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Terme durch Rechenbäume beschreiben

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Team Digital
Terme durch Rechenbäume beschreiben
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Terme durch Rechenbäume beschreiben

Inhalt

Einführung: Zahlenterme und Rechenbäume

Um verschachtelte Terme möglichst schnell zu lösen, gibt es verschiedene Methoden. Eine Methode ist, Terme durch Rechenbäume zu beschreiben. In diesem Video findest du eine Erklärung zum Rechenbaum in Mathe.

Was ist ein Rechenbaum?

Schauen wir uns das Beschreiben von Termen durch Rechenbäume an einem Beispiel an. Der folgende Term ist sehr verschachtelt.

$((14 + 2) : 8 + 3 \cdot (2 + 4)) : 4$

Beim Lösen solcher Terme gibt es eine klare Reihenfolge. Die Regeln zum Lösen verschachtelter Terme lauten:

  1. Klammern werden immer von innen nach außen aufgelöst.
  2. Punktrechnung (mal und geteilt) geht vor Strichrechnung (plus und minus).

Aber was ist nun ein Rechenbaum und wie hilft uns dieser beim Lösen eines solchen Terms?

  • Ein Term kann in einem Rechenbaum so dargestellt werden, dass direkt ablesbar ist, welche Rechnung wann durchgeführt werden muss.

Wie erstelle ich einen Rechenbaum zu einem Term?

Zunächst benötigen wir für jede Zahl des Terms ein eigenes Kästchen. Diese schreiben wir unter den Term. Die Kästchen werden so angeordnet, wie sie von links nach rechts im Term auftreten.

Terme durch Rechenbäume beschreiben

Nun gehen wir der Reihenfolge nach vor. Zuerst müssen Klammern aufgelöst werden. Dies passiert von innen nach außen. Welche Klammerpaare befinden sich ganz innen? Das sind die Klammern um die Summe $14 + 2$ und um die Summe $2 + 4$. Das dritte Klammernpaar liegt weiter außen.

Um die beiden inneren Klammern aufzulösen, müssen wir jeweils addieren. In der ersten Klammer stehen nur zwei Zahlen. Also verbinden wir im Rechenbaum die beiden Kästchen der Zahlen $14$ und $2$ mit einer Linie und einem Kreis, in den wir das Operationszeichen zeichnen. In diesem Fall brauchen wir das Zeichen für die Plusrechnung. Darunter zeichnen wir ein weiteres Kästchen. In dieses kommt später die Summe dieser Rechnung.

Auch in der anderen inneren Klammer befindet sich eine Addition von zwei Zahlen. Also wiederholen wir das Gleiche mit den Zahlen $2$ und $4$. Auch diese Kästchen verbinden wir mit einer Linie und dem Kreis mit dem Plus. Wir zeichnen ein weiteres Kästchen für die Summe dieser Rechnung darunter. Die beiden neuen Kästchen sind auf der gleichen Ebene im Rechenbaum. Das bedeutet, es ist egal, in welcher Reihenfolge du diese beiden Kästchen ausrechnest.

23216_Terme_durch_Rechenbäume_beschreiben_6.svg

Die beiden inneren Klammern sind nun verarbeitet. Nun können wir uns der äußeren Klammer zuwenden. In dieser befinden sich noch drei weitere Rechenzeichen. Ein Geteiltzeichen vor der $8$, ein Plus zwischen der $3$ und der $8$ und das Mal hinter der $3$. In welcher Reihenfolge müssen wir diese betrachten? Es gilt Punktrechnung vor Strichrechnung. Also zuerst das Malzeichen und das Geteiltzeichen. Mit welcher Rechnung wir beginnen, ist in diesem Fall wieder egal.

Beginnen wir mit der Multiplikation. Die Klammer haben wir bereits im Rechenbaum untergebracht. Die Summe, die bereits ein eigenes Kästchen besitzt, soll also mit $3$ multipliziert werden. Wir verbinden also das Kästchen für das Zwischenergebnis der inneren Klammer und das Kästchen der $3$ mit einem Malzeichen. Zudem kommt darunter ein neues Kästchen für dieses Zwischenergebnis.

Die Rechnung mit dem Geteiltzeichen findet auf der gleichen Ebene statt. Wir verbinden das Zwischenergebnis aus der inneren Klammer mit der $8$. An diese Verbindung schreiben wir ein Geteiltzeichen. Auch hier zeichnen wir wieder ein Kästchen für dieses Zwischenergebnis. Dieses kommt auf eine Ebene mit dem Kästchen der Multiplikation.

23216_Terme_durch_Rechenbäume_beschreiben_3.svg

Nun können wir das Pluszeichen, also die Strichrechnung, in der äußeren Klammer betrachten. Wir betrachten nun alles, was innerhalb der äußeren Klammer steht. Wir haben bereits alles links des Pluszeichens in den Rechenbaum eingetragen. Auch alles rechts des Pluszeichens ist bereits eingetragen. Nun müssen wir also nur noch diese beiden Zwischenergebnisse mit einem Pluszeichen verbinden. Ein neues Kästchen muss nun in die nächste Ebene gezeichnet werden. Dieses Kästchen entspricht jetzt der gesamten äußeren Klammer.

23216_Terme_durch_Rechenbäume_beschreiben_5.svg

Das Ergebnis in der Klammer muss nun noch durch $4$ geteilt werden. Die $4$ von ganz oben muss nun also über ein Geteiltzeichen mit dem Kästchen für das Ergebnis der äußeren Klammer verbunden werden. Das letzte Kästchen in der nächsten Ebene steht nun für das Ergebnis des gesamten Terms.

23216_Terme_durch_Rechenbäume_beschreiben_4.svg

Terme mithilfe eines Rechenbaums lösen

Und was bringt das Ganze nun? Jedes Kästchen steht für eine kleine Rechenaufgabe. Die komplizierte Form des Terms haben wir nun viel einfacher aufgeschrieben. Es müssen nun nur die einzelnen Kästchen ausgerechnet werden, um auf das Ergebnis des Terms zu kommen. Um dieses Ergebnis zu erhalten, also den Rechenbaum zu lösen, gehen wir von oben nach unten vor.
Fangen wir mit dem linken Kästchen in der ersten Ebene an. Dafür müssen wir Folgendes rechnen:

$14 + 2 = 16$

Wir tragen also in dieses erste Kästchen eine $16$ ein. Als Nächstes wird das rechte Kästchen in der gleichen Ebene gelöst. Dafür rechnen wir:

$2 + 4 = 6$

Also tragen wir eine $6$ in dieses Kästchen ein.

23216_Terme_durch_Rechenbäume_beschreiben_2.svg

Weiter geht es mit der nächsten Ebene. Im linken Kästchen müssen wir die $16$ aus der Ebene darüber durch $8$ teilen.

$16 : 8 = 2$

Wir tragen die $2$ in dieses Kästchen. Ebenfalls in dieser Ebene müssen wir die $6$ aus der Ebene darüber mit $3$ multiplizieren.

$3 \cdot 6 = 18$

Die $18$ wird in das Kästchen eingetragen. Für die nächste Ebene müssen wir beide Kästchen aus der vorherigen Ebene addieren. Also:

$2 + 18 = 20$

Die $20$ kommt in das Kästchen aus der vorletzten Ebene. Nun bleibt nur noch eine Rechnung. Die $20$ müssen wir noch durch die $4$ von ganz oben teilen.

$20 : 4 = 5$

Und damit lautet das Ergebnis für den Wert des Terms $5$.

23216_Terme_durch_Rechenbäume_beschreiben_1.svg

Zusammenfassung: Terme durch Rechenbäume beschreiben

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum Thema Terme durch Rechenbäume lösen zusammen.

  • Um einen Term, also einen Rechenausdruck, zu lösen, muss immer die richtige Reihenfolge der Rechenoperationen berücksichtigt werden.
  • Zuerst werden Klammern von innen nach außen berechnet.
  • Dabei muss immer Punktrechnung vor Strichrechnung beachtet werden.
  • Sind alle Klammern ausgerechnet, gilt für den resultierenden Term ebenfalls Punktrechnung vor Strichrechnung.
  • Bei der Erstellung eines Rechenbaums muss diese Reihenfolge beachtet werden.
  • Dazu schreiben wir zunächst alle Zahlen in einzelne Kästchen.
  • Dann werden die Kästchen von oben nach unten mit den passenden Rechenzeichen verbunden.
  • Dabei muss immer beachtet werden: erst Klammern von innen nach außen, dann Punktrechnung und dann Strichrechnung.
  • Am Ende können die einzelnen Zwischenergebnisse berechnet werden. Wir erhalten die Lösung des Rechenbaums und damit die Lösung des Terms.

