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Geometrische Grundkörper identifizieren

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Team Digital
Geometrische Grundkörper identifizieren
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Grundlagen zum Thema Geometrische Grundkörper identifizieren

Inhalt

Geometrische Grundkörper identifizieren – Mathematik

Du kennst viele geometrische Körper schon aus dem Alltag. In diesem Video wird dir erklärt, wie man in der Mathematik die verschiedenen Körper anhand ihrer Eigenschaften unterscheidet.

Geometrische Grundkörper – Definition

Ein geometrischer Körper ist eine dreidimensionale Figur. Das bedeutet: Der Körper ist nicht eben wie ein Blatt Papier. Du kannst ihn in die Hand nehmen oder mit den Händen umfassen. Ein Körper wird von Flächen begrenzt, die zusammen die Oberfläche des Körpers bilden. Die verschiedenen Körper haben unterschiedlich viele Ecken, Kanten und Flächen. Die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen hilft dir dabei, die verschiedenen Grundkörper zu unterscheiden und zu erkennen.

Der Würfel

Der erste Grundkörper, den wir betrachten, kommt in vielen Spielen vor: Es ist der Würfel. Die Oberfläche des Würfels besteht aus $6$ quadratischen Flächen. Wo zwei Flächen aneinandergrenzen, liegt eine Kante des Würfels. Jeder Würfel hat $12$ Kanten. Dort, wo drei Kanten des Würfels aneinandergrenzen, liegt eine Ecke des Würfels. Jeder Würfel hat $8$ Ecken.

Geometrische Grundkörper Würfel

Der Quader

Container, die zum Beispiel von Lkws oder großen Schiffen transportiert werden, haben die Form eines Quaders. Vergleichst du einen Quader mit einem Würfel, so findest du heraus, dass beide dieselbe Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen haben. Sind also Quader und Würfel dasselbe? Nein, denn die Flächen eines Würfels sind immer Quadrate. Die Flächen eines Quaders können auch Rechtecke sein. Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang und alle Flächen gleich groß. Beim Quader sind die zueinander parallelen Kanten gleich lang und die einander gegenüberliegenden Flächen gleich groß.

Der Zylinder

Aus alten Filmen oder von Zauberern kennst du vielleicht den Zylinder. Was früher als Hut getragen wurde, ist auch ein geometrischer Grundkörper. Ein Zylinder hat keine Ecken und nur zwei Kanten. Diese beiden Kanten sind nicht gerade, sondern kreisförmig. Die Oberfläche des mathematischen Zylinders besteht aus drei Flächen, nämlich der Mantelfläche, der Grundfläche und der Deckfläche. Verwendet man den Zylinder als Kopfbedeckung, so lässt man die Grundfläche besser weg.

Geometrische Grundkörper Zylinder

Die Grundfläche eines Körpers ist diejenige Fläche, auf der der Körper steht. Die Deckfläche liegt parallel zur Grundfläche. Die Mantelfläche hüllt den Körper seitlich ein wie ein Mantel. Zur Mantelfläche gehören alle Begrenzungsflächen des Körpers mit Ausnahme der Boden- und Deckfläche.

Grund- und Deckfläche des Zylinders sind Kreisflächen. Wickelt man die Mantelfläche ab und streicht sie glatt, so ergibt sich ein Rechteck. Die Mantelfläche grenzt an die Deckfläche und an die Grundfläche. Dort hat der Zylinder jeweils eine kreisrunde Kante. Der Zylinder hat keine Ecken, denn Ecken eines Körpers entstehen nur dort, wo drei (oder mehr) Kanten aneinandergrenzen. Da der Zylinder nur zwei Kanten besitzt, kann er keine Ecken haben.

Die quadratische Pyramide

Hast du schon einmal Fotos von den Pyramiden in Ägypten gesehen? Die Form dieser Pyramiden kannst du mit den neu gelernten Begriffen gut beschreiben: Die Grundflächen der ägyptischen Pyramiden sind meistens Quadrate. Die Pyramide hat keine Deckfläche. Von jedem Eckpunkt der Grundfläche verläuft eine Kante zur Spitze der Pyramide. Die Mantelfläche der Pyramide besteht aus vier Seitenflächen. Jede Seitenfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck.

Geometrische Grundkörper Pyramide

Die quadratische Pyramide hat also $5$ Flächen, $8$ Kanten und $5$ Ecken.

