Würfel – Volumen und Oberfläche
Schau dir das Video an und lerne, wie man das Volumen und die Oberfläche eines Würfels berechnet. Erfahre die Definitionen und Formeln, um den Flächeninhalt und das Volumen zu bestimmen. Beachte dabei die richtigen Maßeinheiten. Neugierig geworden? Das und noch mehr wirst du im folgenden Text entdecken!
- Oberflächeninhalt von einem Würfel
- Oberfläche von einem Würfel – Formel
- Oberfläche von einem Würfel berechnen
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Grundlagen zum Thema Würfel – Volumen und Oberfläche
Oberflächeninhalt von einem Würfel
Ein Würfel ist ein Körper, d. h. er ist dreidimensional. Ein Würfel hat zwölf Kanten, die alle dieselbe Kantenlänge $a$ haben. Er wird außerdem von sechs quadratischen Flächen begrenzt.
Die Oberfläche des Würfels umschließt den Würfel von allen Seiten. Der Oberflächeninhalt beschreibt, wie groß die Oberfläche des Würfels insgesamt ist. Er ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte aller sechs Flächen des Würfels.
Der Rauminhalt, der in den Würfel hinein passt, heißt Volumen des Würfels.
In der folgenden Abbildung siehst du ein Beispiel eines Würfels mit der Kantenlänge $a$.
Wusstest du schon?
Beim Zauberwürfel, auch bekannt als Rubik’s Cube, gibt es über $43$ Trillionen mögliche Kombinationen für die Anordnung der bunten Seiten! Aber egal, wie du ihn drehst und wendest, die Oberfläche und das Volumen bleiben immer gleich.
Weißt du, aus wie vielen kleinen bunten Würfeln ein Zauberwürfel zusammengesetzt ist? Und aus wie vielen kleinen bunten Quadraten setzt sich die Oberfläche des gesamten Würfels zusammen?
Es sind $26$ kleine Würfel plus ein Kern in der Mitte – und es gibt $6 \cdot 3 \cdot 3 = 54$ kleine bunte Quadrate, jeweils $9$ in einer der $6$ Farben.
Oberfläche von einem Würfel – Formel
Faltet man die Oberfläche eines Würfels auseinander, so erhält man das Körpernetz des Würfels. Es besteht aus sechs gleichen Quadraten der Kantenlänge $a$:
Der Oberflächeninhalt eines Würfels ist die Summe der Flächeninhalte dieser Quadrate. Jedes einzelne Quadrat hat den Flächeninhalt $A_\Box = a \cdot a = a^2$.
Die Würfeloberfläche setzt sich aus sechs Quadraten der Fläche $A_\Box$ zusammen, daher hat der Würfel $W$ den Oberflächeninhalt:
$A_{W} = 6 \cdot A_\Box = 6 \cdot a^{2}$
Mithilfe dieser Formel können wir nun den Oberflächeninhalt eines Würfels berechnen.
Oberfläche von einem Würfel berechnen
Ava möchte ein würfelförmiges Gewächshaus auf einem Planeten errichten. Für die Abschätzung des Baumaterials muss sie die Oberfläche eines Würfels berechnen.
Avas Gewächshaus soll so groß sein, dass sie in jeder Richtung bequem darin stehen und liegen kann. Dazu muss die Kantenlänge $a = \pu{2 m}$ groß sein. Den Oberflächeninhalt des Würfels mit der Kantenlänge $a = \pu{2 m}$ erhalten wir nun durch Einsetzen in die Formel:
$A_{W} = 6 \cdot A_\Box = 6 \cdot a^{2} = 6 \cdot (\pu{2 m})^{2} = 6 \cdot 2^{2}\,\pu{m2}= \pu{24 m2}$
Die Einheit $\pu{m2}$ des Flächeninhalts ist das Quadrat der Einheit $\text{m}$ und wird daher Quadratmeter genannt. Es gilt: $\pu{m2} = \text{m} \cdot \text{m}$
Zum Bau ihres Gewächshauses braucht Ava nur die Mantel- und Deckfläche, nicht die Bodenfläche. Sie zieht daher den Flächeninhalt $A_{\Box} = a^{2} = \pu{4 m2}$ der Bodenfläche wieder ab und kommt damit auf $\pu{20 m2}$ Flächenbedarf für den Bau ihres Gewächshauses.
Kennst du das?
