Verwenden eines Maßstabes
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Grundlagen zum Thema Verwenden eines Maßstabes
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, mit Maßstäben zu rechnen.
Zunächst lernst du, wie du die Bildstrecke berechnest, wenn du die Originalstrecke und den Maßstab kennst. Anschließend lernst du, wie du den Maßstab berechnen kannst, wenn du Bild- und Originalstrecke kennst. Abschließend lernst du, wie du Originalstrecke mit Hilfe von Bildstrecke und Maßstab bestimmen kannst.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Maßstab, vergrößerung, Verkleinerung, Bildstrecke und Originalstrecke.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie die Formel für den Maßstab lautet.
Transkript Verwenden eines Maßstabes
Merrek ist wieder auf Entdeckungsreise. Damit auch die Nachwelt von seiner Expedition profitiert, hält er die Landschaft auf einer Karte fest. Aber die Sache mit dem Kartographieren hat er sich irgendwie leichter vorgestellt. Wie war das nochmal mit diesem Maßstab? Nun, es scheint fast so, als wäre ein bisschen Übung im „Verwenden eines Maßstabes“ nötig! Um eine Karte des entdeckten Gebiets anzufertigen, muss Merrek also einen Maßstab verwenden. Denn mit einem Maßstab können wir Strecken aus der Wirklichkeit auf einem Bild verkleinern oder vergrößern. Wir geben dabei ein Verhältnis von der Bildstrecke zur Originalstrecke an. Auf einer Landkarte verkleinert man die Originalstrecke zum Beispiel. Sonst würde sie ja nicht auf das Papier passen. Ein Zentimeter auf dem Bild könnte zum Beispiel Zehntausend Zentimetern in der Wirklichkeit entsprechen. Weil ein Zentimeter und zehntausend Zentimeter natürlich nicht das Gleiche sind, nutzen wir hier ein „Entspricht“-Zeichen und kein normales Gleichheitszeichen. Der Maßstab beträgt dann also eins zu zehntausend. Bei einer Verkleinerung steht die größere Zahl immer hinter dem Geteilt Zeichen. Wenn wir mit Maßstäben rechnen, ist es oft hilfreich, in eine andere Längeneinheit umzuwandeln. Zehntausend Zentimeter sind zum Beispiel einhundert Meter. So können wir die Zahlen übersichtlicher halten. Eine Vergrößerung kann hingegen nützlich sein, um kleine Dinge gut erkennbar abzubilden. Wie zum Beispiel dieses Kraut hier. Dann ist die Bildstrecke größer als die Originalstrecke. Zum Beispiel fünfmal so groß. Bei der Vergrößerung steht die größere Zahl also vor dem „Geteiltzeichen.“ Alles klar, dann kann es ja losgehen! Fünf Kilometer nördlich befindet sich ein Gebirge. Aber wo genau auf seiner Karte muss Merrek es einzeichnen? Er verwendet einen Maßstab von eins zu einhunderttausend. Wie können wir also bestimmen wie lang die Strecke auf seiner Karte werden muss? Ein Zentimeter im Bild entspricht Einhunderttausend Zentimetern der Originalstrecke. Zunächst ist es wieder hilfreich, die Längeneinheit umzuwandeln. Einhunderttausend Zentimeter sind eintausend Meter, also ein Kilometer. Wir wollen allerdings wissen, wie lang die entsprechende Bildstrecke für fünf Kilometer in der Wirklichkeit ist. Wir können daher die Länge der Bildstrecke berechnen, indem wir auf beiden Seiten mit fünf multiplizieren. Wenn EIN Zentimeter einem Kilometer entspricht, dann entsprechen fünf Zentimeter fünf Kilometern. Die Bildstrecke muss also fünf Zentimeter lang sein. Auf einer anderen Karte hat er den Abstand zur nächsten Burg eingezeichnet: Zwölf Zentimeter. Er weiß noch, dass die Burg drei Kilometer von seinem Standort entfernt ist. Doch er hat ganz vergessen den Maßstab der Karte einzutragen. Mist! Wie kriegt er den denn jetzt raus? Nun ja, zwölf Zentimeter im Bild entsprechen drei Kilometern in der Wirklichkeit. Zunächst wandeln wir die Kilometer in Zentimeter um, denn ein Maßstab