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Oberfläche von zusammengesetzten Körpern 06:55 min

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Transkript Oberfläche von zusammengesetzten Körpern

Während einer glücklichen Nacht im Wunderland hat die Königin mal wieder einen ihrer berühmten Ausraster. Sie hat einen neuen Thron geliefert bekommen und er ist nicht rot! Sie ruft den verrückten Hutmacher, der dieses Problem sofort lösen soll. Aber wie viel Farbe wird er denn benötigen? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Oberfläche von zusammengesetzten Körpern berechnen. Die Oberfläche ist die Summe aller Flächeninhalte der Flächen, die einen Körper umschließen. Der Thron der Königin ist aus verschiedenen Körpern zusammengesetzt. Welche verschiedenen Körper kannst du entdecken? Wir finden einen Quader ein dreiseitiges Prisma und vier Zylinder. Lass uns zunächst den Quader betrachten. Dieser hat Seitenlängen von 25 dm mal 22 dm mal 4 dm. Grund- und Deckfläche sind Rechtecke mit dem Flächeninhalt 25 dm mal 22 dm. Das sind 550 Quadratdezimeter. Da wir diese Fläche zweimal haben, haben wir hier also 1100 Quadratdezimeter. Diese Fläche hier berechnen wir durch 22 dm mal 4 dm und wir erhalten 88 Quadratdezimeter. Auch diese Fläche haben wir zweimal, insgesamt sind das 176 Quadratdezimeter. Um diese Fläche des Quaders zu berechnen, multiplizieren wir 25 dm mit 4 dm und das sind 100 Quadratdezimeter. Mit der anderen flächengleichen Fläche sind das also 200 Quadratdezimeter. Nun müssen wir all diese Werte noch zusammenrechnen und erhalten so eine Oberfläche von 1476 Quadratdezimetern. Allgemein können wir die Oberfläche eines Quaders also mithilfe von 2 mal Länge mal Breite plus 2 mal Länge mal Höhe plus 2 mal Breite mal Höhe berechnen. Die Lehne des Throns ist in Form eines dreiseitigen Prismas. Die Vorder- und Rückseite sind gleichschenklige Dreiecke. Die Schenkel sind 39 dm lang und die Grundseite 30 dm. Die Höhe des Dreiecks ist 36 dm. Den Flächeninhalt berechnen wir durch ein Halb mal Grundseite mal Höhe. Also ein Halb mal 30 dm mal 36 dm und das sind 15 dm mal 36 dm, also 540 Quadratdezimeter. Weil wir bei dem Prisma zwei kongruente Dreiecke haben, benötigen wir das doppelte dieser Fläche, also 1080 Quadratdezimeter. Berechnen wir nun die Mantelfläche des Prismas, die aus drei Rechtecken zusammengesetzt ist. Um dies zu tun, stell dir einmal vor, dass das Prisma auf der Grundfläche, also einem der Dreiecke liegt. Wenn wir die Mantelfläche nun aufklappen, haben wir ein Rechteck mit einer Höhe von 3 dm. Die Länge des Prismas ist genauso lang, wie der Umfang des Dreiecks, also 108 dm. Um diesen Flächeninhalt zu berechnen, multiplizieren wir 108 dm mit 3 dm...und erhalten 324 Quadratdezimeter. Um die Oberfläche zu erhalten, addieren wir dies nun mit dem Flächeninhalt der beiden Dreiecke und erhalten 1404 Quadratdezimeter. Allgemein können wir die Oberfläche eines Prismas also in drei Schritten berechnen. Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt der Grundfläche und verdoppeln diesen. Dann finden wir den Umfang der Grundfläche und multiplizieren mit der Höhe, um den Flächeninhalt der Mantelfläche zu erhalten. Diese addieren wir dann und erhalten die Oberfläche des Prismas. Für die Oberfläche des Stuhls müssen wir noch die Stuhlbeine berücksichtigen. Da die Beine an der unteren Seite der Sitzfläche befestigt sind, sehen wir jeweils eine Grundfläche vom Zylinder nicht. Zusätzlich bedeckt jedes Stuhlbein eine kreisförmige Fläche des Quaders. Insgesamt müssen also beide Grundflächen des Zylinders nicht berücksichtigt werden. Daher reicht es, die Mantelfläche des Zylinders zu berechnen. Die Höhe des Zylinders ist 15 dm. Die kreisförmige Grundfläche hat einen Radius von 2 dm. Was ist also der Flächeninhalt der Grundfläche? Verwenden wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises pi mal r quadrat, so erhalten wir einen Flächeninhalt von 2pi Quadratdezimeter. Dies verdoppeln wir, um den Flächeninhalt der beiden kongruenten Kreise zu erhalten. Wie berechnen wir denn nun die Mantelfläche? Rollen wir die Mantelfläche auf, sehen wir, dass es sich um eine rechteckige Fläche mit einer Höhe von 15 dm handelt. Aber wie lang ist diese Seite? Sie ist so lang, wie der Umfang der Grundfläche. Erinnerst du dich daran, wie man den Umfang eines Kreises berechnet? Genau! 2 mal r mal pi, also in unserem Fall 2 mal 2dm mal pi und das sind 4 dm mal pi. Die Mantelfläche berechnen wir also durch 4 dm mal pi mal 15 dm und das sind 60 dm mal pi. Addieren wir dies zu dem Flächeninhalt der beiden Kreise, erhalten wir eine Oberfläche von 68 dm mal pi für einen der Zylinder. Um nun die Gesamtoberfläche des Throns zu finden, addieren wir alle einzelnen Oberflächen. 1476 Quadratdezimeter für den Quader plus 1404 Quadratdezimeter für das dreiseitige Prisma plus 4 mal die Mantelfläche des Zylinders, da wir vier gleichgroße Beine haben. Verwenden wir für pi 3,14 erhalten wir eine Gesamtoberfläche von 3633,6 Quadratdezimeter. Fassen wir das noch einmal zusammen. Für das Berechnen der Oberfläche des Quaders, des dreiseitigen Prismas und des Zylinders haben wir folgende Schritte durchgeführt: Zunächst haben wir den Flächeninhalt der Grundfläche berechnet und verdoppelt. Dann haben wir den Flächeninhalt eines Rechtecks...eines Dreiecks...und eines Kreises berechnet. Für den Quader haben wir noch weitere rechteckige Flächen gefunden und deren Flächeninhalt berechnet. Für das dreiseitige Prisma haben wir den Umfang der Grundfläche berechnet und diese mit der Höhe multipliziert, um die Mantelfläche zu erhalten. Diese verschiedenen Flächeninhalte haben wir dann addiert. Dabei müssen wir immer darauf achten, dass wir Flächen, die bedeckt werden, nicht berücksichtigen. Der verrückte Hutmacher konnte genug Farbe auftreiben, um ihren Thron zu streichen. Sieht doch perfekt aus, aber warte! Oh nein. Nun wird die Königin definitiv rot sehen!

