesetzter Körper

Volumen zusammengesetzter Körper Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu dem Volumen von zusammengesetzten Körpern.

  Tipps

  Eine Grundfläche eines Körpers kann eine beliebige Fläche sein, deren gegenüberliegende Fläche deckungsgleich ist.

  Hast du es mit einem ausgehöhlten Körper zu tun, beträgt das Gesamtvolumen am Ende weniger als das des äußeren Körpers.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du, indem du zwei beliebige Seitenlängen multiplizierst.“

  • Den Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmst du, indem du die Hälfte einer beliebigen Grundseite mit der zugehörigen Höhe (das ist die Länge, die senkrecht auf dieser Seite steht und in die gegenüberliegende Ecke des Dreiecks führt) multiplizierst. $A=\frac{1}{2} g \cdot h$

  „Möchtest du das Volumen eines ausgehöhlten Körpers bestimmen, kannst du zuerst das Volumen des äußeren Körpers berechnen und anschließend das Volumen des inneren Körpers addieren.“

  • Hast du es mit einem ausgehöhlten Körper zu tun, solltest du den inneren Körper vom äußeren abziehen.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Um das Volumen zusammengesetzter Körper zu bestimmen, solltest du zuerst die Teilkörper identifizieren.“

  „Das Volumen zusammengesetzter Körper kannst du bestimmen, indem du die Volumen der Teilkörper bestimmst und addierst.“

  • So solltest du vorgehen, um das Volumen zusammengesetzter Körper zu bestimmen.

  „Das Volumen eines Prismas kannst du berechnen, indem du den Flächeninhalt der Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.“

  • Eine Grundfläche kann eine beliebige Fläche sein, deren gegenüberliegende Fläche deckungsgleich ist.

• Berechne die Volumen der zusammengesetzten Körper.

  Tipps

  Um das Volumen zusammengesetzter Körper zu bestimmen, ist es hilfreich, zuerst die Teilkörper zu identifizieren.

  Bei jedem Körper, bei dem die gegenüberliegende Fläche zur Grundseite kongruent ist, kannst du das Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Das betrachtete Objekt besteht aus einem Quader und einem dreieckigen Prisma. Zunächst berechnet er die Volumen der beiden Teilkörper.“

  • Um das Volumen zusammengesetzter Körper zu bestimmen, ist es hilfreich, zuerst die Teilkörper zu identifizieren.

  „Das Volumen des Quaders bestimmt er, indem er die Grundfläche mit der Höhe multipliziert. Die Grundfläche berechnet er durch:

  $A=\mathbf{4 \cdot 20}= 80$

  Für das Volumen ergibt sich dann:

  $V_Q=\mathbf{80 \cdot 3}=240$

  Auch für das Prisma multipliziert er die Grundfläche mit der Höhe des Körpers, um das Volumen zu erhalten. Für die Grundfläche, die einem rechtwinkligen Dreieck entspricht, erhält er folgenden Flächeninhalt:

  $A=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3= \mathbf{6}$

  Multipliziert er das mit der Höhe, erhält er:

  $V_P=\mathbf{6 \cdot 3}=18$“

  • Bei jedem Körper, bei dem die gegenüberliegende Fläche zur Grundfläche kongruent ist, kannst du das Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.

  „Zum Schluss addiert er die beiden Körper und erhält:

  $V=\mathbf{V_Q+V_P}=258$“

  • Nachdem du die Teilvolumen des zusammengesetzten Körpers bestimmt hast, kannst du die Volumen addieren, um das Gesamtvolumen zu erhalten.

• Ermittle, aus welchen Teilkörpern die zusammengesetzten Körper bestehen.

  Tipps

  Überlege dir aus welchen Teilkörpern die Körper bestehen.

  Die Volumen der Teilkörper müssen entweder addiert ($+$), oder subtrahiert ($-$) werden, um das Gesamtvolumen zu erhalten.

  Lösung

  Überlege dir, aus welchen Teilkörpern die Körper bestehen. Dann erhältst du:

  • Der ausgehöhlte Quader besteht aus einem Quader und einem längs durchgeschnittenen Zylinder.
  • Der Turm mit Dach besteht aus einem Zylinder und einem Kegel.
  • Die letzte Figur besteht aus einem flachen Quader und einem Würfel.

• Ermittle das Volumen der zusammengesetzten Körper.

  Tipps

  Für die erste Figur musst du das Volumen eines Quaders berechnen. Das kannst du tun, indem du alle Seitenlängen miteinander multiplizierst. Ein Würfel ist ein Quader, bei dem alle Seitenlängen gleich lang sind.

  $V=a \cdot b \cdot c$

  Bei der zweiten Figur musst du das Volumen des Zylinders bestimmen. Dazu multiplizierst du die Fläche des Kreises mit der Höhe des Zylinders:

  $V_Z= \pi r^2 \cdot h$

  Hierbei ist $r$ der Radius des Kreises, also die Hälfte des Durchmessers.

