Termumformungen - Begründung

Termumformungen - Begründung Übung

• Gib die Gesetze an, die zum Umformen von Termen verwendet werden.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz wird auch als Vertauschungsgesetz bezeichnet.

  Merke dir:

  • Summand plus Summand gleich Summe.
  • Faktor mal Faktor gleich Produkt.

  Die einzelnen Terme haben den gleichen Namen.

  Lösung

  Um Terme umzuformen, werden verschiedene Rechenregeln angewendet:

  Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass beim Addieren die Reihenfolge der Summanden vertauscht werden darf:

  $a+b=b+a$.

  Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass beim Multiplizieren die Reihenfolge der Faktoren vertauscht werden darf:

  $a\cdot b=b\cdot a$.

  Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gerechnet werden kann:

  $(a+b)+c=a+(b+c)$.

  Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt dasselbe für die Multiplikation:

  $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

  Das Distributivgesetz wird benötigt, um Klammern aufzulösen:

  $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

• Ergänze die Begründung für die Gültigkeit des Kommutativgesetzes bei Termen.

  Tipps

  Stelle dir eine Gleichung wie eine Waage vor: Links und rechts muss das Gleiche stehen.

  Wenn auf der linken Waagschale Buchstaben stehen, musst du für diese Buchstaben Zahlen einsetzen. Nur so kannst du prüfen, ob Gleichheit gilt.

  Wenn du den Term $2x$ betrachtest, kannst du für $x$ Zahlen einsetzen. Zum Beispiel erhältst du für $x=3$:

  $2\cdot 3=6$.

  Lösung

  Hier ist das Kommutativgesetz der Addition. Gilt dieses Gesetz auch, wenn man Terme für $a$ oder $b$ einsetzt?

  Das Kommutativgesetz besagt, dass bei der Addition die Reihenfolge der Summanden vertauscht werden kann. Es entstehen zwei ergebnisgleiche Terme.

  Werden nun für $a$ und $b$ Terme eingesetzt, so gilt das Gesetz immer noch. Warum? Weil wir für die Variablen Zahlen einsetzen können und beim Ausrechnen der Terme dann auch Zahlen herauskommen.

  Und für Zahlen gilt bekanntlich das Kommutativgesetz.

• Erkläre, wie der Term $-2x+5xy+4x-3xy$ umgeformt werden kann.

  Tipps

  Hier siehst du das Kommutativgesetz der Addition.

  Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gerechnet werden kann:

  $(a+b)+c=a+(b+c)$.

  Beachte, dass eine Gleichung von rechts nach links und von links nach rechts gelesen werden kann.

  Am Beispiel des Distributivgesetzes bedeutet dies, dass man mithilfe dieses Gesetzes

  • sowohl Klammern auflösen
  • als auch gemeinsame Faktoren ausklammern kann.

  Lösung

  Hier ist zu erkennen, dass die Terme mit $x$ sowie $xy$ jeweils zweimal vorkommen. Diese Terme können jeweils zusammengefasst werden. Dafür muss aber erst einmal das Kommutativgesetz der Addition auf die mittleren beiden Summanden $5xy+4x=4x+5xy$ angewendet werden:

  $-2x+5xy+4x-3xy=-2x+4x+5xy-3xy$.

  Man muss jetzt nicht unbedingt von links nach rechts rechnen, man kann auch die beiden vorderen und die beiden hinteren Summanden zusammen fassen. Dies ist die Aussage des Assoziativgesetzes:

  $(-2x+4x)+(5xy-3xy)=2x+2xy$.

  Nun kann man noch sehen, dass in beiden Summanden der Faktor $2x$ vorkommt. Dieser kann ausgeklammert werden (Distributivgesetz):

  $2x+2xy=2x(1+y)$.

  Wir können zusammenfassend schreiben:

  $-2x+5xy+4x-3xy=2x(1+y)$.

• Gib an, welches Gesetz zur Umformung des Terms verwendet wurde.

  Tipps

  Beachte, dass $-3xy+3xy=0$ ist.

  Hier siehst du die verwendeten Gesetze im Überblick:

  • das Kommutativgesetz der Addition: $a+b=b+a$
  • das Kommutativgesetz der Multiplikation: $a\cdot b=b\cdot a$
  • das Assoziativgesetz der Addition: $(a+b)+c=a+(b+c)$
  • das Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+ a\cdot c$

  Die Reihenfolge, in welcher du die Gesetze anwendest, ist nicht festgelegt. Sie hängt von den üblichen Rechenregeln ab, zum Beispiel „Punkt vor Strich“.