4 Kommentare
  1. cool
    lg
    𝒸𝒴®
    𝒸𝒴®

    Von Yiren Y., vor 15 Tagen
  2. Hallo David Blauel, im Video ist es korrekt dargestellt. Du hast Recht, dass man mit diesen Flächen vorsichtig sein muss: Man muss sie zweimal abziehen: einmal die Oberseite des Zylinders, die an den Sitzquader grenzt und einmal die Fläche auf dem Sitzquader, die vom Stuhlbein verdeckt wird. Im Video wird das dadurch gelöst, dass nur die Mantelfläche des Zylinders genommen wird.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Monat
  3. Bitte nicht die Rechtschreibung beachten:
    Da ist ein klitzekleiner Fehler in der Berechnung der Oberfläche des Quaders:
    Von der Gesammtfläche des Quaders muss noch 4mal die Grundfläche derZylinder (Stuhlbeine) abgezogen werden, da diese auf dem Quader liegen.
    Oder liege ich da falsch?

    Von David Blauel, vor etwa einem Monat
  4. Echt gut gemacht nur wir rechnen in Mathe Unterricht anders

    Von Ana.Luisa, vor 2 Monaten

Oberfläche von zusammengesetzten Körpern Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Oberfläche von zusammengesetzten Körpern kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die allgemeinen Formeln zur Oberflächenberechnung.

    Tipps

    Für die Mantelfläche des Zylinders stellst du dir vor, dass du ihn aufrollst. Du erhältst dann ein Rechteck mit der Höhe $h$ des Zylinders und dem Umfang des Kreises als Breite.

    $M_\text{Zylinder}=h \cdot U_\circ=h \cdot 2 \cdot r \cdot \pi$

    Bei einem Quader müssen wir sechs Flächen betrachten, bei einem dreiseitigen Prisma sind es insgesamt fünf.

    Beachte, dass bei zusammengesetzten Körpern die Flächen, an denen die Körper befestigt werden, nicht zur Oberfläche zählen.

    Lösung

    Die folgenden Formeln sind korrekt:

    • $O_\text{Zylinder}= 2\cdot A_\circ + M_\text{Zylinder}= 2\cdot \pi \cdot r^2 + h \cdot 2 \cdot r \cdot \pi$
    Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus zwei Kreisen als Grund- und Deckfläche sowie der Mantelfläche zusammen.

