- Mathematik
- Geometrie
- Volumen und Oberfläche von Quadern und Würfeln
- Quader – Volumen und Oberfläche
Quader – Volumen und Oberfläche
Ein Quader ist ein Körper mit sechs Rechtecken als Seitenflächen, bei dem alle Kanten senkrecht aufeinander stehen. Der Oberflächeninhalt eines Quaders kann durch die Summe der Flächeninhalte der Seitenflächen berechnet werden. Das Volumen eines Quaders ist das Produkt von Grundfläche und Höhe. Schau mal an, und teste deine Kenntnisse im folgenden Artikel!
- Quader – Was ist das?
- Oberflächeninhalt eines Quaders
- Volumen eines Quaders
- Würfel und Quader – Oberfläche und Volumen im Vergleich
- Quader: Oberfläche und Volumen – fehlende Größen berechnen
- Ausblick – das lernst du nach Quader – Volumen und Oberfläche
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Quader – Oberfläche und Volumen
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Grundlagen zum Thema Quader – Volumen und Oberfläche
Quader – Was ist das?
In diesem Text lernst du, wie du Oberflächeninhalt und Volumen eines Quaders berechnen kannst. Aber was ist überhaupt ein Quader? Ein Quader ist ein Körper, bei dem alle Kanten jeweils senkrecht (eine andere Bezeichnung dafür ist orthogonal) aufeinander stehen. Ein Quader hat also sechs Rechtecke als Seitenflächen. Gegenüberliegende Flächen sind beim Quader parallel zueinander und gleich groß. Im Gegensatz zum Würfel müssen die Seitenflächen aber keine Quadrate und nicht alle gleich groß sein.
Fehleralarm
Es ist ein weit verbreiteter Irrtum, dass die Seitenflächen eines Quaders immer Quadrate sind. Doch aufgepasst: Die Seitenflächen eines Quaders sind Rechtecke, nur bei einem Würfel sind sie Quadrate.
Oberflächeninhalt eines Quaders
Boris möchte ein quaderförmiges Gewächshaus auf dem Mars errichten und muss dazu die Oberfläche eines Quaders berechnen. Die Quaderoberfläche besteht aus den sechs einzelnen Seitenflächen. Weil einander gegenüberliegende Flächen jeweils gleich groß sind, haben sie auch paarweise denselben Flächeninhalt. Um die Flächeninhalte zu berechnen, brauchen wir die Länge $a$, die Breite $b$ und die Höhe $c$ des Quaders.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal ein Geschenk verpackt und dich gefragt, wie viel Geschenkpapier du brauchst. Wenn dein Paket eine rechteckige Grundfläche besitzt, dann hat dein Paket die Form eines Quaders. Um das Geschenkpapier abzuschätzen, kannst du die Oberfläche des Quaders berechnen. So hilft dir Mathematik, die richtige Menge an Papier zu nutzen und Abfall zu vermeiden.
Oberflächeninhalt Quader – Formel
Der Oberflächeninhalt des Quaders ist die Summe der Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke seines Körpernetzes mit den drei Kantenlängen $a$, $b$ und $c$. Die einzelnen Rechtecke haben die Flächeninhalte $a \cdot b$ und $a \cdot c$ sowie $b \cdot c$. Jede dieser Flächen kommt zweimal in dem Körpernetz des Quaders vor.
Der Oberflächeninhalt $O$ des Quaders lässt sich also durch folgende Formel berechnen:
$O = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c $
Vereinfacht kann man das auch so schreiben:
$O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) $
Quader – Oberfläche berechnen
Die Grundfläche von Boris’ Gewächshaus hat eine Länge von $20\,\text m$ und eine Breite von $7\,\text m$. Das Gewächshaus soll $15\,\text m$ hoch werden. Eingesetzt in die Formel für den Oberflächeninhalt erhält man:
$O = 2 \cdot (20\,\text m \cdot 7\,\text m + 20\,\text m \cdot 15\,\text m + 7\,\text m \cdot 15\,\text m) = \underline{\underline{1\,090\,\text m^2}}$
Bei der Berechnung wird aus dem Produkt der Einheiten für die Länge $\text m \cdot \text m$ die Einheit $\text{m}^2$ für den Flächeninhalt. Man liest die Einheit als Quadratmeter.