gibt Bild- und Originalstrecke immer in der selben Einheit an. Jetzt müssen wir nur noch berechnen, wie lang die Originalstrecke ist, die der Bildstrecke von einem Zentimeter entspricht. Wir teilen daher – wieder auf beiden Seiten – durch zwölf. Ein Zentimeter auf der Karte entspricht also fünfundzwanzigtausend Zentimetern in der Wirklichkeit. Jetzt können wir den Maßstab direkt ablesen. Er beträgt „eins zu fünfundzwanzigtausend“! Doch Merrek fertigt nicht nur Landkarten an. Auch interessante Entdeckungen, wie dieses seltene Kraut, zeichnet er für seine Nachwelt auf. Die Länge des Halms beträgt auf seiner Zeichnung 12,5 Zentimeter. Der Maßstab, den er dafür verwendet hat, ist fünf zu eins. Dieses mal handelt es sich also um eine Vergrößerung! Wie groß ist das Kraut in Wirklichkeit? Du kannst das Video kurz pausieren und es selber berechnen. Fünf Zentimeter im Bild entsprechen einem Zentimeter in der Wirklichkeit. Um die Lösung zu erhalten, müssen wir so multiplizieren, dass wir auf eine Bildstrecke von 12,5 Zentimetern kommen. Dafür müssen wir überlegen wie oft die fünf in die 12,5 passt. 12,5 geteilt durch fünf sind 2,5. Wir multiplizieren also mit dem Faktor 2,5 und haben dann die Originalgröße bestimmt: 2,5 Zentimeter! Merrek hat den Dreh raus! Während er fleißig weiterzeichnet, fassen wir nochmal kurz zusammen. Der Maßstab ist das Verhältnis von Bildstrecke zur Originalstrecke. Wir können die Originalstrecke berechnen, wenn wir Bildstrecke und Maßstab kennen. Dafür müssen wir nur so multiplizieren, dass wir die entsprechende Originalstrecke erhalten. Die Bildstrecke können wir berechnen, wenn wir Maßstab und Originalstrecke kennen. Manchmal ist es dabei sinnvoll, zwischen Längeneinheiten umzurechnen. Zu guter Letzt können wir auch den Maßstab berechnen, wenn wir Bild-, und Originalstrecke kennen. Dann müssen wir darauf achten, dass Bild- und Originalstrecke in der gleichen Längeneinheit angegeben sind, und können so eine der beiden Strecken auf eins herunterrechnen. Merrek hat seine Karte vollendet. Da kann er sich jetzt wohl auch offiziell Kartograph nennen. Ist doch gut getroffen!
Verwenden eines Maßstabes Übung
-
Beschreibe, wie ein Maßstab angegeben wird.
TippsEin typischer Maßstab einer Landkarte ist $1:100\,000$.
Hier siehst du ein verkleinertes Bild.
LösungMit einem Maßstab können wir Strecken aus der Wirklichkeit auf einem Bild verkleinern oder vergrößern. Wir geben dabei das Verhältnis von der Bildstrecke zur Originalstrecke als Maßstab an.
Verkleinerung:
Um große Entfernungen zum Beispiel auf einer Landkarte darstellen zu können, müssen wir sie verkleinern. Dazu verwenden wir den Maßstab.Ein Maßstab einer Landkarte lautet zum Beispiel:
$1:10\,000$
Das bedeutet: $1~\text{cm}$ auf der Karte entspricht in Wirklichkeit $10\,000~\text{cm} = 100~\text{m}$.Bei einer Verkleinerung steht im Maßstab vor dem : immer eine 1.
Vergrößerung:
Um kleine Gegenstände auf einem Bild genauer darstellen zu können, müssen wir sie vergrößern. Dazu verwenden wir den Maßstab.Ein Maßstab für die Zeichnung einer Pflanze lautet zum Beispiel:
$5:1$
Das bedeutet: $5~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen in Wirklichkeit $1~\text{cm}$.Bei einer Vergrößerung steht im Maßstab nach dem : immer eine 1.
-
Gib die Bedeutung des Maßstabes an.
TippsUm die richtigen Zusammenhänge auszuwählen, musst du wissen, wie man Längen umrechnet. Zum Beispiel gilt:
$1~\text{km} = 1\,000~\text{m}$
$1~\text{m} = 100~\text{cm}$
Der Maßstab $1:50\,000$ bedeutet:
$1~\text{cm} ≙ 50\,000~\text{cm} $
LösungEin Maßstab gibt das Verhältnis von der Bildstrecke zur Originalstrecke an. Wir können mithilfe eines passenden Maßstabs die Wirklichkeit vergrößert oder verkleinert abbilden.