    $G_\text{Prisma}= \frac 1 2 \cdot g_\Delta \cdot h_\Delta$

    Für die Grundseite eines dreiseitigen Prismas wird der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet.

    • $O_\text{Quader} = 2lb + 2lh + 2bh$
    Ein Quader hat $6$ Flächen. Die jeweils gegenüberliegenden sind kongruent. Das heißt, dass er nur drei Flächen berechnen muss (Länge $\cdot$ Breite, Länge $\cdot$ Höhe und Breite $\cdot$ Höhe), für die Oberfläche muss jedoch der Flächeninhalt von jeder dieser Flächen dann verdoppelt werden.

    Die folgenden Formeln sind falsch:

    • $O_\text{Prisma}= G_\text{Prisma}+2 M_\text{Prisma}$
    Bei einem dreiseitigen Prisma sind die Grund- und Deckfläche kongruente Dreiecke. Für die Oberfläche benötigt man also zweimal den Flächeninhalt dieses Dreiecks plus einmal die Mantelfläche.

    $O_\text{Prisma}= 2G_\text{Prisma}+M_\text{Prisma}$

    • $O_\text{Thron}= O_\text{Quader} + O_\text{Prisma} + 4\cdot O_\text{Zylinder}$
    Für den Thron addieren wir alle Oberflächen der einzelnen Körper zusammen. Dabei müssen wir jedoch beachten, welche Flächen nicht frei liegen. Da die Beine an der unteren Seite der Sitzfläche befestigt sind, sehen wir jeweils eine Grundfläche vom Zylinder nicht. Zusätzlich bedeckt jedes Stuhlbein eine kreisförmige Fläche des Quaders. Insgesamt müssen also beide Grundflächen des Zylinders nicht berücksichtigt werden. Daher wird nur die Mantelfläche des Zylinders mit einbezogen. Diese aber viermal, da wir vier Beine haben.

    $O_\text{Thron}= O_\text{Quader} + O_\text{Prisma} + 4\cdot M_\text{Zylinder}$

  • Gib die Fläche unterschiedlicher Körper, unter der Annahme $\pi \approx 3,14$, an.

    Tipps

    Für den Thron benötigst du vier zylinderförmige Beine. Da die Beine mit der Deckfläche an den Sitz geklebt werden, brauchst du hierfür keine Farbe zu berechnen.

    Für ein dreiseitiges Prisma berechnest du zunächst den Flächeninhalt der Deck- und Grundfläche. Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Fläche eines Dreiecks bestimmt man wie folgt:

    $A = \frac1 2 \cdot \text{Grundseite}\cdot \text{H}\ddot{\text{o}}\text{he}$.

    Die Breite der Mantelfläche eines Zylinders entspricht dem Umfang des Kreises. Diesen berechnest du mit:

    $U=2\cdot \text{Radius} \cdot \pi$

    Lösung

    Oberfläche Quader

    Der Quader hat Seitenlängen von $25 \text{ dm}$, $22 \text{ dm}$ und $4 \text{ dm}$. Die Grund- und Deckfläche sind Rechtecke mit dem Flächeninhalt: $25 \text{ dm} \cdot 22 \text{ dm}= 550 \text{ dm}^2$. Da wir diese Fläche zweimal haben, ergeben sich hier also: $2 \cdot 550 \text{ dm}^2= 1100 \text{ dm}^2$

    Die Seitenflächen vorne und hinten sind ebenfalls kongruent. Sie haben jeweils einen Flächeninhalt von $22 \text{ dm} \cdot 4 \text{ dm}=88\text{ dm}^2$, also ergeben sie insgesamt eine Fläche von $2 \cdot 88 \text{ dm}^2= 176 \text{ dm}^2$.

    Um die linke und rechte Seitenfläche des Quaders zu berechnen, gehen wir genauso vor: $2 \cdot 25\text{ dm} \cdot 4 \text{ dm}=2 \cdot 100 \text{ dm}^2=200 \text{ dm}^2$

    Zum Schluss müssen wir alle diese Werte noch addieren und erhalten eine Oberfläche für den Quader von $O_\text{Quader}=1476 \text{ dm}^2$.

    Oberfläche dreiseitiges Prisma:

    Die Vorder- und Rückseite dieses Prismas sind gleichschenklige Dreiecke, dessen Schenkel $s=39 \text{ dm}$ und Grundseite $g=30 \text{ dm}$ lang sind. Die Höhe $h$ auf der Grundseite beträgt $36 \text{ dm}$.