Weitere Übungen und Aufgaben zum Thema Terme durch Rechenbäume beschreiben findest du hier bei sofatutor.

Transkript Terme durch Rechenbäume beschreiben

Alarm! Ob er es schafft? Kann man es überhaupt schaffen? Er muss diesen Term ausrechnen! Aber wie? Wie? Da hilft nur eins. Wir müssen lernen, wie man Terme durch Rechenbäume beschreiben kann. Dieser Term sieht ganz schön kompliziert aus. Wo soll man denn da anfangen mit dem Ausrechnen? Da gibt es eine ganz klare Reihenfolge! Zuerst müssen die Klammern aufgelöst werden. Und zwar von innen nach außen. Außerdem gilt immer: Punktrechnung, also Mal oder geteilt, vor Strichrechnung, also Plus und Minus. Aber was ist denn nun ein Rechenbaum? In einem Rechenbaum schreiben wir einen Term so auf, dass man direkt ablesen kann, welche Rechnung man wann durchführen muss. Versuchen wir's einfach mit diesem Term! Zuerst brauchen wir für jede Zahl des Terms ein eigenes Kästchen. Die Kästchen werden in einer Reihe angeordnet. Dann gehen wir der Reihenfolge nach vor: Zuerst sollen wir Klammern auflösen. Welche Klammerpaare sind denn ganz innen? Das sind diese hier und diese. Es gibt noch diese Klammern hier, die liegen aber weiter außen. Um die beiden inneren Klammern aufzulösen, müssen wir jeweils zwei Zahlen miteinander addieren. Schauen wir uns zuerst diese Klammer an. Dort drin steht nur ein Rechenzeichen, nämlich das Plus. Also verbinden wir im Rechenbaum die beiden Boxen für diese 14 und diese 2 mit einem Kreis für das Plus. Und darunter zeichnen wir ein neues Kästchen. In das kommt dann später das Ergebnis dieser Rechnung, aber für den Moment lassen wir es frei. Weiter geht es mit der anderen Klammer. Dort steht auch ein Plus, also verbinden wir die Kästchen für diese 2 und diese 4 mit einem weiteren Plus-Kreis. Und darunter ein neues Kästchen für das Zwischenergebnis. Die beiden Kästchen sind auf der gleichen Höhe im Rechenbaum; das bedeutet, dass es ganz egal ist, in welcher Reihenfolge du diese beiden Kästchen ausrechnest. Jetzt haben wir die beiden inneren Klammern verarbeitet, wie geht es jetzt weiter? Es gibt noch die äußere Klammer! In der sind noch drei Rechenzeichen übrig. In welcher Reihenfolge müssen wir die durchgehen? Punkt vor Strich! Also erst das Geteiltzeichen und das Malzeichen. Hier ist es wieder egal, welche der beiden Rechnungen wir zuerst durchführen. Fangen wir doch einfach mit der Multiplikation an. Denk dran: die Klammer hier haben wir schon im Rechenbaum untergebracht nämlich in diesem Kästchen. Das Ergebnis soll also mit 3 malgenommen werden. Das heißt, wir verbinden die 3 und das Kästchen für dieses Zwischenergebnis mit einem Malzeichen. Darunter kommt wieder eine Box für das Zwischenergebnis. Auf der gleichen Ebene im Rechenbaum kümmern wir uns auch um das Geteiltzeichen. Wir verbinden das Zwischenergebnis aus der Ebene darüber mit der 8, durch die wir teilen sollen. Und zwar mit einem Kreis, in