Quaderoberfläche – Übung
Lösung:
- Formel aufstellen:
$O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) $ - Werte einsetzen:
$O = 2 \cdot (4\,\text {cm} \cdot 9\,\text {cm} + 4\,\text {cm} \cdot 3\,\text {cm} + 9\,\text {cm} \cdot 3\,\text {cm}) $ - Ergebnis berechnen:
$O = 2 \cdot (36\,\text{cm}^2+12\,\text{cm}^2+27\,\text{cm}^2)=2 \cdot 75\,\text{cm}^2=\underline{\underline{150\,\text{cm}}}^2$
Quader – Oberflächen Rechner
Volumen eines Quaders
Boris muss einen Teil seines Gewächshauses mit Erde befüllen. Um die Menge an Erde zu berechnen, muss er das Volumen des mit Erde befüllten Teils berechnen. Dieser Teil ist ebenfalls ein Quader, dessen Kanten mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet werden. Das Volumen eines Quaders ist das Produkt von Grundfläche und Höhe.
Die Länge $a$ und die Breite $b$ stimmen mit der Länge und der Breite des Gewächshauses überein.
Volumen Quader – Formel
Die Grundfläche des Quaders hat den Flächeninhalt $a \cdot b$. Das Volumen $V$ eines Quaders mit der Höhe $c$ kann man daher mit folgender Formel berechnen:
$V = a \cdot b \cdot c$
Bei dem Quader aus Erde stimmen die Länge $a$ und die Breite $b$ mit der Länge und der Breite des Gewächshauses überein. Das Gewächshaus soll $2\,\text m$ hoch mit Erde befüllt werden.
Das Volumen der Erde im Gewächshaus beträgt also:
$V = 20\,\text m \cdot 7\,\text m \cdot 2\,\text m = \underline{\underline{280\,\text m^3}}$
Die Einheit $\text{m}^3$ ist das Produkt $\text m \cdot \text m \cdot \text m$ der drei Einheiten $\text m$ der einzelnen Kantenlängen und heißt Kubikmeter.
Schlaue Idee
Wenn du ein Aquarium hast und neue Fische kaufst, berechne die Wassermenge in Litern, die du benötigst. Der Quader hilft dir, das Volumen deines Aquariums zu bestimmen, damit du die richtige Menge Wasser hinzufügst.
Quadervolumen – Übung
Lösung:
- Formel aufstellen:
$V = a \cdot b \cdot c$ - Werte einsetzen:
$V =2\,\text {dm} \cdot 10\,\text {dm} \cdot 15\,\text {dm}$ - Ergebnis berechnen:
$V = 20\,\text{dm}^2 \cdot 15\,\text{dm}=\underline{\underline{300\,\text{dm}^3}}$
Quader – Volumen Rechner
Würfel und Quader – Oberfläche und Volumen im Vergleich
Würfel | Quader | |
---|---|---|
Eigenschaften | alle Seitenflächen Quadrate alle Kanten gleich lang: $a$ |
alle Seitenflächen Rechtecke Kanten können bis zu $3$ verschiedene Längen besitzen: ${a, b, c}$ |
Oberflächeninhalt | $O=6⋅a^2$ | $O=2 \cdot (a \cdot b+a \cdot c+b \cdot c)$ |
Volumen | $V=a^3$ | $V=a \cdot b \cdot c$ |
Quader: Oberfläche und Volumen – fehlende Größen berechnen
Du kannst bei einem Quader, von dem du den Oberflächeninhalt oder das Volumen und zwei Kantenlängen kennst, die fehlende Kantenlänge berechnen. Hier siehst du ein Rechenbeispiel:
Lösungsweg:
- Formel aufstellen:
$V = a \cdot b \cdot c$ - Werte einsetzen:
$1000\,\text{m}^3 = 20\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} \cdot c$ - Gleichung vereinfachen und nach $c$ umstellen:
$1000\,\text{m}^3 = 200\,\text{m}^2 \cdot c$
$\Leftrightarrow \quad c =\dfrac{1000\,\text{m}^3}{200\,\text{m}^2}=\underline{\underline{5\,\text{m}}}$
Ausblick – das lernst du nach Quader – Volumen und Oberfläche
Als nächstes beschäftigen wir uns mit weiteren Aspekten der Volumen- und Oberflächenberechnung. Stärke dein Verständnis mit der Bestimmung von Oberflächen von Körpern mit Körpernetzen oder dem Volumen von zusammengesetzten Würfeln und Quadern.
Quader: Oberfläche und Volumen – Zusammenfassung
Ein Quader ist ein Körper mit sechs Rechtecken als Seitenflächen. Gegenüberliegende Flächen sind parallel und gleich groß.
Den Oberflächeninhalt eines Quaders berechnest du, indem du die Flächeninhalte der sechs Seitenflächen berechnest und addierts.
Die Formel hierzu lautet:
$O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$- Das Volumen eines Quaders berechnest du, indem du die Länge mit der Breite und der Höhe multiplizierst.
Die Formel hierzu lautet:
$V = a \cdot b \cdot c$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Quader – Oberfläche und Volumen
Der Rauminhalt oder das Volumen eines Quaders ist das Produkt aus Länge $a$, Breite $b$ und Höhe $c$: $V_Q = a \cdot b \cdot c$.
Das Volumen eines Quaders ist das Produkt aus den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$:
$V_Q = a \cdot b \cdot c$.
Wenn wir die Kantenlängen verdoppeln erhalten wir:
$V_\text{neu} = 2a \cdot 2b \cdot 2c = 8 \cdot (a \cdot b \cdot c) = 8 \cdot V_\text{alt}$.
Analog können wir auf für eine Verdreifachung oder Vervierfachung der Seitenlängen vorgehen. Es gilt:
- Kantenlängen verdoppelt: $V_\text{neu} = 8 \cdot V_\text{alt}$
- Kantenlängen verdreifacht: $V_\text{neu} = 27 \cdot V_\text{alt}$
- Kantenlängen vervierfacht: $V_\text{neu} = 64 \cdot V_\text{alt}$
Man berechnet das Volumen eines Quaders, indem man seine Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ multipliziert. Es gilt:
$V_Q = a \cdot b \cdot c$.
Das Volumen einer quaderförmigen Schachtel kann mit der Volumenformel für den Quader berechnet werden. Dazu werden Länge, Breite und Höhe der Schachtel multipliziert:
$V_{\text{Schachtel}} = a \cdot b \cdot c$.
Die Oberfläche eines Quaders setzt sich aus sechs Seitenflächen zusammen. Für einen Quader mit den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ kann sie mit der folgenden Formel berechnet werden:
$O_Q = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$.
Die Oberfläche eines Quaders ist eine Fläche. Sie gibt zum Beispiel an, wie viel Papier benötigt wird, um den Quader einzupacken, oder wie viel Farbe es braucht, um ihn anzumalen. Die Oberfläche wird in einer Flächeneinheit wie $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$ angegeben.
Das Volumen eines Quaders gibt dagegen seinen Rauminhalt an. Damit kann bestimmt werden, wie viel in den Quader hineinpasst. Das Volumen wird in einer Volumeneinheit wie $\text{cm}^3$ oder $\text{m}^3$ angegeben.
Die Grundfläche $G$ eines Quaders ist diejenige Seitenfläche, auf der der Quader steht. Ihren Flächeninhalt ist das Produkt aus Länge $a$ und Breite $b$: $G = a \cdot b$.
Die Oberfläche eines Quaders wir im Verhältnis zu seinem Volumen minimal, wenn sich die Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ möglichst wenig unterscheiden. Daher erhalten wir den minimalen Oberflächeninhalt bei gegebenem Volumen, wenn gilt: $a = b = c$. Da $V_Q = a \cdot b \cdot c = a^3 = 1\,000 \, \text{cm}^3$ ist der Quader mit $a = b = c = 10 \, \text{cm}$ der Quader mit dem geringsten Flächeninhalt und $V_Q = 1\,000 \, \text{cm}^3$.
Die Formel für das Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ lautet:
$V_Q = a \cdot b \cdot c$.
Die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ lautet:
$O_Q = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$.
Wir berechnen das Volumen des Kartons:
$V_K = a \cdot b \cdot c = 20\text{cm} \cdot 10~\text{cm} \cdot 8~\text{cm} = 1\,600~\text{cm}^3$.
Um die Anzahl der Kreidestücke, die in den Karton passen, zu ermitteln, müssen wir berechnen, wie oft das Volumen eines Kreidestücks in das Volumen des Kartons passt:
$V_K : 8~\text{cm}^3 = 1\,600~\text{cm}^3 : 8~\text{cm}^3 = 200$.