Hast du schon einmal in einem Zimmer gestanden und dich gefragt, wie groß es wohl ist? Indem du die Länge, Breite und Höhe des Zimmers misst, kannst du das Volumen berechnen und weißt, wie viel Luft das Zimmer füllt.
Um die Wände zu streichen, würde man zuerst die gesamte Oberfläche der Wände berechnen. Erkennst du, wie Mathematik dir hilft, dein Umfeld besser zu verstehen?
Volumen von einem Würfel – Formel
Um das Volumen ihres Gewächshauses zu bestimmen, verwendet Ava die Formel für das Volumen eines Würfels.
Da der Würfel dreidimensional ist und alle Kanten dieselbe Länge haben, ist das Volumen:
$V= a \cdot a \cdot a = a^3$
Mithilfe dieser Formel können wir nun den Rauminhalt berechnen, also das Volumen.
Volumen von einem Würfel berechnen
Um zu wissen, wie viel Luft in das Gewächshaus passt, berechnet Ava das Volumen eines Würfels mit entsprechender Kantenlänge.
Das Volumen von Avas Gewächshaus lässt sich durch Einsetzen von $a = \pu{2 m}$ in die Formel für das Würfelvolumen berechnen:
$V = a^3 = (\pu{2 m})^3 = 2^3\,\pu{m3} = \pu{8 m3}$
Die Einheit $\pu{m3}$ des Volumens ist die dritte Potenz der Einheit $\text{m}$ (also $\text{m}$ hoch drei) und wird Kubikmeter genannt. Es gilt: $\pu{m3} = \text{m} \cdot \text{m} \cdot \text{m}$
Das Volumen eines Körpers kann auch in der Einheit Liter angegeben werden. Dabei entspricht ein Liter einem Kubikdezimeter, also $\pu{0,1 m}$ hoch drei.
Das ist demnach gleichbedeutend mit $0{,}001$ Kubikmetern:
$1 ~\ell = \pu{1 dm3} = {\left( \pu{0,1 m} \right)}^3 = \pu{0,001m3}$
Oberfläche aus dem Volumen eines Würfels berechnen
Ist das Volumen eines Würfels gegeben, kann daraus die Oberfläche des Würfels abgeleitet werden. Dazu muss zuerst die Kantenlänge mithilfe des Volumens berechnet werden. Sehen wir uns ein Beispiel an:
Ein Würfel habe ein Volumen von $V = \pu{125 cm3}$.
- Aus der Formel für das Volumen von Würfeln $\left( V= a \cdot a \cdot a = a^{3} \right)$ lässt sich die Seitenlänge $a = \pu{5 cm}$ ableiten, denn:
$5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ - Die Seitenlänge kann nun in die Formel zur Oberflächenberechnung für Würfel $\left( A_{W} = 6 \cdot A_{\Box} = 6 \cdot a^2 \right)$ eingesetzt werden:
$A_{W} = 6 \cdot 5^2 = 150$ - Der Würfel hat also eine Oberfläche von $\pu{150 cm2}$
Um die Oberfläche eines Würfels aus dessen Volumen zu berechnen, muss zuerst die Kantenlänge bestimmt werden.
Wenn umgekehrt die Oberfläche gegeben ist und das Volumen daraus berechnet werden soll, ist das Vorgehen ähnlich. Wieder muss zuerst die Kantenlänge $a$ bestimmt werden, in diesem Fall allerdings mithilfe der Formel des Oberflächeninhalts $\left( A_{W} = 6 \cdot a^2 \right)$.
Ausblick – das lernst du nach Würfel – Volumen und Oberfläche
Weiter geht's mit geometrischen Körpern! Vertiefe dein Wissen und lerne auch, wie Berechnungen des Volumens und der Oberfläche von Quadern durchgeführt werden. Bist du bereit für das nächste Abenteuer in der Welt der Mathematik?
Zusammenfassung des Würfels – Volumen und Oberfläche
- Würfel sind dreidimensionale Körper mit zwölf Kanten der Kantenlänge $a$ und sechs quadratischen Seiten der Fläche $A_{\Box} = a^2$.
Sie besitzen eine Oberfläche und ein Volumen. - Die Oberfläche wird mit der Formel $A_{W} = 6 \cdot A_{\Box} = 6 \cdot a^2 $ berechnet.
- Das Volumen berechnet man mit $V= a \cdot a \cdot a = a^3 $.
- Ist entweder die Oberfläche oder das Volumen gegeben, kannst du die jeweils andere Größe berechnen, indem du zuerst die Kantenlänge $a$ bestimmst.
Im Bild siehst du noch einmal die zur Berechnung benötigte Formeln für Oberfläche und Volumen eines Würfels:
Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen und Oberfläche eines Würfels
Transkript Würfel – Volumen und Oberfläche
Ava hatte mit ihrem Raumschiff eine Bruchlandung und sitzt nun auf diesem einsamen Planeten fest. Wie soll sie hier nur überleben? Ava hat nur noch eine einzige Karotte dabei. Vielleicht kann sie die ja irgendwo einpflanzen? Tatsächlich! Sie findet eine nahezu quadratische Erd-Fläche, aus der seltsame Luftströmungen entweichen! Ihr Analyse-Gerät stellt fest „Leben ist möglich“! Ava möchte die Luft einschließen - wie in einem Gewächshaus. Denn dann hat sie einen kleinen Lebensraum - für sich - und die Karottenpflanze. Das Gewächshaus soll so groß werden, dass sie darin liegen - und stehen kann. Hoffentlich reicht das Baumaterial des kaputten Raumschiffs! Und wie viel Luft hat sie darin zum Atmen? Wir helfen Ava bei ihren Überlegungen, indem wir die Oberfläche und das Volumen des Würfels berechnen! Okay, schauen wir uns so einen Würfel einmal genauer an! Ein Würfel ist ein Körper, das heißt, er ist dreidimensional. Die zwölf Kanten des Würfels haben alle dieselbe Länge. Wir bezeichnen die Kantenlänge hier mit klein a. Der Würfel wird von sechs quadratischen Flächen begrenzt. Die Oberfläche umschließt den Würfel - wie eine Hülle. Man kann außerdem bestimmen, wie viel in den Würfel hineinpasst. Diese Menge heißt Volumen des Würfels. Schau mal! In dieses Glas passt das Volumen von einem Liter Milch nicht hinein. In dieses Aquarium passen zwei Eimer Wasser locker rein, da ist sogar noch Volumen übrig. Und dieser Swimmingpool hat ein Volumen von genau 800 Litern. Zurück zu Avas Überlegungen. Fangen wir mit der Berechnung der Oberfläche des Würfels an! Wenn wir die Würfeloberfläche aufklappen, entsteht das Würfelnetz aus 6 Quadraten, jeweils mit der Seitenlänge a. Sehen wir uns zunächst einmal eines dieser Quadrate an. Für dessen Flächeninhalt rechnen wir a mal a. Das kannst du auch kurz als a hoch zwei, also a zum Quadrat schreiben. Weil der Würfel von sechs quadratischen Flächen begrenzt wird, nehmen wir für den Flächeninhalt der gesamten Würfeloberfläche: Sechs mal den Flächeninhalt eines Quadrats. Hierfür setzen wir a zum Quadrat ein und schon haben wir die Formel für die Oberfläche eines Würfels gefunden! Ava ist mit ihrem Raumanzug fast zwei Meter groß. Deshalb soll das Gewächshaus eine Kantenlänge von 2 Metern bekommen. Wir setzen also 2 Meter für a ein. Hieraus isolieren wir schon einmal 2 hoch 2. Aber Achtung: Wir rechnen hier mit Metern - also einer Einheit! Aus Meter hoch zwei wird eine neue Einheit, nämlich Quadratmeter. Das sind 6 mal 4 Quadratmeter, also ausgerechnet 24 Quadratmeter. Verdammt, das ist ganz schön viel! Moment mal, Ava braucht ja nur die vier Seitenflächen und die eine Deckenfläche für ihr Gewächshaus! Die Bodenfläche hingegen können wir uns in der Berechnung sparen! Wir waren bei 24 Quadratmetern für die gesamte Würfel-Oberfläche. Jetzt ziehen wir davon die Bodenfläche, also eine quadratische Fläche, ab. Denn so erhalten wir den gewünschten Flächeninhalt... ohne Bodenfläche. Eine quadratische Fläche beträgt a zum Quadrat. Weil a zwei Meter lang ist, erhalten wir hierfür 2 Meter hoch zwei, also 4 Quadratmeter. Und 24 minus 4 Quadratmeter ergibt 20 Quadratmeter. Ava ist erleichtert, denn sie hat genug Baumaterial dabei! Nun wollen wir das Volumen des Würfels zu berechnen. Weil das Volumen dreidimensional ist - rechnen wir dafür - a mal a mal a, zusammengefasst - a hoch 3! Mit dieser Formel können wir das Volumen von Avas Gewächshaus ausrechnen! - Ob die Bodenfläche dabei ist oder nicht, ist für das Volumen nämlich egal. Wieder setzen wir 2 Meter für a ein. Das Hoch-Drei bezieht sich auf die Zahl und auf die Einheit. Wir erhalten 8 Meter hoch 3 oder auch 8 Kubikmeter. Fassen wir nochmal zusammen: Ein Würfel wird von quadratischen Flächen begrenzt. Anhand eines Würfelnetzes erkennen wir besonders gut, dass die Oberfläche des Würfels aus 6 gleich großen Quadraten besteht. Daher berechnet sich der Flächeninhalt des Würfels durch den Ausdruck: 6 mal a zum Quadrat, wobei a die Kantenlänge des Würfels ist. Die Oberfläche umschließt das Volumen des Würfels. Du berechnest das Volumen mit dem Ausdruck a hoch 3. Geschafft! Ava und die Karotte fühlen sich pudel-wohl! Hey!! Eine Klappe? Scheinbar ist Ava genau auf der Raumkapsel vom verschollenen Professor Stanley Kubik bruchgelandet!