den das Geteiltzeichen kommt. Das Kästchen für das Zwischenergebnis nicht vergessen, und weiter gehts. Jetzt kümmern wir uns um das Plus, also um die Strichrechnung. Wir haben schon alles links des Pluszeichens und alles rechts des Pluszeichens in den Rechenbaum eingetragen. Jetzt müssen wir also nur diese beiden Zwischenergebnisse mit einem Pluszeichen verbinden — und zeichnen wieder ein neues Kästchen. Fast fertig: Die ganze äußere Klammer entspricht jetzt diesem Kästchen im Rechenbaum. Das wird noch durch 4 geteilt. Also verbinden wir diese 4 mit dem Kästchen von eben über ein Geteiltzeichen und das letzte Kästchen steht für das Ergebnis des ganzen Terms. Was haben wir jetzt davon? Schau mal: jedes Kästchen steht für eine ganz kleine Rechenaufgabe. Und die komplizierte Form des Terms haben wir im Rechenbaum nun viel einfacher aufgeschrieben. Jetzt müssen wir die einzelnen Kästchen nur noch ausrechnen! Um den Rechenbaum zu lösen, also das unterste Kästchen auszurechnen, gehen wir von oben nach unten vor. Fangen wir bei diesem Kästchen an. Wir sollen 14 plus 2 rechnen das ergibt 16. Also schreiben wir 16 in das Kästchen. Als nächstes berechnen wir dieses Kästchen. Hier müssen wir 2 plus 4 also 6 hineinschreiben. Weiter geht es mit der nächsten Ebene! Hier haben wir 16, also das Zwischenergebnis von der Ebene darüber, geteilt durch 8. Das ergibt 2. Und hier sollen wir 3 mal das Kästchen darüber mit der 6 ausrechnen. 3 mal 6 ergibt 18! Für dieses Kästchen müssen wir diese beiden Zwischenergebnisse addieren. Wir rechnen also 2 plus 18 und das sind 20! Bleibt nur das allerletzte Kästchen! 20 geteilt durch die 4 von ganz oben. Und damit lautet das Ergebnis des Terms 5! Phew! Das war knapp – fassen wir noch schnell zusammen. Um einen Term, also einen Rechenausdruck, zu lösen, musst du immer die richtige Reihenfolge berücksichtigen! Zuerst Klammern von innen nach außen berechnen, und dabei immer Punktrechnung vor Strichrechnung beachten. Wenn alle Klammern ausgerechnet sind, gilt auch für den resultierenden Term: Punktrechnung vor Strichrechnung. In einem Rechenbaum zerlegt man den Term in viele kleine Zwischenrechnungen, die alle viel einfacher zu lösen sind. Man muss dabei nur darauf achten, die einzelnen Kästchen des Rechenbaums so miteinander zu verbinden, dass die richtige Reihenfolge eingehalten wird. Dazu schreiben wir zuerst alle Zahlen des Terms in einzelne Kästchen und reihen sie auf. Dann verbinden wir die Kästchen von oben nach unten mit den passenden Rechenzeichen. Dabei beachten wir immer: erst Klammern von innen nach außen, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung. Am Ende können wir die einzelnen Zwischenergebnisse ausrechnen und haben so den Rechenbaum gelöst! Was war das denn nun für ein Alarm? Seine Kaffeemaschine? "Ist gelöst der Rechenbaum, der lange Term geknackt, winkt Kaffee mit Milch und Schaum, und dann wird schön genossen."