Antwort: Es passen $200$ Kreidestücke in den Karton.
a) $V_Q = a \cdot b \cdot c = 5\, \text{cm} \cdot 1\, \text{cm} \cdot 6 \, \text{cm} = 30 \, \text{cm}^3$
b) $V_Q = a \cdot b \cdot c = 10\, \text{cm} \cdot 6\, \text{cm} \cdot 5\, \text{cm} = 300\, \text{cm}^3$
c)$V_Q = a \cdot b \cdot c = 8\, \text{cm} \cdot 7 \, \text{cm} \cdot 3\, \text{cm} = 168\, \text{cm}^3$
d) $V_Q = a \cdot b \cdot c = 15\, \text{cm} \cdot 12\, \text{cm} \cdot 11\, \text{cm} = 1\,980\, \text{cm}^3$
Wir suchen nach Kombinationen von ganzen Zahlen für die Länge $a$, Breite $b$ und Höhe $c$ des Quaders, die das Volumen $V_Q = a \cdot b \cdot c = 60~\text{cm}^3$ ergeben:
- $a = 1~\text{cm}, b = 1~\text{cm}, c = 60~\text{cm}$
- $a = 1~\text{cm}, b = 2~\text{cm}, c = 30~\text{cm}$
- $a = 1~\text{cm}, b = 3~\text{cm}, c = 20~\text{cm}$
- $a = 1~\text{cm}, b = 4~\text{cm}, c = 15~\text{cm}$
- $a = 1~\text{cm}, b = 5~\text{cm}, c = 12~\text{cm}$
- $a = 1~\text{cm}, b = 6~\text{cm}, c = 10~\text{cm}$
- $a = 2~\text{cm}, b = 2~\text{cm}, c = 15~\text{cm}$
- $a = 2~\text{cm}, b = 3~\text{cm}, c = 10~\text{cm}$
- $a = 2~\text{cm}, b = 5~\text{cm}, c = 6~\text{cm}$
Es gibt $9$ Möglichkeiten.
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Wir schreiben das Jahr 2212. Die Menschheit hat den Mars besiedelt. Der Biologe Boris Bokowsky hat den Auftrag bekommen, ein Gewächshaus zu errichten. Mit dieser rechteckigen Grundfläche hat er auch schon den perfekten Ort dafür gefunden. Beim Bau des Gewächshauses hilft ihm sein Wissen über das Volumen und die Oberfläche des Quaders. Boris möchte ein quaderförmiges Gewächshaus errichten. Um die Menge an benötigtem Material berechnen zu können, muss er die Oberfläche des Gewächshauses und somit des Quaders berechnen. Die Oberfläche des Quaders besteht aus insgesamt 6 Rechtecken. Gegenüberliegende Flächen sind jeweils parallel zueinander und auch gleich groß. Zudem besitzt der Quader insgesamt 8 Ecken und 12 Kanten. Die Kanten sind jedoch nicht alle gleich lang. Wir haben drei verschiedene Kantenlängen für die Länge, die Breite und die Höhe. Diese bezeichnen wir mit a, b und c. Zur Berechnung der Oberfläche schauen wir uns das Körpernetz des Quaders an. Die Oberfläche des Quaders, abgekürzt mit einem großen O, berechnet sich aus der Summe aller Flächeninhalte. Wir erinnern uns: Der Flächeninhalt eines Rechtecks lässt sich mit der Formel a mal b berechnen. Für die anderen Flächen ergibt sich dann somit a mal c und b mal c. Diese Flächen gibt es jeweils zweimal. Um die gesamte Oberfläche berechnen zu können, addieren wir abschließend alle Flächen. Somit ergibt sich die Formel: "2 mal in Klammern a mal b, plus 2 mal in Klammern a mal c, plus 2 mal in Klammern b mal c". Das können wir zu "2 mal in Klammern a mal b plus a mal c plus b mal c" zusammenfassen. Das Gewächshaus hat eine Länge von 20 und eine Breite von 7 Metern. Es soll 15 Meter hoch werden, damit dort auch Platz für Bäume ist. Diese Werte setzen wir in unsere Formel ein und erhalten somit eine Gesamtoberfläche von 1090 Quadratmetern. Meter mal Meter wird hier zu Meter hoch 2. Wir sagen dazu Quadratmeter. Ein Teil des Gewächshauses muss allerdings zuvor mit Erde befüllt werden, um dort Pflanzen wachsen zu lassen. Dieser mit Erde befüllte Teil hat ebenfalls die Form eines Quaders. Damit