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Trigonometrische Pythagoras

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Lerntext zum Thema Trigonometrische Pythagoras

Trigonometrischer Pythagoras – Benötigtes Vorwissen

Für das Verständnis des trigonometrischen Pythagoras sollte der Satz des Pythagoras vertraut sein. Zur Erinnerung:

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden Katheten ist.

Es gilt also: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$, mit $c$ als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

Außerdem müssen die trigonometrischen Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken bekannt sein. Kurz zusammengefasst:

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Zuletzt solltest du auch über den Einheitskreis Bescheid wissen:

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius $1$, der seinen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems hat. Aufgrund dieser Eigenschaften können anhand des Einheitskreises die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen $\sin (x)$ und $\cos (x)$ bestimmt werden.

Was ist der trigonometrische Pythagoras?

Der trigonometrische Pythagoras ist eine Bezeichnung für eine häufig verwendete Gleichung, die den Satz des Pythagoras mit den trigonometrischen Gleichungen verbindet. Die Gleichung lautet:

$\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$

Dabei ist $\sin^{2} (\alpha) = (\sin(\alpha))^{2}$ und $\cos^{2}(\alpha) = (\cos(\alpha))^{2}$.

Beweis des trigonometrischen Pythagoras

Zu zeigen:
$\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$

Wir schauen uns ein allgemeines rechtwinkliges Dreieck an.

Rechtwinkliges Dreieck

In diesem Dreieck gelten aufgrund seines rechten Winkels sowohl der Satz des Pythagoras als auch die drei trigonometrischen Gleichungen. Um den trigonometrischen Pythagoras zu beweisen, schauen wir uns den Term links vom Gleichheitszeichen an und versuchen diesen so weit umzuformen, dass wir den Term rechts vom Gleichheitszeichen erhalten. Zunächst können wir diesen Schritt gehen:

$\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = (\sin(\alpha))^{2} + (\cos(\alpha))^{2}$

Nun nutzen wir die trigonometrischen Gleichungen, um weiter umzuformen. $\sin(\alpha)$ ist das Gleiche wie die Division von Gegenkathete durch Hypotenuse. Ebenso ist $\cos(\alpha)$ das Gleiche wie die Division von Ankathete durch Hypotenuse, also können wir die entsprechenden Brüche in die Gleichung einsetzen.

$(\sin(\alpha))^{2} + (\cos(\alpha))^{2} = \left(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)^{2} + \left(\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)^{2}$

Einfachheitshalber setzen wir nun die Bezeichnungen der Dreiecksseiten ein. Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $a$, die Ankathete ist $b$ und die Hypotenuse ist $c$.

$\left(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)^{2} + \left(\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)^{2} = \left(\dfrac{a}{c}\right)^{2} + \left(\dfrac{b}{c}\right)^{2}$

Die Klammern können nun aufgelöst werden nach dem Potenzgesetz für Brüche. Zur Erinnerung:

Beim Potenzieren von Brüchen gilt: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$

Wir lösen die Klammern also wie folgt auf:

$\left(\dfrac{a}{c}\right)^{2} + \left(\dfrac{b}{c}\right)^{2} = \dfrac{a^{2}}{c^{2}} + \dfrac{b^{2}}{c^{2}}$

Da die Brüche den gleichen Nenner haben, können sie problemlos addiert werden. Wir erhalten:

$\dfrac{a^{2}}{c^{2}} + \dfrac{b^{2}}{c^{2}} = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$

Nun können wir den Term ohne weitere Informationen nicht weiter umformen. Allerdings fällt auf, dass hier, ähnlich wie bei dem Satz des Pythagoras, alle drei Seiten des Dreiecks im Quadrat vorhanden sind. Der Satz des Pythagoras besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse, also der Seite $c$, gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten $a$ und $b$ ist. Das können wir nutzen. Es gilt also:

$\dfrac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \dfrac{c^{2}}{c^{2}} = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$

Im Zähler und im Nenner steht der gleiche Term, der entsprechende Bruch hat also den Wert $1$:

$\dfrac{c^{2}}{c^{2}} = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = 1$

Das entspricht der rechten Seite der Gleichung, deren Gültigkeit wir zeigen wollten. Damit ist der trigonometrische Pythagoras bewiesen: $\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$.

Trigonometrischer Pythagoras im Einheitskreis

Mithilfe des Einheitskreises kann der trigonometrische Pythagoras auch grafisch hergeleitet werden. In diesem können nämlich beliebig viele rechtwinklige Dreiecke eingezeichnet werden, die $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ als Kathetenlängen haben.

Das liegt an der Eigenschaft, dass die Hypotenuse dieser rechtwinkligen Dreiecke immer dem Radius des Einheitskreises und damit einer Länge von $1$ entspricht. Dadurch vereinfachen sich die trigonometrischen Gleichungen folgendermaßen:

$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{1} = \text{Gegenkathete}$

$\cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{\text{Ankathete}}{1} = \text{Ankathete}$

Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Somit kann der trigonometrische Pythagoras wie folgt grafisch veranschaulicht werden:

Trigonometrischer Pythagoras am Einheitskreis

Da der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Flächeninhalte der Quadrate mit den Seitenlängen der Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck dem Flächeninhalt des Quadrates mit der Hypotenuse als Seitenlänge entsprechen, ist hiermit erneut die Gültigkeit des trigonometrischen Pythagoras gezeigt.

