Trigonometrie – Anwendung Straßensteigung

Hallo. Eine der Aufgaben, die eigentlich immer beim Thema Trigonometrie behandelt wird, ist die Straßensteigung. Dazu möchte ich Folgendes zeigen. Wir haben eine Straße, das soll einmal die Straße sein, die hat eine Steigung von 12%. Das hast du vielleicht schon mal gesehen, auf Schildern, 12% Steigung oder 12% Gefälle. Was bedeutet das? Es bedeutet nicht, dass dieser Winkel hier 12° ist, sondern es bedeutet Folgendes: Wenn hier die Straße ansteigt, dann könnte man jetzt, theoretisch gesehen, horizontal in die Erde reingraben und wenn man das 100m weit macht, also von hier 100m weit waagerecht in die Erde rein, dann müsste man von hier wieder 12m hoch buddeln, bis man wieder an der Straße ist. Das sind dann 100m und das sind 12m. Das bedeutet 12% Steigung. Die Frage, die sich jetzt hier anschließt, ist natürlich: Wie groß ist der Steigungswinkel. Dann male ich das Dreieck mal eben auf. Wir haben hier 100m und wir haben hier 12m und da steigt die Steigung. Die Straße steigt, nicht die Steigung steigt. Wie groß ist der Winkel? Der Winkel soll α heißen. Da ist er. Das ist also hier unsere Situation. Von α aus gesehen ist das hier die Gegenkathete, das ist die Ankathete. Deshalb können wir einfach schreiben: Gegenkathete geteilt duch Ankathete, also 12/100=0,12=tanα. Jetzt wollen wir natürlich α noch herausfinden. Da müssen wir einfach rechnen tan^-1, also die Umkehrfunktion des Tangens, von 0,12. Dann kriegen wir den Winkel raus, ich mache das eben mit meinem Rechner hier. Und zwar: tan^-1(0,12)=6,8°. Das ist jetzt der Steigungswinkel. Ich möchte gleich noch eine weitere Aufgabe zeigen, die sich hier anschließt. Wir haben einen Steigungswinkel von 6,8°. Wir wissen, dass wir jetzt die Straße entlang 500m weit laufen. Die Frage ist: Wie hoch sind wir dann? Ich erkläre es nicht weiter. Man geht die Straße lang, 500m. Das muss ich nicht weiter erklären. Da geht man die Straße rauf und dann ist die Frage, wie hoch sind wir dann. Hier ist also das x. Wie viel Höhe haben wir gewonnen? Das sehe ich gleich, x ist von diesem 6,8°-Winkel aus die Gegenkathete, 500 ist die Hypotenuse. Dann habe ich also sin(6,8°)=x/500. Dann passt das nicht mehr hin, ist egal. Ich habe noch genug Blätter hier. Was ich rechnen muss, ist letzten Endes x=500×sin(6,8°). Das sieht folgendermaßen aus: 500×sin(6,8°)=59,2. Meter schreibe ich jetzt nicht hier hin, weil da auch keine Meter sind. Das kommt auch ungefähr hin, mit der Schätzung. Du kannst es selber ausprobieren. Ich weiß nicht, wie du dann genau die Höhe nachmessen möchtest, aber warum nicht? Man kann ja ein bisschen mal experimentieren. Das sind die beiden Rechnungen und die Aufgabe ist damit abgehandelt. Viel Spaß damit. Tschüss.