  Beachte, dass auch $a-b$ als Summe verstanden werden kann. Die Summanden sind $a$ und $-b$.

  Lösung

  Bei diesem Term müssen gleich mehrere Regeln angewendet werden:

  $3(x+yx)+4x-x(5+3y)$.

  Aber es lohnt sich: Es kommt $2x$ heraus. Wie geht das?

  Zuerst werden die beiden Klammern mit dem Distributivgesetz aufgelöst:

  $3(x+yx)+4x-x(5+3y)=3x+3yx+4x-x\cdot 5-x\cdot 3y$.

  Nun kann das Kommutativgesetz der Multiplikation dreimal angewendet werden:

  $3x+3yx+4x-x\cdot 5-x\cdot 3y=3x+3xy+4x-5x-3xy$.

  Mit Hilfe des Assoziativgesetzes kann $4x-5x=-x$ gerechnet werden. Somit ist

  $3x+3xy+4x-5x-3xy=3x+3xy+(4x-5x)-3xy=3x+3xy-x-3xy$.

  Jetzt werden die mittleren beiden Summanden vertauscht. Dies ist das Kommutativgesetz der Addition:

  $3x+3xy-x-3xy=3x-x+3xy-3xy$.

  Als Abschluss wird nochmal das Assoziativgesetz verwendet:

  $3x-x+3xy-3xy=(3x-x)+(3xy-3xy)=2x+0=2x$.

  Zusammenfassend erhalten wir $3(x+yx)+4x-x(5+3y)=2x$.

• Nenne das Gesetz, welches bei der Termumformung verwendet wurde.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz der Addition (Multiplikation) besagt, dass du beim Addieren (Multiplizieren) die Reihenfolge der Summanden (Faktoren) vertauschen darfst:

  • $a+b=b+a$
  • $a\cdot b=b\cdot a$

  Das Assoziativgesetz besagt, dass du sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links rechnen kannst, wenn du ausschließlich addierst oder multiplizierst.

  Hier siehst du das Distributivgestz. Es dient dem Auflösen von Klammern.

  Lösung

  Wie kann dieser Term umgeformt und schließlich vereinfacht werden?

  Ganz vorne steht $-2x$ und ganz hinten $+4x$, nur der Term in der Mitte könnte „stören“.

  Man kann das Distributivgesetz der Addition anwenden: $a+b=b+a$.

  Hier ist

  • $a=5xy$ und
  • $b=4x$.

  Damit ist $5xy+4x=4x+5xy$. Dies kann nun verwendet werden:

  $-2x+5xy+4x=-2x+4x+5xy=2x+5xy$.

  Hier könnte man jetzt noch $x$ ausklammern zu $x\cdot (2+5y)$. Das wäre das Distributivgesetz.

• Gib jeweils den umgeformten Term an.

  Tipps

  Gehe Schritt für Schritt vor: Löse jeweils zuerst die Klammern auf.

  Beachte, dass ein Minus vor der Klammer in der Klammer zum Vertauschen der Vorzeichen führt.

  Du kannst die folgenden Gesetze verwenden:

  • das Kommutativgesetz der Addition: $a+b=b+a$
  • das Kommutativgesetz der Multiplikation: $a\cdot b=b\cdot a$
  • das Assoziativgesetz der Addition: $(a+b)+c=a+(b+c)$
  • das Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+ a\cdot c$

  Lösung

  Die jeweiligen Terme auf der linken Seite sehen recht ähnlich aus. Trotzdem kommt etwas ganz anderes heraus.

  Wir wollen die Gesetze einmal Schritt für Schritt anwenden:

  • Distributivgesetz: $-2x(y-1)+(x+3)2y=-2xy+2x+2xy+6y$. Wenn wir ganz genau sind, wird hier auch bereits das Kommutativgesetz der Multiplikation sowie das Assoziativgesetz der Addition verwendet. Kannst du erkennen, wo dies geschieht?
  • Kommutativgesetz der Addition: $-2xy+2x+2xy+6y=2x-2xy+2xy+6y$.
  • Assoziativgesetz der Addition: $2x(-2xy+2xy)+6y=2x+6y$.

  Ebenso können die anderen Terme umgeformt werden:

  • $2x(1-y)-(3-x)2y=2x-2xy-6y+2xy=2x-6y+2xy-2xy=2x-6y$
  • $2y(x+1)-(x+3)2y=2xy+2y-2xy-6y=2y+2xy-2xy-6y=2y-6y=-4y$
  • $2x(1-y)-(2-y)2x=2x-2xy-4x+2xy=2x-4x-2xy+2xy=-2x$