Der Kegel

Einen Kegel kennst du bestimmt noch von deinem ersten Schultag: Eine Schultüte hat die Form eines Kegels. Die Oberfläche besteht aus nur zwei Flächen, nämlich der Mantelfläche und der Grundfläche. Schneidest du einen Kegel auseinander und rollst ihn ab, so erkennst du, welche Form diese Flächen haben: Die Grundfläche ist dabei eine Kreisfläche und die Mantelfläche ein Kreisausschnitt oder Kreissegment. Die einzige Kante des Kegels ist kreisförmig und grenzt die Mantelfläche und die Grundfläche voneinander ab. Obwohl der Kegel nur eine Kante hat, besitzt er dennoch eine Ecke, nämlich die Spitze des Kegels.

Geometrische Grundkoerper Kegel

Die Kugel

Auch die Kugeln am Weihnachtsbaum erfüllen die Definition eines geometrischen Körpers: Sie sind dreidimensionale Figuren, die durch Flächen begrenzt werden. Die Kugel ist aber ein sehr spezieller Körper. Das erkennst du, wenn du die Eigenschaften der Kugel mit denen der anderen Körper vergleichst: Die Oberfläche der Kugel besteht aus einer einzigen Fläche ohne begrenzende Kanten. Man nennt diese Fläche Kugeloberfläche oder Sphäre. Die Kugel hat insbesondere keine Kanten und keine Ecken.

Geometrische Grundkörper – Eigenschaften

In dieser Tabelle sind die Eigenschaften der geometrischen Grundkörper zusammengefasst:

Grundkörper Anzahl Ecken Anzahl Kanten Anzahl Flächen
Würfel $8$ $12$ $6$
Quader $8$ $12$ $6$
Zylinder $0$ $2$ $3$
Quadratische Pyramide $5$ $8$ $5$
Kegel $1$ $1$ $2$
Kugel $0$ $0$ $1$

In diesem Video über geometrische Grundkörper ...

... werden dir die geometrischen Grundkörper verständlich erklärt. Du lernst, wie man geometrische Körper anhand ihrer Eigenschaften erkennen und identifizieren kann.

Ergänzend zum Video kannst du dein neues Wissen über geometrische Grundkörper und ihre Eigenschaften in interaktiven Übungen ausprobieren.

Transkript Geometrische Grundkörper identifizieren

Dieses Wochenende verbringt Noa bei ihren Großeltern und stöbert auf dem Dachboden. In einer der vielen Kisten findet sie ein altes Fotoalbum. Gleich eines der ersten Fotos erinnert sie an ihre Hausaufgabe, bei der es darum geht "geometrische Grundkörper zu identifizieren" Doch, was ist ein geometrischer Körper? Nun, ein geometrischer Körper ist eine dreidimensionale Figur, die durch ihre Oberfläche beschrieben werden kann. "Geometrische Körper lassen sich durch ihre Eckenkanten und Flächen unterscheiden." Lass uns Noa bei ihren Überlegungen unterstützen und das erste Foto gemeinsam betrachten. Welchen geometrischen Körper kannst du hier erkennen? Richtiges ist der Würfel! Dieser besitzt eine bestimmte Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen. Doch was genau sind die Ecken und Kanten eines geometrischen Körpers? Flächen kennst du sicherlich schon viele, wie zum Beispiel das Quadrat, das Rechteck oder den Kreis. Am Würfel können wir 6 quadratische Flächen zählen und dort, wo zwei Flächen aneinandergrenzen, liegt je eine Kante vor. Demnach besitzt der Würfel 12 Kanten. Treffen nun an einer Stelle mindestens 3 dieser Kanten aufeinander, so liegt dort eine Ecke vor. Der Würfel besitzt also 8 Ecken. Gelten diese Eigenschaften nur für den Würfel? Dafür schauen wir uns nun das nächste Foto an. Wie viele Ecken, Kanten und Flächen kannst du an dem hier abgebildeten Container zählen?

Richtig, dieser hat ebenfalls 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen. Dieser Körper wird als Quader bezeichnet. Doch, was ist dann der Unterschied zwischen einem Quader und einem Würfel? Beide haben 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Begrenzungsflächen. Doch halt! Die Begrenzungsflächen eines Quaders können rechteckig sein, während die des Würfels immer quadratisch sind. Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang und alle Flächen gleich groß. Während bei einem Quader nur die zueinander parallelen Kanten gleich lang sowie die zueinander parallelen Flächen gleich groß sind. Das nächste Foto zeigt den Hochzeitstag von Noas Großeltern. Erkennst du, welcher geometrische Körper im Bild der Abbildung auf Noas Arbeitsblatt entspricht? Genau. Der Zylinder von Noas Großvater, welcher nämlich keine Ecken, 2 Kanten und 3 Flächen besitzt. Erinnert dich der Zylinder ebenfalls an den Quader? Schauen wir uns den Zylinder doch mal genauer an. Der Zylinder setzt sich aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einer Mantelfläche zusammen. Aber, was sind denn Grund-, Deck- und Mantelfläche? Die Grundfläche eines Körpers ist diejenige Fläche, auf welcher der Körper steht. Parallel zur Grundfläche befindet sich die Deckfläche. Bei einem Zylinder sind Grund- und Deckfläche gegenüberliegende, gleich große Kreisflächen. Zur Mantelfläche gehören alle Flächen, bis auf die Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche entspricht beim Zylinder abgerollt einer Rechtecksfläche. Dort, wo Mantelfläche und Grundfläche sowie Mantelfläche und Deckfläche aneinandergrenzen, liegt je eine Kante vor. Im Gegensatz zum Quader besitzt der Zylinder keine Ecken, denn ERINNERE DICH, eine Ecke liegt dort vor, wo mindestens drei Kanten aufeinander treffen. Der Zylinder aber weist nur zwei Kanten auf und kann somit keine Ecken besitzen. Das nächste Foto ist von der Hochzeitreise der Großeltern. Diese führte damals nach Ägypten und passt somit super zu dem nächsten geometrischen Körper: der quadratischen Pyramide. Doch wie genau sieht so eine quadratische Pyramide aus? Quadratische Pyramiden besitzen, wie der Name schon sagt, quadratische Grundflächen. An der Grundfläche grenzen die Seitenflächen der Pyramide. Diese Seitenflächen entsprechen gleichschenkligen Dreiecken. Somit bilden insgesamt vier identische Flächen die Seitenflächen der Pyramide. Welche Eigenschaften hat somit eine quadratische Pyramide? Richtig.Die quadratische Pyramide besitzt 5 Ecken, 8 Kanten und 5 Flächen. Betrachten wir das folgende Foto, auf welchem Noas Papa an seinem ersten Geburtstag zu sehen ist. Erkennst du den nächsten geometrischen Körper? "Genau. Der Partyhut sieht genauso aus wie der nächste geometrische Körper, der auf Noas Arbeitsblatt abgebildet ist der Kegel" Der Kelgel besteht aus einer Grund- und einer Mantelfläche. Die Grundfläche ist kreisförmig und die Mantelfläche entspricht einem Kreisausschnitt. Dort, wo Grundfläche und Mantelfläche aneinandergrenzen, liegt eine Kante vor. Die Mantelfläche bildet eine Spitze, also die Ecke eines Kegels. Es handelt sich hierbei um einen Spezialfall, da die Ecke nicht durch das Zusammentreffen von drei Kanten zustande kommt. Demnach besitzt der Kegel eine Ecke, eine Kante und zwei Flächen. Auch wenn die beiden geometrischen Körper Pyramide und Kegel sich optisch ähneln, so sind sie bezüglich ihrer Eigenschaften doch völlig unterschiedlich. Durch die kreisförmige Grundfläche bei dem Kegel und der quadratischen Grundfläche bei der Pyramide ergeben sich unterschiedliche Anzahlen für Ecken, Kanten und Flächen der beiden Körper. Genug von Papas Partyhut, auf zum nächsten Bild: Papas erstes Weihnachten. Welchen geometrischen Körper können wir hier identifizieren? ERINNERE DICH: Ein geometrischer Körper ist eine dreidimensionale Figur, die durch ihre Oberfläche beschrieben wird. Die Kugeln am Weihnachtsbaum erfüllen zwar diese Beschreibung, doch erfüllen sie auch die Eigenschaften auf Noas Arbeitsblatt? Egal aus welcher Perspektive wir die Kugel betrachten, wir sehen stets nur eine Fläche. Demnach besitzt die Kugel keine Ecken, keine Kanten und nur eine Fläche. Noas Tabelle ist endlich vollständig und du hast gelernt, dass ein geometrischer Körper eine dreidimensionale Figur ist, welche durch ihre Oberfläche beschrieben werden kann und unterschiedliche Eigenschaften besitzt. Du hast den Würfel, den Quader, den Zylinder, die Pyramide, den Kegel und die Kugel kennengelernt. Dabei hast du festgestellt, dass diese Körper sich in der Anzahl ihrer Ecken, Kanten und Flächen unterscheiden. Ob im nächsten Bild wieder ein geometrischer Körper versteckt ist? "Das erste Mal aufs Töpchen gegangen"und diesmal ist es nicht ihr Papa... oh, wie peinlich.