Wir betrachten den gegebenen Maßstab $1:100\,000$:
Dies bedeutet: $1~\text{cm}$ in der Zeichnung entspricht in Wirklichkeit $100\,000~\text{cm} $.
Wir schreiben:
$1~\text{cm} ≙ 100\,000~\text{cm}$Um diese Angabe anzupassen, müssen wir wissen, wie wir Längeneinheiten ineinander umwandeln. Es gilt:
- $1~\text{km} = 1\,000~\text{m}$
- $1~\text{m} = 100~\text{cm}$
- $1~\text{km} = 100\,000~\text{cm}$
$1~\text{cm} ≙ 100\,000~\text{cm} $
$1~\text{cm} ≙ 1~\text{km} $
$5~\text{cm} ≙ 5~\text{km} $Folgende Angaben sind falsch:
$100\,000~\text{cm} ≙ 1~\text{km} \quad \mapsto$ Hierbei handelt es sich um eine Vergrößerung.
$5~\text{cm} ≙ 500~\text{m} \quad \mapsto$ Hier wurde nicht richtig umgerechnet.
$5~\text{cm} ≙ 1~\text{km} \quad \mapsto$ Hier passen die beiden Größen nicht zum Maßstab. -
Berechne jeweils die gesuchte Größe in Wirklichkeit.
TippsJe nachdem, ob es sich um eine Verkleinerung oder eine Vergrößerung handelt, musst du die Bildgröße mit der größeren Zahl im Maßstab multiplizieren oder dividieren. Anschließend musst du noch die Längeneinheit anpassen.
LösungWir verwenden den Maßstab, um die Länge der Strecken in Wirklichkeit zu ermitteln. Dazu notieren wir die Angaben im Maßstab zunächst in $\text{cm}$ und passen das Verhältnis dann mittels des Dreisatzes so an, dass wir auf der linken Seite die gegebene Bildgröße stehen haben. Die Originalgröße können wir dann auf der rechten Seite ablesen und ggf. noch in die passende Einheit umwandeln.
Das Haus:
Maßstab: $1:200 \quad \mapsto$ Verkleinerung
$1~\text{cm} ≙ 200~\text{cm} $
$4~\text{cm} ≙ 800~\text{cm} $
$800~\text{cm} = 8~\text{m}$
Das Haus ist $8~\text{m} $ hoch.Die Landkarte:
Maßstab: $1:2\,500\,000 \quad \mapsto$ Verkleinerung
$1~\text{cm} ≙ 2\,500\,000~\text{cm} $
$4~\text{cm} ≙ 10\,000\,000~\text{cm} $
$10\,000\,000~\text{cm} = 100~\text{km}$
Die Entfernung beträgt $100~\text{km} $.Der Floh:
Maßstab: $10:1 \quad \mapsto$ Vergrößerung
$10~\text{mm} ≙ 1~\text{mm} $
$30~\text{mm} ≙ 3~\text{mm} $
Der Floh ist $3~\text{mm} $ groß.Der LKW:
Maßstab: $1:75 \quad \mapsto$ Verkleinerung
$1~\text{cm} ≙ 75~\text{cm} $
$4~\text{cm} ≙ 300~\text{cm} $
$300~\text{cm} = 3~\text{m}$
Der LKW ist $3~\text{m} $ hoch. -
Bestimme den verwendeten Maßstab.
TippsPasse zunächst die beiden Angaben so an, dass beide die gleiche Einheit haben.
Beispiel:
$2~\text{cm}$ entsprechen $100~\text{m}$
$2~\text{cm}$ entsprechen $10\,000~\text{cm}$
$1~\text{cm}$ entspricht $5\,000~\text{cm}$
Maßstab: $1:5\,000$
LösungWir geben den Maßstab an, indem wir die beiden gegebenen Größen in Beziehung setzen: Wir schreiben dazu immer als erstes die Bildgröße und als zweites die Originalgröße auf. Anschließend wandeln wir die Größen so um, dass beide Größen die gleiche Einheit tragen. Wir dividieren dann beide Größen durch die gleiche Zahl, sodass eine der beiden Größen eine $1$ und die andere Größe eine Zahl größer als $1$ ist. Den Maßstab können wir dann ohne Einheiten angeben.
Beispiel 1: $4~\text{cm}$ entsprechen $10~\text{m}$
Umwandeln der Einheit: $\quad 4~\text{cm}$ entsprechen $1\,000~\text{cm} $
Dividieren durch $4$: $~~~ \qquad 1~\text{cm}$ entspricht $250~\text{cm} \qquad$.
