Der trigonometrische Pythagoras verbindet den Satz des Pythagoras mit trigonometrischen Gleichungen. Du lernst, wie $\sin2(\alpha) + \cos2(\alpha) = 1$ bewiesen wird. Interessiert? Mehr dazu im Text!
Für das Verständnis des trigonometrischen Pythagoras sollte der Satz des Pythagoras vertraut sein. Zur Erinnerung:
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden Katheten ist.
Es gilt also:
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$, mit $c$ als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks
Zuletzt solltest du auch über den Einheitskreis Bescheid wissen:
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius $1$, der seinen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems hat. Aufgrund dieser Eigenschaften können anhand des Einheitskreises die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen $\sin (x)$ und $\cos (x)$ bestimmt werden.
Was ist der trigonometrische Pythagoras?
Der trigonometrische Pythagoras ist eine Bezeichnung für eine häufig verwendete Gleichung, die den Satz des Pythagoras mit den trigonometrischen Gleichungen verbindet. Die Gleichung lautet:
$\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$
Dabei ist $\sin^{2} (\alpha) = (\sin(\alpha))^{2}$ und $\cos^{2}(\alpha) = (\cos(\alpha))^{2}$.
Beweis des trigonometrischen Pythagoras
Zu zeigen
$\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$
Wir schauen uns ein allgemeines rechtwinkliges Dreieck an.
In diesem Dreieck gelten aufgrund seines rechten Winkels sowohl der Satz des Pythagoras als auch die drei trigonometrischen Gleichungen. Um den trigonometrischen Pythagoras zu beweisen, schauen wir uns den Term links vom Gleichheitszeichen an und versuchen, diesen so weit umzuformen, dass wir den Term rechts vom Gleichheitszeichen erhalten. Zunächst können wir diesen Schritt gehen:
Nun nutzen wir die trigonometrischen Gleichungen, um weiter umzuformen. $\sin(\alpha)$ ist das Gleiche wie die Division von Gegenkathete durch Hypotenuse. Ebenso ist $\cos(\alpha)$ das Gleiche wie die Division von Ankathete durch Hypotenuse, also können wir die entsprechenden Brüche in die Gleichung einsetzen.
Einfachheitshalber setzen wir nun die Bezeichnungen der Dreiecksseiten ein. Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $a$, die Ankathete ist $b$ und die Hypotenuse ist $c$.
Nun können wir den Term ohne weitere Informationen nicht weiter umformen. Allerdings fällt auf, dass hier, ähnlich wie beim Satz des Pythagoras, alle drei Seiten des Dreiecks im Quadrat vorhanden sind. Der Satz des Pythagoras besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse, also der Seite $c$, gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten $a$ und $b$ ist. Das können wir nutzen. Es gilt also:
Das entspricht der rechten Seite der Gleichung, deren Gültigkeit wir zeigen wollten. Damit ist der trigonometrische Pythagoras bewiesen: $\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$.
Trigonometrischer Pythagoras im Einheitskreis
Mithilfe des Einheitskreises kann der trigonometrische Pythagoras auch grafisch hergeleitet werden. In diesem können nämlich beliebig viele rechtwinklige Dreiecke eingezeichnet werden, die $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ als Kathetenlängen haben.
Das liegt an der Eigenschaft, dass die Hypotenuse dieser rechtwinkligen Dreiecke immer dem Radius des Einheitskreises und damit einer Länge von $1$ entspricht. Dadurch vereinfachen sich die trigonometrischen Gleichungen folgendermaßen:
Somit kann der trigonometrische Pythagoras wie folgt grafisch veranschaulicht werden:
Da der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Flächeninhalte der Quadrate mit den Seitenlängen der Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck dem Flächeninhalt des Quadrats mit der Hypotenuse als Seitenlänge entsprechen, ist hiermit erneut die Gültigkeit des trigonometrischen Pythagoras gezeigt.
Weiterführendes Beispiel – der trigonometrische Pythagoras im Raum
Der trigonometrische Pythagoras kann auch im dreidimensionalen Raum angewandt und gezeigt werden. Dazu schauen wir uns folgenden Quader an:
Da es sich um einen Quader handelt, gelten unter anderem folgende Beziehungen zwischen den Seiten:
In diesem Quader sind bereits drei rechtwinklige Dreiecke eingezeichnet, die jeweils aus $\color{#F3DB00}{\text{einer Seite des Quaders}}$, $\color{#66D8FF}{\text{einer Flächendiagonale}}$ und derselben $\color{#FF0000}{\text{Raumdiagonale}}$ bestehen.
In jedem der drei Dreiecke stellt die Raumdiagonale die Hypotenuse dar. Wir schauen uns die Winkel an, die den Scheitelpunkt A haben.
Wir stellen in diesem Fall eine ähnliche Behauptung auf und möchten ihre Gültigkeit zeigen:
Nach den Eigenschaften des Quaders und den daraus resultierenden obigen Seitenbeziehungen gilt mit $\overline{EH}^{2} = \overline{AB}^{2}$ und $\overline{EF}^{2} = \overline{AD}^{2}$:
Damit ist die Aussage bewiesen. Übrigens gilt immer, dass das Quadrat der Raumdiagonalen eines Quaders der Summe der Quadrate der Breite, Länge und Tiefe des Quaders entspricht.
Trigonometrischer Pythagoras – Zusammenfassung
Der trigonometrische Pythagoras ist, wie der Name schon vermuten lässt, eine Kombination aus den trigonometrischen Gleichungen und dem Satz des Pythagoras. Er vermittelt folgende allgemeingültige Gleichung:
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
$\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$
Die Gleichung kann sowohl algebraisch als auch grafisch mittels des Einheitskreises gezeigt werden.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrischer Pythagoras
Wie in dem obigen Abschnitt gezeigt wurde, kann der trigonometrische Pythagoras auch in anderen geometrischen Figuren angewandt werden, solange diese auf rechtwinklige Dreiecke zurückgeführt werden können.
Der trigonometrische Pythagoras ist insbesondere für das Vereinfachen von komplizierten trigonometrischen Gleichungen von Vorteil. Er kann also als Termumformung genutzt werden, außerdem für Beweise in der Trigonometrie.
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