Boris weiß, wie viel Erde er benötigt, muss er das Volumen, also den Rauminhalt, des Quaders berechnen. Auch die Kanten dieses Quaders bezeichnen wir wieder mit a, b und c. Das Volumen des Quaders berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe, also Länge mal Breite als Grundfläche mal der Höhe. Das ist demnach a mal b mal c. Auch in diese Formel können wir nun die entsprechende Werte eintragen. Wir wissen, dass das Gewächshaus 20 Meter lang und 7 Meter breit ist. Insgesamt soll es 2 Meter hoch mit Erde befüllt werden. Das Volumen des Quaders berechnet sich also aus 20 Meter mal 7 Meter mal 2 Meter. Als Gesamtvolumen dieses Quaders ergibt sich somit 280 Kubikmeter. Meter mal Meter mal Meter wird hier zu Meter hoch drei. Wir sagen dazu Kubikmeter. Lass uns das noch einmal zusammenfassen: Die Oberfläche des Quaders berechnet sich aus der Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen des Quaders. Somit ergibt sich die Formel: "2 mal in Klammern a mal b, plus a mal c, plus b mal c". a, b und c sind dabei die Kanten des Quaders. Die Oberfläche umschließt das Volumen des Quaders. Du berechnest das Volumen des Quaders mit der Formel a mal b mal c. Boris hat es endlich geschafft sein Gewächshaus zu errichten. Er ist mächtig stolz auf sein Werk. Doch, was ist das? Da haben es sich wohl schon ein paar Mars-Schädlinge in den Pflanzen gemütlich gemacht.
Quader – Volumen und Oberfläche Übung
-
Gib die Formel für die Berechnung von Volumen und Oberfläche eines Quaders an.
Tipps- Die Einheit einer Fläche ist immer zur zweiten Potenz erhoben. Sie kann zum Beispiel Quadratmeter, also $\text{m}^2$ sein.
- Eine Volumeneinheit hingegen ist immer zur dritten Potenz erhoben, wie zum Beispiel Kubikmeter, also $\text{m}^3$.
Das Volumen eines Quaders entspricht dem Produkt aus seiner Grundfläche und seiner Höhe.
Die Oberfläche eines Quaders erhältst du, indem du alle rechteckigen Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addierst. Beachte, dass zwei gegenüberliegende Flächen immer kongruent zueinander sind.
LösungLass uns nun die Formeln für Volumen und Oberfläche eines Quaders gemeinsam herleiten.
Oberfläche eines Quaders
Die Oberfläche eines Quaders erhalten wir, indem wir alle rechteckigen Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addieren. Dabei müssen wir beachten, dass zwei sich gegenüberliegende Flächen immer kongruent sind. Die Fläche eines Rechtecks erhalten wir, indem wir dessen Länge und Breite miteinander multiplizieren. Hierzu nehmen wir an, dass der Quader die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ hat und erhalten die folgenden rechteckigen Teilflächen je zweimal:
- $ab$
- $ac$
- $bc$
- $O=2ab+2ac+2bc$
- $O=2\left(ab+ac+bc\right)$
Volumen eines Quaders
Das Volumen eines Quaders erhalten wir, indem wir seine Grundfläche und seine Höhe miteinander multiplizieren. Da die Grundfläche das Produkt zweier Seitenlängen und die Höhe die jeweils übrige Seitenlänge ist, erhalten wir für ein Quader mit $a$, $b$ und $c$ folgende Volumenformel:
- $V=abc$
-
Berechne Volumen und Oberfläche des jeweiligen Quaders.
TippsBeachte, dass die Höhe des quaderförmigen Gewächshauses eine andere ist, als die Höhe des mit Erde gefüllten Quaders.
Beachte folgende Rechenregeln:
- Klammern zuerst!
- Punkt- vor Strichrechnung!