Weiterführendes Beispiel – der trigonometrische Pythagoras im Raum

Der trigonometrische Pythagoras kann auch im dreidimensionalen Raum angewandt und gezeigt werden. Dazu schauen wir uns folgenden Quader an:

Trigonometrischer Pythagoras

Da es sich um einen Quader handelt, gelten unter anderem folgende Beziehungen zwischen den Seiten:

$\overline{AB} = \overline{CD} = \overline{EH} = \overline{FG}$

$\overline{AD} = \overline{BC} = \overline{HG} = \overline{EF}$

In diesem Quader sind bereits drei rechtwinklige Dreiecke eingezeichnet, die jeweils aus $\color{#F3DB00}{\text{einer Seite des Quaders}}$, $\color{#66D8FF}{\text{einer Flächendiagonale}}$ und derselben $\color{#FF0000}{\text{Raumdiagonale}}$ bestehen.

Trigonometrischer Pythagoras.

Trigonometrischer Pythagoras

Trigonometrischer Pythagoras

In jedem der drei Dreiecke stellt die Raumdiagonale die Hypotenuse dar. Wir schauen uns die Winkel an, die den Scheitelpunkt A haben.

Wir stellen in diesem Fall eine ähnliche Behauptung auf und möchten ihre Gültigkeit zeigen:

$\cos^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\beta) + \cos^{2}(\gamma) = 1$

Diese Gleichung kann erstmal wieder wie folgt umgeformt werden:

$\cos^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\beta) + \cos^{2}(\gamma) = (\cos(\alpha))^{2} + (\cos(\beta))^{2} + (\cos({\gamma}))^{2}$

Je nach Dreieck unterscheiden sich die Ankatheten, die Hypotenuse bleibt jedoch stets die Raumdiagonale $\overline{AF}$.

$(\cos({\alpha}))^{2} + (\cos({\beta}))^{2} + (\cos({\gamma}))^{2} = \left(\dfrac{\overline{AH}}{\overline{AF}}\right)^{2} + \left(\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AF}}\right)^{2} + \left(\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AF}}\right)^{2} = \dfrac{\overline{AH}^{2}}{\overline{AF}^{2}} + \dfrac{\overline{AB}^{2}}{\overline{AF}^{2}} + \dfrac{\overline{AD}^{2}}{\overline{AF}^{2}}$

Da auch hier der Nenner wieder gleich ist, können die Brüche addiert werden.

$\dfrac{\overline{AH}^{2}}{\overline{AF}^{2}} + \dfrac{\overline{AB}^{2}}{\overline{AF}^{2}} + \dfrac{\overline{AD}^{2}}{\overline{AF}^{2}} = \dfrac{\overline{AH}^{2} + \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}}{\overline{AF}^{2}}$

Wir können mit dem Satz des Pythagoras Folgendes aussagen:

$\overline{AF}^{2} = \overline{AH}^{2} + \overline{FH}^{2}$

Außerdem gilt:

$\overline{FH}^{2} = \overline{EH}^{2} + \overline{EF}^{2}$

Nach den Eigenschaften des Quaders und den daraus resultierenden obigen Seitenbeziehungen gilt mit $\overline{EH}^{2} = \overline{AB}^{2}$ und $\overline{EF}^{2} = \overline{AD}^{2}$:

$\overline{FH}^{2} = \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}$

Damit können wir sagen, dass:

$\overline{AF}^{2} = \overline{AH}^{2} + \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}$

Wenn wir das nun in unseren ursprünglichen Bruch einsetzen, erhalten wir:

$\dfrac{\overline{AH}^{2} + \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}}{\overline{AF}^{2}} = \dfrac{\overline{AH}^{2} + \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}}{\overline{AH}^{2} + \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}} = 1$

Damit ist die Aussage bewiesen. Übrigens gilt immer, dass das Quadrat der Raumdiagonalen eines Quaders der Summe der Quadrate der Breite, Länge und Tiefe des Quaders entspricht.

Trigonometrischer Pythagoras – Zusammenfassung

Der trigonometrische Pythagoras ist, wie der Name schon vermuten lässt, eine Kombination aus den trigonometrischen Gleichungen und dem Satz des Pythagoras. Er vermittelt folgende allgemeingültige Gleichung:

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: $\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$

Die Gleichung kann sowohl algebraisch als auch grafisch mittels des Einheitskreises gezeigt werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema trigonometrischer Pythagoras

Gilt dieser Satz auch in nicht rechtwinkligen Dreiecken?
Gilt dieser Satz auch in anderen geometrischen Figuren?
Wofür benötigt man den trigonometrischen Pythagoras?
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Trigonometrische Pythagoras
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