33 Kommentare

33 Kommentare
  1. Super Danke jetzt kann ich die Aufgaben viel besser 👍🏻☺️

    Von Defne, vor 15 Tagen
  2. Ihr Lieben!
    Schaut euch das Video an! Dann werdet ihr besser die Unterschiede zu den Körpern und Flächen erkennen!

    Von Valentyna Just, vor 3 Monaten
  3. Super Video, gut das es EUCH gibt 😅😅😅

    Von Jemima, vor 6 Monaten
  4. ya das macht spas

    Von Mikolaj, vor 11 Monaten
  5. Man findet es lustig und man lernt daraus

    Von Sawera , vor 12 Monaten
Mehr Kommentare

Geometrische Grundkörper identifizieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geometrische Grundkörper identifizieren kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie ein geometrischer Körper definiert ist.

    Tipps

    Auf dem Bild hier siehst du einen Würfel.

    Ein Würfel ist ein geometrischer Körper.

    Das Quadrat ist eine zweidimensionale oder ebene Figur. Sie besitzt genau eine Fläche.

    Ein Quadrat ist kein Körper.

    Die hier abgebildete Figur setzt sich aus drei geometrischen Grundkörpern zusammen.

    Lösung

    Um ihre Hausaufgabe bearbeiten zu können, muss Noa die Definition für einen geometrischen Körper kennen. Diese lautet wie folgt:

    Geometrische Körper sind dreidimensionale Figuren, die durch ihre Oberfläche beschrieben werden können.

    Hier siehst du die geometrischen Grundkörper:

    • Würfel,
    • Quader,
    • Zylinder,
    • quadratische Pyramide,
    • Kegel und
    • Kugel.
    Diese geometrischen Grundkörper unterscheiden sich unter anderem in der Anzahl ihrer Ecken, Kanten und Flächen.

    Hinweis: Die Definition bezieht sich allgemein auf den Begriff geometrischer Körper. Der Begriff Grundkörper fasst die hier dargestellten Körper zusammen. Es gibt noch weitere geometrische Körper, die nicht zu den Grundkörpern gehören.

  • Zeige die Unterschiede der geometrischen Grundkörper auf.

    Tipps

    In der Abbildung siehst du einen Quader, dessen Ecken markiert sind.

    Die allgemeine Definition für eine Ecke lautet:

    Eine Ecke liegt dann vor, wenn an einer Stelle mindestens $3$ Kanten aufeinandertreffen.

    Eine Kante findest du dort, wo zwei Flächen aneinandergrenzen.

    Lösung

    Bevor wir diese Aufgabe gemeinsam lösen, klären wir zunächst die Begriffe Ecke, Kante und Fläche.

    • Flächen kennst du evtl. schon. Beispiele sind das Quadrat, das Rechteck oder der Kreis.
    • Kanten findest du dort, wo zwei Flächen aneinandergrenzen.
    • Ecken tauchen dort auf, wo mindestens $3$ Kanten aufeinandertreffen.

    Jetzt, wo wir die Definition dieser Begriffe behandelt haben, können wir die Eigenschaften der gegebenen geometrischen Grundkörper angeben.

    • Quader: $8$ Ecken, $12$ Kanten, $6$ Flächen
    • Kugel: $0$ Ecken, $0$ Kanten, $1$ Fläche
    • Zylinder: $0$ Ecken, $2$ Kanten, $3$ Flächen
    • quadratische Pyramide: $5$ Ecken, $8$ Kanten, $5$ Flächen
    Zusatz: Der geometrische Körper Kegel besitzt eine Spitze. Obwohl die obige Regel für eine Ecke hier nicht zutrifft, definieren wir diesen Punkt als Ecke. Dies ist ein Sonderfall.

  • Berechne die Summe der Ecken, Kanten und Flächen des jeweiligen geometrischen Körpers.

    Tipps

    Bestimme zunächst die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen des jeweiligen Körpers. Bilde anschließend die Summe dieser Anzahlen und sortiere sie.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    Der Würfel hat $8$ Ecken, $12$ Kanten und $6$ Flächen.

    Als Summe dieser Anzahlen ergibt sich: $8+12+6=26$.

    Der Quader unterscheidet sich bezüglich der Anzahl von Ecken, Kanten und Flächen nicht vom Würfel.

    Lösung

    Lass uns nun gemeinsam die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen der jeweiligen Körper bestimmen.