Das Volumen eines Quaders erhält man, indem man seine Grundfläche mit seiner Höhe multipliziert. Für den hier abgebildeten Quader ergibt sich dann folgendes Volumen:
$\begin{array}{lll} V &=& 1\ \text{m}\cdot 5\ \text{m}\cdot 3\ \text{m} \\ &=& 15\ \text{m}^3 \end{array}$
Die Oberfläche eines Quaders erhält man, indem man alle Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addiert. So folgt für den hier abgebildeten Quader folgende Rechnung:
$\begin{array}{lll} O &=& 2\cdot\left(1\ \text{m}\cdot 5\ \text{m}+1\ \text{m}\cdot 3\ \text{m}+ 5\ \text{m}\cdot 3\ \text{m}\right) \\ &=& 2\cdot\left(5\ \text{m}^2+3\ \text{m}^2+15\ \text{m}^2\right) \\ &=& 2\cdot 23\ \text{m}^2 \\ &=& 46\ \text{m}^2 \end{array}$
LösungOberfläche des Gewächshauses
Um die Oberfläche eines Quaders zu berechnen, müssen wir alle Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addieren. Ein Quader setzt sich aus insgesamt sechs rechteckigen Flächen zusammen. Dabei sind sich gegenüberliegende Seiten kongruent, also gleich groß. Somit erhalten wir für die Oberfläche des Gewächshauses zunächst folgende Formel:
$\begin{array}{lll} O &=& 2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c &=& 1~090\ \text{m}^2 \end{array}$
Hier können wir den Faktor $2$ noch ausklammern und die Werte entsprechend einsetzen:
$\begin{array}{lll} O &=& 2\cdot\left(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\right) \\ &=& 2\cdot\left(20\ \text{m}\cdot 7\ \text{m}+20\ \text{m}\cdot 15\ \text{m}+ 7\ \text{m}\cdot 15\ \text{m}\right) \\ &=& 2\cdot\left(140\ \text{m}^2+300\ \text{m}^2+105\ \text{m}^2\right) \\ &=& 2\cdot 545\ \text{m}^2 \\ &=& 1~090\ \text{m}^2 \end{array}$
Also besitzt das quaderförmige Gewächshaus eine Oberfläche von $1090\ \text{m}^2$.
Volumen der benötigten Erde
Das Volumen eines Quaders erhält man, indem man seine Grundfläche mit seiner Höhe multipliziert. In unserem Beispiel ist die Grundfläche gegeben durch das Rechteck mit den Seitenlängen $a=20\ \text{m}$ und $b=7\ \text{m}$. Die Höhe der benötigten Erde ist gegeben mit $d=2\ \text{m}$. Damit erhalten wir das folgende Volumen für die benötigte Erde:
$\begin{array}{lll} V &=& a\cdot b\cdot d \\ &=& 20\ \text{m}\cdot 7\ \text{m}\cdot 2\ \text{m} \\ &=& 280\ \text{m}^3 \end{array}$
Es wird also Erde mit einem Volumen von $280\ \text{m}^3$ benötigt.
-
Ermittle die Oberflächen und das Volumen der gegebenen Quader.
TippsDie Oberfläche eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
- $O=2\cdot\left(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\right)$
Das Volumen eines Quaders erhältst du, indem du dessen Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizierst.
LösungDie Oberfläche eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ können wir mit folgender Formel berechnen:
- $O=2\cdot\left(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\right)$
- $V=a\cdot b\cdot c$
Quader 1: $~a=10\ \text{cm}$, $b=5\ \text{cm}$, $c=7\ \text{cm}$
Für die Oberfläche erhalten wir:
$\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(10\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm}+10\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}+5\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(50\ \text{cm}^2+70\ \text{cm}^2+35\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 155\ \text{cm}^2 \\ &=& 310\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$
Das Volumen berechnen wir wie folgt:
$\begin{array}{lll} \\ V &=& 10\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm} \\ &=& 350\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$
Quader 2: $~a=5\ \text{cm}$, $b=3\ \text{cm}$, $c=2\ \text{cm}$
Für die Oberfläche dieses Quaders erhalten wir also folgende Rechnung:
$\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(5\ \text{cm}\cdot 3\ \text{cm}+5\ \text{cm}\cdot 2\ \text{cm}+3\ \text{cm}\cdot 2\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(15\ \text{cm}^2+10\ \text{cm}^2+6\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 31\ \text{cm}^2 \\ &=& 62\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$
Die Berechnung für das Volumen sieht wie folgt aus:
$\begin{array}{lll} \\ V &=& 5\ \text{cm} \cdot 3\ \text{cm}\cdot 2\ \text{cm} \\ &=& 30\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$
Quader 3: $~a=15\ \text{cm}$, $b=7\ \text{cm}$, $c=5\ \text{cm}$
Die Oberfläche dieses Quaders berechnen wir wie folgt:
$\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(15\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}+15\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm}+7\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(105\ \text{cm}^2+75\ \text{cm}^2+35\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 215\ \text{cm}^2 \\ &=& 430\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$
Die Volumenberechnung sieht wie folgt aus:
$\begin{array}{lll} \\ V &=& 15\ \text{cm} \cdot 7\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm} \\ &=& 525\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$
Quader 4: $~a=8\ \text{cm}$, $b=10\ \text{cm}$, $c=4\ \text{cm}$
Die Oberfläche dieses Quaders erhalten wir also durch folgende Rechnung:
$\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(8\ \text{cm}\cdot 10\ \text{cm}+8\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm}+10\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(80\ \text{cm}^2+32\ \text{cm}^2+40\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 152\ \text{cm}^2 \\ &=& 304\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$
Das Volumen berechnen wir wieder wie folgt:
$\begin{array}{lll} \\ V &=& 8\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm} \\ &=& 320\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$
-
Bestimme die Volumina der gegebenen Quader.