Würfel – Volumen und Oberfläche Übung
-
Berechne die Oberfläche des Würfels.
TippsBeginne mit der Formel für die Oberfläche.
Um die Oberfläche zu berechnen, musst du die Kantenlänge in die jeweilige Formel einsetzen.
Nach dem Einsetzen der Kantenlänge musst du diese quadrieren. Eine Länge quadrierst du, indem du jeweils die Zahl und die zugehörige Einheit quadrierst.
LösungDie Rechnung wird in dieser Reihenfolge durchgeführt:
- Die Oberfläche eines Würfels berechnet sich durch:
$A_{\text{Würfel}}=6 \cdot a^2$ - Setzt Ava die Kantenlänge $a=2~\text{m}$ ein, erhält sie:
$A_{\text{Würfel}}=6 \cdot (2~\text{m})^2$ - Dann quadriert sie die Kantenlänge und die zugehörige Einheit:
$A_{\text{Würfel}}=6 \cdot 4 ~\text{m}^2$ (Wird eine Länge quadriert, musst du jeweils die Zahl und die Einheit quadrieren.) - Zum Schluss berechnet Ava die Oberfläche:
$A_{\text{Würfel}}=24~ \text{m}^2$
- Die Oberfläche eines Würfels berechnet sich durch:
-
Gib an, welche der Aussagen zu Würfeln stimmen.
TippsDrei der Aussagen stimmen, eine ist falsch.
Kubikmeter kann auch als $m^3$ geschrieben werden. Alle Volumeneinheiten werden zur dritten Potenz erhoben.
Für einen Würfel mit Kantenlänge $5~\text{m}$ gilt:
- $A_{\text{Würfel}}= 6 \cdot (5~\text{m})^2 = 150~\text{m}^2$
- $V_{\text{Würfel}} = (5~\text{m})^3 = 125~\text{m}^3$
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- Das Volumen eines Würfels kann man mit der Formel $V=6a^3$ berechnen. Dabei bezeichnet $a$ die Kantenlänge des Würfels.
Diese Aussagen sind richtig:
- Das Volumen eines Würfels kann man zum Beispiel in der Einheit Kubikmeter angeben.
- Die Oberfläche eines Würfels kann man mit der Formel $O=6a^2$ berechnen. Dabei bezeichnet $a$ die Kantenlänge des Würfels.
- Ein Würfel hat $12$ Kanten, die alle die gleiche Länge besitzen.
-
Bestimme die Oberflächen und Volumina der Würfel.
TippsDas Volumen eines Würfels berechnest du mit der Formel $V=a^3$.
Dabei ist $a$ die Kantenlänge des Würfels.
Um die Oberfläche zu bestimmen, kannst du die Formel $O=6a^2$ verwenden.
LösungSo kannst du die Einträge der Tabelle bestimmen:
Um die Oberfläche zu ermitteln, kannst du folgende Formel verwenden:
$O=6a^2$
Für $4~\text{cm}$ ergibt sich dann:
$O=6\cdot (4~\text{cm})^2=6\cdot 16~\text{cm}^2=96~\text{cm}^2$
Um die fehlenden Volumina zu bestimmen, kannst du diese Formel nutzen:
$V=a^3$
Für $10~\text{cm}$ ergibt sich dann:
$V=(10~\text{cm})^3=1 000~\text{cm}^3$
Um die fehlende Kantenlänge zu bestimmen, überlegst du dir, welcher Würfel ein Volumen von $8~\text{cm}^3$ hat. Das Volumen berechnest du, indem du die Kantenlänge dreimal mit sich selbst multiplizierst. Die Zahl, die dabei $8$ ergibt, ist $2$, denn:
$2^3=8$
-
Bestimme die Volumina.
TippsAchtung: Eine Länge besteht aus einer Zahl und einer Einheit. Setzt du das in eine Formel ein, musst du beide Komponenten beachten und verrechnen.
Sieh dir folgendes Beispiel an:
$(5\text{m})^3=5~\text{m}\cdot 5~\text{m}\cdot 5~\text{m}=125~\text{m}^3$
LösungDer Lückentext ist so vollständig:
- Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $a$ berechnet sich mit folgender Formel:
- Um das Volumen des ersten Würfels zu bestimmen, setzt Luis die Kantenlänge $1~\text{cm}$ in die Formel ein. Er erhält:
Achtung: Eine Länge besteht aus einer Zahl und einer Einheit. Setzt du das in eine Formel ein, musst du beide Komponenten beachten und verrechnen.
- Als Nächstes setzt er die Kantenlänge $2~\text{cm}$ in die Formel ein und erhält:
- Die nächste Kantenlänge, die Luis probiert, beträgt $3~\text{cm}$:
-
Gib die Eigenschaften eines Würfels an.
TippsEine Fläche ist immer zweidimensional.
Ein Volumen ist der dreidimensionale Inhalt eines Körpers.
LösungFolgendes gehört zusammen:
- Die Oberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Würfel umschließt. Sie berechnet sich mit der Formel $O=6a^2$ und kann in der Einheit $\text{m}^2$ angegeben werden.
- Das Volumen ist das dreidimensionale Fassungsvermögen eines Würfels. Es berechnet sich mit der Formel $V=a^3$ und kann in der Einheit $\text{m}^3$ angegeben werden.
-
Bestimme die Oberfläche eines Würfels.
TippsDu kannst Formeln auch verwenden, um rückwärts zu rechnen. Das heißt, wenn das Volumen gegeben ist, kannst du die Formel zur Volumenberechnung verwenden, um die Kantenlänge zu ermitteln.
Du hast beispielsweise eine dritte Wurzel folgender Form gegeben:
$a= \sqrt[3]{b}$
Dann ist $b$ die Zahl, die zur dritten Potenz erhoben $a$ ergibt, also:
$b^3=a$
LösungDen Lückentext kannst du wie folgt vervollständigen:
- Um die Oberfläche zu berechnen, muss Martin zuerst die Kantenlänge $a$ seines Würfels bestimmen. Dazu erinnert er sich an die Formel der Volumenberechnung:
Du kannst Formeln auch verwenden, um rückwärts zu rechnen. Das heißt, wenn das Volumen gegeben ist, kannst du die Formel zur Volumenberechnung verwenden, um die Kantenlänge zu ermitteln.
- Um die Kantenlänge des Würfels zu berechnen, muss er sich überlegen, welche Länge dreimal mit sich selbst multipliziert $64~\text{m}^3$ ergibt. Das kann er mit der dritten Wurzel berechnen:
$b^3=a$
- Damit kann Martin endlich die Oberfläche des Würfels bestimmen:
Die obere Seite des Würfels muss er natürlich nicht mit Folie bedecken. Deshalb zieht er von der Oberfläche des Würfels eine der sechs quadratischen Flächen mit $A=$ {$a^2$} ab (Eine der sechs Seitenflächen des Würfels ist $A=a^2$ groß.):
$O_{Pool}=O-A=96 ~\text{m}^2-a^2=96 ~\text{m}^2-16 ~\text{m}^2=80 ~\text{m}^2$
Geometrische Grundkörper identifizieren
Würfel – Volumen und Oberfläche
Quader – Volumen und Oberfläche
Volumen von Körpern – Grundfläche und Höhe
Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen
Volumen von Prismen berechnen
Volumen von zusammengesetzten Würfeln und Quadern
Quader – Begriffe und Eigenschaften
Kantenlänge eines Quaders bestimmen
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Vokabeln
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