Einheiten weglassen: $~~~ \quad$ Maßstab: $1:250$Beispiel 2: $12~\text{cm}$ entsprechen $42~\text{km}$
Umwandeln der Einheit: $\quad 12~\text{cm}$ entsprechen $4\,200\,000~\text{cm}$
Dividieren durch $12$: $~~ \qquad 1~\text{cm}$ entspricht $350\,000~\text{cm}$
Einheiten weglassen: $~~~ \quad$ Maßstab: $1:350\,000$Beispiel 3: $12,5~\text{cm}$ entsprechen $0,5~\text{mm} $
Umwandeln der Einheit: $\quad 12,5~\text{cm}$ entsprechen $0,05~\text{cm}$
Multiplizieren mit $20$: $~ \qquad 250~\text{cm}$ entsprechen $1~\text{cm}$
Einheiten weglassen: $~~~ \quad$ Maßstab: $250:1$Beispiel 4: $1,5~\text{cm}$ entsprechen $60~\text{km}$.
Umwandeln der Einheit: $\quad 1,5~\text{cm}$ entsprechen $6\,000\,000~\text{cm}$.
Dividieren durch $1,5$: $ \qquad 1~\text{cm}$ entspricht $4\,000\,000~\text{cm}$.
Einheiten weglassen: $~~~ \quad$ Maßstab: $1:4\,000\,000$Beispiel 5: $10~\text{cm}$ entsprechen $0,2~\text{cm}$.
Multiplizieren mit $5$: $~~~ \qquad 50~\text{cm}$ entsprechen $1~\text{cm}$.
Einheiten weglassen: $~~~ \quad$ Maßstab: $50:1$ -
Stelle die Länge in der vorgegebenen Einheit dar.
Tipps$1~\text{km} = 1\,000~\text{m}$
$1~\text{m} = 100~\text{cm}$
Du kannst auch Zwischenergebnisse bestimmen. Wandle Zentimeter zum Beispiel zuerst in Meter um und dann in Kilometer.
LösungMit einem Maßstab können wir Strecken aus der Wirklichkeit auf einem Bild verkleinern oder vergrößern. Wir geben dabei ein Verhältnis von der Bildstrecke zur Originalstrecke an. Um mit einen Maßstab richtig angeben und verstehen zu können, müssen wir Längeneinheiten umwandeln können.
Es gilt:
- $1~\text{km} = 1\,000~\text{m}$
- $1~\text{m} = 100~\text{cm}$
- $1~\text{km} = 100\,000~\text{cm}$
- $10\,000~\text{cm} = 100~\text{m}$
- $100\,000~\text{cm} = 1\,000~\text{m} = 1~\text{km}$
- $10~\text{m} = 1\,000~\text{cm}$
-
Ermittle die Bedeutung des jeweiligen Maßstabes.
TippsDu kannst einen Maßstab immer zunächst so umwandeln:
$1:10\,000$
$1~\text{cm}$ entspricht $10\,000~\text{cm}$
Passe dann die Längeneinheiten entsprechend an.
LösungWir verwenden den Maßstab und passen die Längeneinheiten entsprechend an, um die gesuchten Größen zu ermitteln.
Beispiel 1:
Maßstab $1:350\,000$
$1~\text{cm}$ auf der Karte entspricht $350\,000~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
$6~\text{cm}$ auf der Karte entsprechen $2\,100\,000~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
$6~\text{cm}$ auf der Karte entsprechen $\bf{21}~\text{km}$ in Wirklichkeit.Beispiel 2:
Maßstab $5\,000:1$
$5\,000~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $1~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
$15\,000~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $3~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
$15~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $0,003~\text{cm}$ in der Wirklichkeit.
$\bf{15}~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $0,03~\text{mm}$ in der Wirklichkeit.Beispiel 3:
Maßstab $1:150\,000$
$1~\text{cm}$ auf der Karte entspricht $150\,000~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
$1~\text{cm}$ auf der Karte entsprechen $1,5~\text{km}$ in Wirklichkeit.
$\bf{5}~\text{cm}$ auf der Karte entsprechen $7,5~\text{km}$ in Wirklichkeit.Beispiel 4:
Maßstab $24:1$
$24~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $1~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
$\bf{12}~\text{cm}$ auf dem Bild entsprechen $0,5~\text{cm}$ in Wirklichkeit.
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