Über 1,2 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Trigonometrische Pythagoras im Raum

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Gib eine Bewertung ab!
Die Autor*innen
Avatar
André Otto
Trigonometrische Pythagoras im Raum
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Trigonometrische Pythagoras im Raum

Dieses Video richtet sich bevorzugt an Schülerinnen und Schüler aus der zehnten Klasse, die bereits mit den Themen Rechtecke, Winkel, Quader, dem Satz des Pythagoras und Winkelfunktionen vertraut sind. Im Video erkläre ich dir dann den Trigonometrischen Pythagoras im Raum. Dieser besagt, dass die Summe der Quadrate des Kosinus der drei Raumwinkel an der Raumdiagonalen in einem Quader ist 1. cos²α+cos²β+cos²γ=1. Diesen Satz möchte ich mit dir gemeinsam beweisen. Ich werde hierzu Schritt für Schritt vorgehen und alles sehr ausführlich erklären!

Transkript Trigonometrische Pythagoras im Raum

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik! Ich begrüße euch ganz herzlich zum Video "Der Trigonometrische Pythagoras im Raum".

Zu den Lernvoraussetzungen: Ihr solltet wissen was Rechtecke sind, euch mit Winkeln auskennen und informiert sein, was ein Quader ist. Als zweites solltet ihr den Satz des Pythagoras nennen und auch anwenden können. Und als drittes solltet ihr mit Winkelfunktionen und ihren Umwandlungen ineinander gut vertraut sein. Ich denke, dass das Niveau etwa angepasst ist auf den Stoff der 10. Klasse im 2. Halbjahr. Jüngere Schüler oder Schülerinnen und ältere Zuhörerinnen und Zuhörer sind gern gesehen. So, ich war jetzt etwas künstlerisch tätig, das müsst ihr nicht unbedingt sehen, und habe einen Quader gezeichnet. Die gestrichelten Linien sind die unsichtbaren Linien im Hintergrund. Im Quader habe ich nun 3 verschiedene rechtwinklige Dreiecke eingezeichnet. Jedes der Dreiecke wird gebildet aus einer Seite des Quaders, einer Flächendiagonale des Quaders und als drittes aus der Raumdiagonale des Quaders. Damit gehen in die Bildung dieser Dreiecke ein: Die Quaderseiten a (rot), b (grün) und c (lila). Die Flächendiagonalen haben somit die Farben rot-grün-lila, die Raumdiagonale habe ich mit hellblauer Farbe eingezeichnet. In den einzelnen Dreiecken habe ich nun entsprechend 3 Winkel eingezeichnet. Der Scheitelpunkt dieser Winkel ist jeweils die Quaderecke unten links vorne. α ist rot, β ist grün und γ ist violett. Dann kann man eine Behauptung formulieren, die ich als Trigonometrischen Pythagoras im Raum bezeichnen möchte. Ich möchte ausdrücklich erwähnen, dass das eine inoffizielle Bezeichnung ist.

Die Behauptung lautet: cos²α+cos²β+cos²γ=1. Kommen wir nun zum Beweis. Wir führen den Beweis von links nach rechts, das heißt wir beweisen, dass die Summe der Quadrate der 3 Cosinusse gleich 1 ist. Wir beginnen: cos²α+cos²β+cos²γ=...

Zweite Zeile. Wir erinnern uns an die Definition des Cosinus. Der Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Seitenlängen von Ankathete und Hypotenuse. Die Ankatheten in unseren 3 Dreiecken sind jeweils die Dreieckseiten a, b und c. Bei der Hypotenuse handelt es sich in jedem Fall um die Raumdiagonale d. Damit ergibt sich: (a/d)²+(b/d)²+(c/d)²=...

Dritte Zeile. Wir erinnern uns an das Potenzgesetz, dass Potenzen von Brüchen berechnet werden, indem wir die Potenz des Zählers bilden und die Potenz des Nenners und anschließend den Zähler durch den Nenner teilen. Also ergibt sich: a²/d²+c²/d²+c²/d²=...Wir fahren fort in der gleichen Zeile und schreiben nun den gemeinsamen Nenner d². Dann erhalten wir im Zähler des Bruches a²+b²+c². Auf den Beweis des folgenden Zusammenhanges möchte ich verzichten. (a²+b²+c²=d²). Die Quadrate der Längen, der Seiten eines Quaders ergeben in der Summe das Quadrat der Raumdiagonalen. Ihr findet diesen Satz in eurer Formelsammlung. Wir verwenden diesen Zusammenhang, um den Zähler a²+b²+c² durch d² zu ersetzen. Wir machen in unserer Gleichungskette weiter unterhalb der Zeichnung, unten links. Wir erhalten: =d²/d². Wir können Zähler und Nenner durcheinander kürzen und erhalten 1/1=1, was zu beweisen war.

Das war es auch schon wieder für heute. Vielleicht hattet ihr etwas Spaß und habt ein wenig gelernt. Ich wünsche euch alles Gute, bis zum nächsten Mal! Tschüss!

5 Kommentare
5 Kommentare
  1. Gut erklärt.

    Von Jolana1949 1, vor fast 8 Jahren
  2. Ich kann das schon beweisen, habe aber hier ein Arbeitsprogramm. Wenn es dringend ist, dann wende dich bitte an Manuela (Mail oder Anruf bei sofatutor) mit der Bitte um schnellen Dreh. Ich würde das dann umgehend machen.

    Alles Gute

    André

    Von André Otto, vor fast 11 Jahren
  3. könntest du auch Sekandensatz und Tangencesatz beweisen ?
    LG
    Marmar

    Von Marmar, vor fast 11 Jahren
  4. hallo kanst du auch Sehnensatz :
    Zeichnet man durch einen p im Inneren eines Kreises Sehnen , so sind die produkte der Längen der beiden Sehnenabschnitte bei allen solchen 0 Sehnen gleich , d,h :
    PA . PC = PB .PD

    Von Marmar, vor fast 11 Jahren
  5. beweisen?

    Von Marmar, vor fast 11 Jahren
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

5.612

sofaheld-Level

6.572

vorgefertigte
Vokabeln

8.523

Lernvideos

37.377

Übungen

33.821

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden