Trigonometrische Pythagoras im Raum

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik! Ich begrüße euch ganz herzlich zum Video "Der Trigonometrische Pythagoras im Raum".

Zu den Lernvoraussetzungen: Ihr solltet wissen was Rechtecke sind, euch mit Winkeln auskennen und informiert sein, was ein Quader ist. Als zweites solltet ihr den Satz des Pythagoras nennen und auch anwenden können. Und als drittes solltet ihr mit Winkelfunktionen und ihren Umwandlungen ineinander gut vertraut sein. Ich denke, dass das Niveau etwa angepasst ist auf den Stoff der 10. Klasse im 2. Halbjahr. Jüngere Schüler oder Schülerinnen und ältere Zuhörerinnen und Zuhörer sind gern gesehen. So, ich war jetzt etwas künstlerisch tätig, das müsst ihr nicht unbedingt sehen, und habe einen Quader gezeichnet. Die gestrichelten Linien sind die unsichtbaren Linien im Hintergrund. Im Quader habe ich nun 3 verschiedene rechtwinklige Dreiecke eingezeichnet. Jedes der Dreiecke wird gebildet aus einer Seite des Quaders, einer Flächendiagonale des Quaders und als drittes aus der Raumdiagonale des Quaders. Damit gehen in die Bildung dieser Dreiecke ein: Die Quaderseiten a (rot), b (grün) und c (lila). Die Flächendiagonalen haben somit die Farben rot-grün-lila, die Raumdiagonale habe ich mit hellblauer Farbe eingezeichnet. In den einzelnen Dreiecken habe ich nun entsprechend 3 Winkel eingezeichnet. Der Scheitelpunkt dieser Winkel ist jeweils die Quaderecke unten links vorne. α ist rot, β ist grün und γ ist violett. Dann kann man eine Behauptung formulieren, die ich als Trigonometrischen Pythagoras im Raum bezeichnen möchte. Ich möchte ausdrücklich erwähnen, dass das eine inoffizielle Bezeichnung ist.

Die Behauptung lautet: cos²α+cos²β+cos²γ=1. Kommen wir nun zum Beweis. Wir führen den Beweis von links nach rechts, das heißt wir beweisen, dass die Summe der Quadrate der 3 Cosinusse gleich 1 ist. Wir beginnen: cos²α+cos²β+cos²γ=...

Zweite Zeile. Wir erinnern uns an die Definition des Cosinus. Der Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Seitenlängen von Ankathete und Hypotenuse. Die Ankatheten in unseren 3 Dreiecken sind jeweils die Dreieckseiten a, b und c. Bei der Hypotenuse handelt es sich in jedem Fall um die Raumdiagonale d. Damit ergibt sich: (a/d)²+(b/d)²+(c/d)²=...

Dritte Zeile. Wir erinnern uns an das Potenzgesetz, dass Potenzen von Brüchen berechnet werden, indem wir die Potenz des Zählers bilden und die Potenz des Nenners und anschließend den Zähler durch den Nenner teilen. Also ergibt sich: a²/d²+c²/d²+c²/d²=...Wir fahren fort in der gleichen Zeile und schreiben nun den gemeinsamen Nenner d². Dann erhalten wir im Zähler des Bruches a²+b²+c². Auf den Beweis des folgenden Zusammenhanges möchte ich verzichten. (a²+b²+c²=d²). Die Quadrate der Längen, der Seiten eines Quaders ergeben in der Summe das Quadrat der Raumdiagonalen. Ihr findet diesen Satz in eurer Formelsammlung. Wir verwenden diesen Zusammenhang, um den Zähler a²+b²+c² durch d² zu ersetzen. Wir machen in unserer Gleichungskette weiter unterhalb der Zeichnung, unten links. Wir erhalten: =d²/d². Wir können Zähler und Nenner durcheinander kürzen und erhalten 1/1=1, was zu beweisen war.

Das war es auch schon wieder für heute. Vielleicht hattet ihr etwas Spaß und habt ein wenig gelernt. Ich wünsche euch alles Gute, bis zum nächsten Mal! Tschüss!