  Beachte allerdings, dass in der zweiten Figur nur die Hälfte eines Zylinders vorkommt.

  Lösung

  Für die erste Figur musst du das Volumen eines Quaders berechnen. Das kannst du tun, indem du alle Seitenlängen miteinander multiplizierst. Ein Würfel ist ein Quader, bei dem alle Seitenlängen gleich lang sind.

  $V_Q=a \cdot b \cdot c$

  Das Volumen des Würfels beträgt:

  • $V_W=a \cdot a \cdot a =2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm}= 8~\text{cm}^3$

  Das Volumen des flachen Quaders beträgt:

  • $V_Q=a \cdot b \cdot c = 2~\text{cm} \cdot 1~\text{cm} \cdot 6~\text{cm}= 12~\text{cm}^3$

  Das Gesamtvolumen ist:

  • $V_G=V_Q+V_W=12~\text{cm}^3+ 8~\text{cm}^3 = 20~\text{cm}^3$

  Bei der zweiten Figur musst du das Volumen des Zylinders bestimmen. Dazu multiplizierst du die Fläche des Kreises mit der Höhe des Zylinders:

  $V_Z= \pi r^2 \cdot h$

  So erhältst du für den Zylinder:

  • $V_Z= \pi (2~\text{cm})^2 \cdot 8~\text{cm} \approx 100,5~\text{cm}^3$

  Die Hälfte des Zylinders beträgt:

  • $V_{\frac{Z}{2}}=\frac{V_Z}{2}=50,3~\text{cm}^3$

  Das Volumen des Quaders beträgt:

  • $V_Q=8~\text{cm} \cdot 8~\text{cm} \cdot 4~\text{cm}= 256~\text{cm}^3$

  Das Gesamtvolumen ist:

  • $V_G=V_Q-V_{\frac{Z}{2}}=256~\text{cm}^3- 50,3~\text{cm}^3 = 205,7~\text{cm}^3$

• Beschreibe das Vorgehen beim Berechnen des Volumens von zusammengesetzten Körpern.

  Tipps

  Beim Berechnen der Volumen zusammengesetzter Körper musst du zuerst erkennen, aus welchen Teilkörpern der zusammengesetzte Körper besteht.

  Beim Berechnen des Gesamtvolumens musst du entscheiden, ob du die Teilvolumen addieren oder subtrahieren musst.

  Lösung

  • Beim Berechnen der Volumen zusammengesetzter Körper musst du zuerst erkennen, aus welchen Teilkörpern der zusammengesetzte Körper besteht.
  • Anschließend berechnest du das Volumen dieser Teilkörper und fügst sie zu dem Gesamtvolumen zusammen. Dabei musst du entscheiden, ob du die Volumen addieren oder subtrahieren musst. Dies hängt davon ab, ob du einen ausgehöhlten Körper (rechts im Bild) oder einen aus Teilkörpern zusammengebauten Körper vorliegen hast.

• Ermittle das Volumen des komplexen zusammengesetzten Körpers.

  Tipps

  Das Volumen eines Zylinders berechnest du durch Multiplikation der Grundfläche mit der Höhe des Zylinders. Also:

  $V_Z= \pi r^2 \cdot h$

  Das Gesamtvolumen besteht aus den Zylindern mit dem Volumen $V_1$ und $V_2$, während die Zylinder $V_3$ und $V_4$ abgezogen werden müssen. So erhältst du:

  $V_{Ges}=V_1+V_2-V_3-V_4 $

  Lösung

  Das Volumen eines Zylinders berechnest du durch Multiplikation der Grundseite mit der Höhe des Zylinders. Also:

  $V_Z= \pi r^2 \cdot h$

  Für die einzelnen Zylinder erhalten wir:

  $V_1= \pi \cdot (17~\text{m})^2 \cdot 8~\text{m}= 7263,4 ~\text{m}^3$

  $V_2= \pi \cdot (8~\text{m})^2 \cdot 12~\text{m}= 2412,7 ~\text{m}^3$

  $V_3= \pi \cdot (16~\text{m})^2 \cdot 8~\text{m}= 6433 ~\text{m}^3$

  $V_4= \pi \cdot (16~\text{m})^2 \cdot 8~\text{m}= 1847,3 ~\text{m}^3$

  Das Gesamtvolumen besteht aus den Zylindern mit dem Volumen $V_1$ und $V_2$, während die Zylinder $V_3$ und $V_4$ abgezogen werden müssen. So erhältst du:

  $\begin{array}{&&} V_{Ges}&=V_1+V_2-V_3-V_4 \\ &= 7263,4 ~\text{m}^3+ 2412,7~\text{m}^3-6433 ~\text{m}^3-1847,3 ~\text{m}^3\\ &=1395,8~\text{m}^3 \end{array}$