Parameter bei der Sinusfunktion

Parameter bei der Sinusfunktion Übung

• Beschreibe die Veränderungen der einzelnen Parameter auf die Sinusfunktion $f(x)=a\sin[b\cdot(x-d)]+e$.

  Tipps

  Die allgemeine Sinusfunktion lautet $f(x)=a\sin[b\cdot(x-d)]+e$

  Wenn wir in die Formel $f(x)=a\cdot\sin(x)$ den Parameter $a=2$ einsetzen, verändern sich die Funktionswerte. Die Funktionswerte sind nun zwischen $y=2$ und $y=-2$.

  Wenn wir in die Formel $f(x)=\sin(b\cdot x)$ den Parameter $b=2$ einsetzen, beschreibt die Funktion zwischen $x=0$ und $x=\pi$ eine komplette Schwingung.

  Wenn wir in die Formel $f(x)=\sin(x-d)$ den Parameter $d=\frac 1 2 \pi$ einsetzen, so hat die Funktion zwei Nullstellen bei $x=\frac 1 2 \pi$ und bei $x=1\frac 1 2 \pi$

  Wenn wir in die Formel $f(x)=\sin(x)+e$ den Parameter $e=1$ einsetzen, schwingt der Graph zwischen $y=2$ und $y=0$.

  Lösung

  Die allgemeine Sinusfunktion lautet $f(x)=a\cdot \sin \left[ b\cdot \left(x-d \right) \right] +e$.

  Der Parameter a beeinflusst die Schwingungsweite und Amplitude bei der Sinusfunktion. In der Akustik beeinflusst der Parameter a daher die Lautstärke.

  Der Parameter b beeinflusst die Periodendauer bzw. die Frequenz der Sinusfunktion. In der Akustik bedeutet das, dass durch unterschiedliche Frequenzen unterschiedliche Töne entstehen. Die Einheit für die Frequenz ist Hertz.

  Der Parameter d verursacht eine Phasenverschiebung. Die Sinusfunktion wird nach rechts (d>0) oder links (d<0) verschoben. In der Akustik spielt der Parameter d beim mehrstimmigen Gesang eine Rolle.

  Der Parameter e verschiebt die Sinusfunktion in y-Richtung. Wenn e größer als 0 ist, dann liegt eine Verschiebung nach oben vor und wenn e kleiner als 0 ist nach unten.

• Bestimme die Eigenschaften der Parameter auf den Funktionsgraphen der Sinusfunktion.

  Tipps

  Betrachte wieder die allgemeine Sinusfunktion $f(x)=a \cdot \sin \left[ b\cdot \left( x-d \right) \right]+e$.

  Vergiss nicht, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter haben.

  • Der Parameter $a$ verändert die Amplitude.
  • Der Parameter $b$ verändert die Periodendauer.
  • Der Parameter $d$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung.
  • Der Parameter $e$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.

  Lösung

  Die verschiedenen Parameter haben verschiedene Auswirkungen auf den Funktionsgraphen der Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$.

  • Der Graph wird in $y$-Richtung gestaucht, wenn gilt $a<1$ und $a>-1$. Sollte gelten $a>1$ oder $a<-1$, so wird der Graph in $y$-Richtung gestreckt.
  • Der Graph wird in $x$-Richtung gestaucht, wenn gilt $b>1$ oder $b<-1$. Er wird in $x$-Richtung gestreckt, sollte gelten $b<1 $ und $b>-1$.
  • Der Graph wird nach rechts verschoben, sollte gelten $d>0$ und nach links verschoben, sollte gelten $d<0$.
  • Der Graph wird nach oben verschoben, wenn gilt $e>0$ und nach unten, wenn gilt $e<0$.

• Bestimme, welche Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion verändert wurden.

  Tipps

  Hier kannst du die allgemeine Sinusfunktion ohne Koordinatengitter erkennen.

  Rufe dir wieder die einzelnen Veränderungen der Parameter ins Gedächtnis.

  • Der Parameter $a$ verändert die Amplitude.
  • Der Parameter $b$ verändert die Periodendauer.
  • Der Parameter $d$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung.
  • Der Parameter $e$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.

  Versuche zu erkennen, wie der Graph verändert wurde. So kannst du erkennen, welcher Parameter zum Einsatz gekommen ist.

  Suche anschließend das Diagramm, dass auch einen ähnlich veränderten Graphen hat.

  Schaue dir bei jedem Graphen die Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte an. Sind diese verschoben worden? Wenn ja, wohin?

  Lösung

  Wir suchen immer die Paare, bei denen der gleiche Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion $f(x)=a\cdot \sin \left[ b \cdot \left( x-d \right) \right] +e$ verändert worden ist.

  Es wurde der Parameter $a$ bei den Graphen verändert, die einmal ihren Hochpunkt bei $x=\frac14$ und einmal bei $x=4$ haben. Ein Graph wurde in $y$-Richtung gestreckt und der andere gestaucht.

  Das Paar mit der Veränderung des Parameters $b$ bestand aus den Graphen, die eine kürzere bzw. längere Periodenlänge besitzen. So ist einmal eine Periodenlänge erst bei $x=3\pi$ abgeschlossen und einmal wurde bei $x= \pi$ schon eine und eine halbe Periode durchlaufen. Der eine Graph wurde in $x$-Richtung gestaucht und der andere gestreckt.