22 Kommentare

22 Kommentare
  1. Aber sonst gut

    Von Hannah, vor 6 Monaten
  2. Ja aber wir müssen unter die Boxen dann auch die Namen schreiben!

    Von Hannah, vor 6 Monaten
  3. ik nik können deutsh aber war gut

    Von Raphael, vor 6 Monaten
  4. ehhh nehmen

    Von Efe, vor 9 Monaten
  5. richtig gutes video jetzt muss ich icht mehr ein schwierigen rechen weg nemmen sondern ein einfachen 1000000 von 1000000

    Von Efe, vor 9 Monaten
Mehr Kommentare

Terme durch Rechenbäume beschreiben Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Terme durch Rechenbäume beschreiben kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschrifte den Rechenbaum.

    Tipps

    Berechne zuerst den Term in der Klammer.

    Rechne in der Klammer zuerst die Division aus.

    Lösung

    Der Rechenbaum hilft dir, den Term $(8:2-1) \cdot 5 -2$ auszurechnen. Die Rechnung beginnt in der Klammer. Nach der Regel „Punkt- vor Strichrechnung“ musst du zuerst $8:2$ rechnen. Das siehst du im Rechenbaum an der Verbindung in der oberen Zeile. Das Ergebnis schreibst du in das Kästchen unter dieser Verbindung. Die nächste Rechnung steht in der zweiten Zeile im Rechenbaum: Von dem Ergebnis der ersten Rechnung ziehst du $1$ ab und schreibst das neue Zwischenergebnis in das Kästchen unter der Verbindung. Wenn du so die einzelnen Rechnungen von oben nach unten durchgehst, findest du den hier abgebildeten vollständigen Rechenbaum.

  • Vervollständige den Rechenbaum.

    Tipps

    Suche die Zahlenpaare im Innern der Klammer. Trage das jeweilige Rechenzeichen in das Rechteck, das auf der Verbindung zwischen diesen beiden Zahlen liegt, ein.

    Beginne die Rechnung mit den Ausdrücken in den Klammern und rechne von innen nach außen.

    Trage das Ergebnis jeder einzelnen Rechnung in das Kästchen unter der zugehörigen Verbindung ein.

    Lösung

    Mit Hilfe des Rechenbaums kannst du den Term $((14+2):8 +3 \cdot (2+4)):4$ ausrechnen. Die Rechnung beginnt in den Klammern. Beide Klammern stehen auf derselben Ebene, sodass es also egal ist, welche du zuerst ausrechnest. Du erkennst das daran, dass die beiden Rechnungen im Rechenbaum in derselben Zeile stehen. Die Ergebnisse der Rechnungen $14+2$ und $2+4$ trägst du in die Kästchen unter der jeweiligen Verbindung ein. Mit diesen Ergebnissen rechnest du weiter. Auf der linken Seite teilst du das Zwischenergebnis durch $8$. So gehst du von oben nach unten durch den Rechenbaum, trägst jeweils die Zwischenergebnisse in die Kästchen ein und rechnest damit weiter.

    Wenn du dich nicht verrechnet hast, steht am Ende der hier abgebildete vollständige Rechenbaum da.

  • Werte den Rechenbaum aus.

    Tipps

    Suche die inneren Klammern und beginne dort zu rechnen.

    Rechne im Rechenbaum von oben nach unten.

    Hier ist ein Beispiel für die Rechnung im Rechenbaum von oben nach unten.

    Lösung

    Der Rechenbaum hilft dir, den komplizierten Term $((12:4+7):(2 \cdot 7 - 9) + 23):5$ Schritt für Schritt auszurechnen. Die Reihenfolge der Zwischenrechnungen siehst du im Rechenbaum: Dort rechnest du von oben nach unten. Hier ist die richtige Reihenfolge:

    • $12 : 4 = 3$ und $2 \cdot 7 = 14$
    • $3 + 7 = 10$ und $14-9 = 5$
    • $10:5=2$
    • $2 + 23 = 25$
    • $25:5=5$
  • Ordne jedem Term den passenden Rechenbaum zu.

    Tipps

    Vergleiche die Rechenzeichen im Innern der Klammern mit den Rechenzeichen an den oberen Verbindungen.

    Die Regel „Punktrechnung vor Strichrechnung“ bedeutet im Rechenbaum: Bei drei benachbarten Boxen mit Zahlen steht die Verbindung der Punktrechnung weiter oben im Baum als die Verbindung der Strichrechnung.