    • Quader: $8$ Ecken, $12$ Kanten, $6$ Flächen
    • Kugel: $0$ Ecken, $0$ Kanten, $1$ Fläche
    • Zylinder: $0$ Ecken, $2$ Kanten, $3$ Flächen
    • quadratische Pyramide: $5$ Ecken, $8$ Kanten, $5$ Flächen
    • Kegel: $1$ Ecke, $1$ Kante, $2$ Flächen
    Demnach erhalten wir folgende Summen:

    • Quader: $8+12+6=26$
    • Kugel: $0+0+1=1$
    • Zylinder: $0+2+3=5$
    • quadratische Pyramide: $5+8+5=18$
    • Kegel: $1+1+2=4$
    Nun sortieren wir die geometrischen Körper ausgehend von der höchsten Summe:

    • Quader
    • quadratische Pyramide
    • Zylinder
    • Kegel
    • Kugel
  • Ordne jedem Körpernetz die Bezeichnung des zugehörigen geometrischen Grundkörpers zu.

    Tipps

    Die meisten geometrischen Grundkörper kannst du zu ihren Netzen aufklappen (Ausnahme: Kugel).

    Klappst du beispielsweise die Flächen einer quadratischen Pyramide auf, so erhältst du das hier abgebildete Netz.

    Ein Würfel setzt sich aus $6$ quadratischen Flächen zusammen.

    Hier siehst du alle geometrischen Grundkörper mit den Bezeichnungen.

    Lösung

    Zunächst überlegen wir uns, aus welchen Flächen sich die uns bekannten geometrischen Grundkörper zusammensetzen:

    • Der Würfel besitzt $6$ gleich große quadratische Flächen.
    • Der Quader besitzt $6$ rechteckige Flächen. Dabei sind die sich gegenüberliegenden Flächen stets gleich groß.
    • Der Zylinder setzt sich aus zwei gleich großen Kreisen und einem Rechteck zusammen.
    • Der Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche und die Mantelfläche entspricht einem Kreisausschnitt.
    • Die quadratische Pyramide hat eine quadratische Grundfläche und die Seitenflächen entsprechen $4$ kongruenten gleichschenkligen Dreiecken.
    • Die Kugel besteht nur aus einer Fläche. Es ist jedoch nicht möglich ein Körpernetz der Kugel zu erstellen.
    Demnach ordnen wir den gegebenen Körpernetzen folgende Körper zu:

    • 1. Netz: Kegel
    • 2. Netz: Zylinder
    • 3. Netz: Quader
    • 4. Netz: Würfel
  • Benenne die geometrischen Grundkörper.

    Tipps

    Die quadratische Pyramide besitzt $5$ Ecken, $8$ Kanten und $5$ Flächen.

    Der Zylinder hat keine Ecken.

    Die Körper Quader und Würfel stimmen bezüglich der Anzahl ihrer Ecken, Kanten und Flächen überein.

    Bei einem Würfel sind jedoch alle Kanten gleich lang, während bei einem Quader nur die sich gegenüberliegenden Kanten gleich lang sind.

    Lösung

    In der Abbildung siehst du die gegebenen geometrischen Grundkörper mit ihren jeweiligen Bezeichnungen. Diese geometrischen Grundkörper besitzen folgende Eigenschaften im Bezug auf die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen:

    • Würfel: $8$ Ecken, $12$ Kanten, $6$ Flächen
    • Quader: $8$ Ecken, $12$ Kanten, $6$ Flächen
    • Zylinder: $0$ Ecken, $2$ Kanten, $3$ Flächen
    • quadratische Pyramide: $5$ Ecken, $8$ Kanten, $5$ Flächen
    • Kegel: $1$ Ecke, $1$ Kante, $2$ Flächen
    • Kugel: $0$ Ecken, $0$ Kanten, $1$ Fläche
  • Entscheide, welches der gegebenen Körpernetze kein Quadernetz ist.

    Tipps

    Stell dir vor, du faltest diese Netze entlang der Kanten zu einem Körper zusammen. Welches ist dann nicht zu einem Quader formbar?

    Du kannst auch „rückwärts“ vorgehen:

    Auf welche Arten kannst du einen Quader auffalten?

    Lösung

    Hier dargestellt ist das Körpernetz, welches sich nicht zu einem Quader zusammenfalten lässt. Wie du siehst, würdest du beim Zusammenfalten zwei sich überlappende Flächen erhalten. Es kommt eine Fläche also doppelt vor. Die gegenüberliegende Fläche kommt hingegen gar nicht vor und würde in deinem zusammengefalteten Quader fehlen.

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