  Die Graphen, die mit dem Parameter $e$ verändert wurden, sind einmal nach oben um $0{,}5$ und einmal unten um $1{,}5$ verschoben wurden. Die Periodenlänge und die Amplitude wurden dabei nicht verändert.

  Die Graphen, die mit dem Parameter $d$ verändert wurden, sind nach links bzw. rechts auf der $x$-Achse verschoben worden. Auch hier wurden die Periodenlänge und die Amplitude nicht verändert.

• Ermittle die richtigen Funktionsgleichungen der Graphen.

  Tipps

  Die allgemeine Sinusfunktion lautet $f(x)=a\sin[b\cdot(x-d)]+e$.

  • Der Parameter $a$ verändert die Amplitude.
  • Der Parameter $b$ verändert die Periodendauer.
  • Der Parameter $d$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung.
  • Der Parameter $e$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.

  Versuche zu erkennen, welcher Parameter den Graphen verändert hat. Sind die Amplituden in ihrer Größe verändert oder hat der Parameter $a$ die Funktionswerte verändert?

  Schaue dir bei jedem Graphen die Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte an. Sind diese verschoben worden? Wenn ja, wohin?

  Lösung

  Wir betrachten besonders die markanten Punkte der Graphen und schließen dann auf die entsprechende Verschiebung der Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$.

  Der erste Graph schwingt zwischen $y=3$ und $y=-3$. Hier wurde der Graph der Sinusfunktion in $y$-Richtung um $3$ Einheiten gestreckt. Damit ist der Parameter $a=3$ gegeben; wir ordnen die Funktionsgleichung $f(x)=3\cdot \sin(x)$ zu.

  Bei dem zweiten Graphen wurde die Periodenlänge verändert. Der Graph beschreibt zwischen $x=0$ und $x= \frac 1 2 \pi$ eine komplette Periode, anstatt wie sonst zwischen $x=0$ und $x=2\pi$. Das entspricht einer vierfachen Stauchung entlang der $x$-Achse. Damit ist $b=4$ ermittelt. Die Gleichung lautet dazu also $f(x)=\sin(4\cdot x)$.

  Bei dem dritten Funktionsgraphen ist eine Verschiebung der Sinusfunktion um $\frac 1 4 \pi$ nach rechts zu erkennen. Damit erhalten wir die Funktionsgleichung$f(x)=\sin(x-\frac 1 4 \pi)$

  Die letzte Funktionsgleichung ist am einfachsten. Hier wurde die Sinusfunktion um genau $2$ Einheiten nach unten verschoben. Damit erhalten wir die $f(x)=\sin(x)-2$.

• Benenne die allgemeine Sinusfunktion.

  Tipps

  Die normale Sinusfunktion hat die Funktionsgleichung $f(x)=\sin(x)$. Den Funktionsgraphen kannst du oben sehen.

  Es gibt vier Parameter $a$, $b$, $d$ und $e$ in der Formel. Sie treten nacheinander in der Formel auf.

  Lösung

  Die allgemeine Sinusfunktion lautet $f(x)=a\sin[b\cdot(x-d)]+e$.

  Vergiss nicht, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter haben.

  • Der Parameter $a$ verändert die Amplitude.
  • Der Parameter $b$ verändert die Periodendauer.
  • Der Parameter $d$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung.
  • Der Parameter $e$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.

• Leite ab, welche Parameter bei der Sinusfunktion verändert wurden.

  Tipps

  Die allgemeine Sinusfunktion lautet $f(x)=a\cdot \sin \left[ b \cdot \left( x-d \right) \right] +e$.

  • Der Parameter $a$ verändert die Amplitude.
  • Der Parameter $b$ verändert die Periodendauer .
  • Der Parameter $d$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung.
  • Der Parameter $e$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.

  Hier kannst du den Graphen der normalen Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ erkennen.

  Der Funktionsgraph wurde jeweils mit zwei Parametern verändert. Suche markante Punkte der Funktionsgraphen und ermittle, wie diese im Gegensatz zu der normalen Sinusfunktion durch die Parameter verändert wurden.

  Lösung

  Wir untersuchen die einzelnen Funktionsgraphen und die Veränderung der Parameter auf die normale Sinusfunktion.

  Der erste Graph wurde nach oben verschoben und die Amplitude wurde verändert. Also wurden die Parameter $a$ und $e$ verändert. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=2\cdot \sin(x) +2$.

  Der zweite Graph wurde nach oben und nach links verschoben. Somit wurden die Parameter $d$ und $e$ verändert. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)= \sin(x+\frac14 \pi) +1$.

  Der dritte Graph wurde nach unten verschoben und die Amplitude ist verkleinert worden. Somit wurden die Parameter $a$ und $e$ verändert. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=\frac12 \sin(x) -1$.

  Der vierte Graph wurde nach links verschoben und hat eine größere Amplitude. Somit wurden die Parameter $a$ und $d$ verändert. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=3\cdot \sin(x+\frac12 \pi)$.

  Der fünfte Graph wurde in $x$-Richtung gestreckt und nach rechts verschoben. Somit waren die Parameter $b$ und $d$ beteiligt. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=\sin \left[ \frac12 \left(x-\pi \right) \right]$.