TippsBeachte, dass du nur Längen mit derselben Längeneinheit miteinander multiplizieren darfst. Daher musst du die gegebenen Längen vor der Berechnung des Volumens in eine gemeinsame Einheit umrechnen.
Dem hier abgebildeten Schema kannst du entnehmen, wie du die Längen Zentimeter ($\text{cm}$), Dezimeter ($\text{dm}$) und Meter ($\text{m}$) ineinander umrechnest.
- Beispiel $1$: $10~\text{dm} = 1~\text{m} $
- Beispiel $2$: $10~\text{cm} = 1~\text{dm}$
Da alle Volumina in Kubikdezimetern, also $\text{dm}^3$ gegeben sind, ist es sinnvoll, die Seitenlängen in Dezimeter, also $\text{dm}$, umzurechnen.
Das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ berechnest du mit folgender Formel:
- $V=a\cdot b\cdot c$
LösungDas Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ berechnen wir mit folgender Formel:
- $V=a\cdot b\cdot c$
- $10\ \text{cm}=1\ \text{dm}$
- $10\ \text{dm}=1\ \text{m}$
Produkte mit Volumen $105\ \text{dm}^3$
Übertopf Olaf:
- $a=5\ \text{dm}$
- $b=70\ \text{cm}=7\ \text{dm}$
- $c=3\ \text{dm}$
- $V=5\ \text{dm}\cdot 7\ \text{dm}\cdot 3\ \text{dm}=105\ \text{dm}^3$
- $a=7\ \text{dm}$
- $b=1,5\ \text{m}=15\ \text{dm}$
- $c=10\ \text{cm}=1\ \text{dm}$
- $V=7\ \text{dm}\cdot 15\ \text{dm}\cdot 1\ \text{dm}=105\ \text{dm}^3$
Blumenkasten Lilli:
- $a=2\ \text{dm}$
- $b=0,4\ \text{m}=4\ \text{dm}$
- $c=1,4\ \text{m}=14\ \text{dm}$
- $V=2\ \text{dm}\cdot 4\ \text{dm}\cdot 14\ \text{dm}=112\ \text{dm}^3$
- $a=2\ \text{dm}$
- $b=80\ \text{cm}=8\ \text{dm}$
- $c=0,7\ \text{m}=7\ \text{dm}$
- $V=2\ \text{dm}\cdot 8\ \text{dm}\cdot 7\ \text{dm}=112\ \text{dm}^3$
- $a=0,4\ \text{m}=4\ \text{dm}$
- $b=40\ \text{cm}=4\ \text{dm}$
- $c=7\ \text{dm}$
- $V=4\ \text{dm}\cdot 4\ \text{dm}\cdot 7\ \text{dm}=112\ \text{dm}^3$
Blumenkasten Lola:
- $a=20\ \text{cm}=2\ \text{dm}$
- $b=3\ \text{dm}$
- $c=9\ \text{dm}$
- $V=2\ \text{dm}\cdot 3\ \text{dm}\cdot 9\ \text{dm}=54\ \text{dm}^3$
- $a=30\ \text{cm}=3\ \text{dm}$
- $b=0,3\ \text{m}=3\ \text{dm}$
- $c=6\ \text{dm}$
- $V=3\ \text{dm}\cdot 3\ \text{dm}\cdot 6\ \text{dm}=54\ \text{dm}^3$
-
Beschreibe die Eigenschaften eines Quaders.