    Lösung

    Du gehst beim Erstellen eines Rechenbaums wie folgt vor:

    • Um den Rechenbaum zu einem komplizierten Term aufzustellen, schreibst du zuerst für jede Zahl in dem Term ein eigenes Kästchen. Ordne dabei die Kästchen in derselben Reihenfolge an wie die Zahlen in dem Term.
    • Dann beginnst du mit den inneren Klammern.
    • Stehen dort nur zwei Zahlen mit einem Rechenzeichen, so kannst du direkt eine Verbindung mit diesem Rechenoperator zeichnen und darunter ein Kästchen für das Zwischenergebnis vorsehen.
    • Stehen in der inneren Klammer mehr als zwei Zahlen mit Rechenzeichen, so musst du die Regel „Punktrechnung vor Strichrechnung“ beachten.
    • Wenn du die Verbindungen für die inneren Klammern gezeichnet hast, gehe weiter nach außen und beachte jeweils die Regel „Punktrechnung vor Strichrechnung“ und die Reihenfolge der Klammern.
    Zeichne für jeden Term einen eigenen Rechenbaum und vergleiche ihn mit der hier abgebildeten Zuordnung.

  • Berechne die Terme.

    Tipps

    Beachte die Regel: Punktrechnung vor Strichrechnung.

    Rechne zuerst die Terme in den Klammern aus.

    Den Term $2 \cdot 3 + 4$ rechnest du so aus: zuerst die Punktrechnung $2 \cdot 3 = 6$ und dann die Strichrechnung $6 + 4 = 10$.

    Lösung

    Beim Ausrechnen der Terme, sind zwei wichtige Regeln zu beachten:

    • Löse zuerst die Klammern auf, und zwar von innen nach außen.
    • Punktrechnung geht vor Strichrechnung.
    Wenn Du diese Regeln beachtest, findest du Folgendes heraus:

    Richtig sind diese Formeln:

    • $8 : 2 -1 = 3$. Du rechnest zuerst $8:2 = 4$ und dann $4-1=3$.
    • $(14+2):8=2$. Hier rechnest du zuerst $14+2=16$ und dann $16:8=2$.
    • $3 \cdot 5 - 2 = 13$. Hier geht die Punktrechnung $3 \cdot 5=15$ vor der Strichrechnung $15-2 =13$.
    • $(2+18):4=5$. Hier rechnest du zuerst $2+18=20$ und dann $20:4=5$.
    Falsch sind die folgenden Formeln:

    • $8+3 \cdot 6 = 66$. Tatsächlich ist nämlich $3 \cdot 6 = 18$ und $8 + 18 = 26$, also $8+3 \cdot 6 = 26$.
    • $3 \cdot (2+4) = 10$. Richtig wäre: $2+4=6$ und $3 \cdot 6 = 18$, also $3 \cdot (2+4) = 18$.
    • $3 \cdot 5 - 2 = 9$. Richtig rechnest du $3 \cdot 5 = 15$ und $15-2=13$, also $3 \cdot 5 - 2 = 13$.
  • Erschließe und berechne den Term.

    Tipps

    Die inneren Klammern entsprechen den obersten Verbindungen im Rechenbaum.

    Vergleiche die Rechenzeichen in den inneren Klammern mit den Zeichen an den oberen Verbindungen in dem Rechenbaum.

    Lösung

    Der Rechenbaum zu einem Term zeigt an, in welcher Reihenfolge du die Zwischenrechnungen durchführen musst. Die Konstruktion des Rechenbaums beginnt im Innern der Klammern. Die oberste Zeile des Rechenbaums entspricht den ersten Zwischenrechnungen, die du im Innern der Klammern durchführen musst. Dann gehst du Schritt für Schritt in dem Term weiter nach außen bzw. in dem Rechenbaum weiter nach unten.

    Hier ist die schrittweise Berechnung der Terme:

    Erster Rechenbaum:

    $\begin{array}{lll} (5 \cdot 3 + 6):(3+4) + 4 &=& (15 + 6):7 + 4 \\ &=& 21:7 + 4 \\ &=& 3+4 \\ &=& 7 \end{array}$

    Zweiter Rechenbaum:

    $\begin{array}{lll} ((5 -3 ) \cdot (6:3)+4): 4 &=& (2 \cdot 2 + 4):4 \\ &=& (4+4):4 \\ &=& 8:4 \\ &=& 2 \end{array}$

    Dritter Rechenbaum:

    $\begin{array}{lll} ((5+3 ) : 4 + 6) : 4 +3 &=& (8:4+6):4+3 \\ &=& (2+6):4+3 \\ &=& 8:4+3 \\ &=& 2+3 \\ &=& 5 \end{array}$

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