TippsDenk an einen Spielwürfel. Der Würfel ist nämlich ein Spezialfall des Quaders, bei dem alle Flächen gleich groß und somit quadratisch sind.
Ein Quader besitzt überall dort eine Ecke, wo drei Kanten aufeinandertreffen.
LösungLass uns gemeinsam die Eigenschaften eines Quaders untersuchen:
- Die Oberfläche des Quaders besteht aus insgesamt $6$ Rechtecken. Sich gegenüberliegende Flächen sind jeweils parallel zueinander und gleich groß, also kongruent.
- Zudem können wir am Quader $12$ Kanten zählen. Diese sind jedoch nicht alle gleich lang. Der Quader kann drei verschiedene Kantenlängen besitzen, nämlich jeweils eine für die Länge, die Breite und die Höhe. Diese bezeichnet man in der Regel mit $a$, $b$ und $c$.
- Überall dort, wo drei Kanten aufeinandertreffen, besitzt der Quader eine Ecke. Demnach können wir beim Quader insgesamt $8$ Ecken feststellen.
-
Ermittle ausgehend vom Volumen und zwei Seitenlängen eines Quaders die fehlende Seitenlänge.
TippsDas Volumen eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ berechnest du mit folgender Formel:
- $V=a\cdot b\cdot c$
Beispiel: Gesucht ist $a$. Die gegebene Formel stellst du wie folgt um:
$\begin{array}{lllll} V&=&a\cdot b\cdot c &\vert& : (b \cdot c) \\ \dfrac{V}{b \cdot c} &=& \dfrac{a \cdot b\cdot c}{b \cdot c} && \\ \dfrac{V}{b \cdot c} &=& a &&\\ a &=& \dfrac{V}{b \cdot c} &&\\ \end{array}$
Achte darauf, in welcher Einheit die fehlende Seitenlänge gesucht ist. Sinnvoll ist es, alle Angaben in diese Einheit umzurechnen und dann die fehlende Höhe zu bestimmen.
Die Längeneinheiten kannst du mithilfe des hier abgebildeten Schemas ineinander umrechnen.
LösungDas Volumen eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ berechnen wir mit folgender Formel:
- $V=a\cdot b\cdot c$
- $c=\dfrac{V}{a\cdot b}$
Behälter 1
Gegeben: $~a=5\ \text{dm}$; $~b=20\ \text{cm}$; $~V=60\ \text{dm}^3$
Gesucht: $~~c$ in $\text{dm}$
Da die Höhe hier in Dezimeter gesucht ist, eignet es sich, die Seitenlängen in Dezimeter und das Volumen in Kubikdezimeter umzurechnen. So erhalten wir:
- $a=5\ \text{dm}$
- $b=20\ \text{cm}=2\ \text{dm}$
- $V=60\ \text{dm}^3$
- $c=\dfrac{60\ \text{dm}^3}{5\ \text{dm}\cdot 2\ \text{dm}}=\dfrac{60\ \text{dm}^3}{10\ \text{dm}^2}=6\ \text{dm}$
Gegeben: $~a=20\ \text{mm}$, $~b=3,5\ \text{dm}$, $~V=280\ \text{cm}^3$
Gesucht: $~~c$ in $\text{cm}$
Diesmal ist die Höhe in Zentimeter gesucht, sodass wir die Seitenlängen in Zentimeter und das Volumen in Kubikzentimeter umrechnen. Wir erhalten dann:
- $a=20\ \text{mm}=2\ \text{cm}$
- $b=3,5\ \text{dm}=35\ \text{cm}$
- $V=280\ \text{cm}^3$
- $c=\dfrac{280\ \text{cm}^3}{2\ \text{cm}\cdot 35\ \text{cm}}=\dfrac{280\ \text{cm}^3}{70\ \text{cm}^2}=4\ \text{cm}$
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Danke hat sehr geholfen.
Und auch sehr angemessen.
Team.Digital bitte so weiter machen. ;)
goudes vitio
Hat sehr gut geholfen,habe auch in meinem Mahte Test 100% richtig nur das das Thema in der Schule ein bischen anders war hat es mir trotzdem sehr gut geholfen🥳
Hat gut geklappt 👍
Super!!!