    Mit der Formel: $A_\Delta=\frac 12 \cdot g\cdot h$ berechnen wir wie folgt den Flächeninhalt des Dreiecks:

    $A_\Delta= \frac 12 \cdot 30 \text{ dm}\cdot 36 \text{ dm}=540 \text{ dm}^2$

    Da wir bei dem Prisma zwei kongruente Dreiecke haben, benötigen wir das Doppelte dieser Fläche, also folgt:

    $2 \cdot A_\Delta=2 \cdot 540 \text{ dm}^2 = 1080 \text{ dm}^2$

    Die Mantelfläche des Prismas ist aus drei Rechtecken zusammengesetzt. Wenn wir die Mantelfläche aufklappen, erhalten wir ein großes Rechteck mit einer Höhe von $3 \text{ dm}$, während die Länge dem Umfang des Dreiecks entspricht.

    $U_\Delta= 2\cdot s+g= 2\cdot 39 \text{ dm} + 30 \text{ dm}= 108 \text{ dm}$

    Somit erhalten wir für das Rechteck eine Fläche von $3\text{ dm} \cdot 108 \text{ dm}=324 \text{ dm}^2$

    Um die Oberfläche zu erhalten, addieren wir dies nun mit dem Flächeninhalt der beiden Dreiecke und erhalten $O_\text{Prisma}=1404 \text{ dm}^2$.

    Oberfläche Zylinder:

    Die Grund- und Deckfläche sind jeweils ein Kreis mit dem Radius $2 \text{ dm}$. Den Flächeninhalt berechnen wir mit:

    $A_\circ = \pi \cdot r^2= \pi \cdot (2 \text{ dm})^2=4\pi\text{ dm}^2$

    Da wir zwei Kreise haben, erhalten wir: $2\cdot 4\pi\text{ dm}^2= 8\pi\text{ dm}^2$

    Die Höhe des Zylinders beträgt $15 \text{ dm}$. Die kreisförmige Grundfläche hat einen Radius von $2\text{ dm}$. Klappt man die Mantelfläche auf, erhält man ein Rechteck mit der Höhe des Zylinders und einer Länge, die dem Kreisumfang entspricht. Diesen berechnen wir mit:

    $U_\circ=2\cdot r \cdot \pi = 2\cdot 2 \text{ dm} \cdot \pi = 4\pi \text{ dm}$

    Die Mantelfläche des Zylinders beträgt also:

    $M_\text{Zylinder}=4\pi \text{ dm} \cdot 15 \text{ dm} = 60 \pi \text{ dm}^2$

    Addieren wir die Mantelfläche zu dem Flächeninhalt der beiden Kreise, erhalten wir eine Oberfläche von $68 \pi \text{ dm}^2$ für einen der vier Zylinder.

    Zusammengesetzter Thron

    Für den Thron addieren wir alle Oberflächen der einzelnen Körper zusammen. Dabei müssen wir jedoch beachten, welche Flächen nicht frei liegen. Da die Beine an der unteren Seite der Sitzfläche befestigt sind, sehen wir jeweils eine Grundfläche vom Zylinder nicht. Zusätzlich bedeckt jedes Stuhlbein eine kreisförmige Fläche des Quaders. Insgesamt müssen also Grund- und Deckflächen der Zylinder nicht berücksichtigt werden. Daher wird nur die Mantelfläche des Zylinders mit einbezogen. Diese aber viermal, da wir vier Beine haben. Nehmen wir $\pi\approx 3,14$ an, erhalten wir folgende Oberfläche für den Thron:

    $O_\text{Thron}= O_\text{Quader} + O_\text{Prisma} + 4\cdot M_\text{Zylinder} \approx 3633,6 \text{dm}^2$

  • Ermittle die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

    Tipps

    Bei einem rechtwinkligen Dreieck $\Delta_{ABC}$ mit den Katheten $a$ und $b$ brauchst du für den Flächeninhalt die Höhe nicht extra berechnen. Die Katheten $a$ und $b$ stehen nämlich senkrecht aufeinander. Es gilt also $h_b=a$ sowie $h_a=b$. Für den Flächeninhalt folgt dann:

    $A= \frac12 a \cdot h_a = \frac12 a b$

    Lösung

    Oberfläche des Quaders: Tischplatte

    Die Tischplatte ist ein Quader, du kannst daher die folgende allgemeine Formel nutzen:

    • $O_\text{Quader}=2lh + 2bh +2 bl=2(lh+bh+bl)$
    Mit der Länge $l=120 \text{ cm}$, der Breite $b=80 \text{ cm}$ und der Höhe $h=4 \text{ cm}$ erhalten wir folgende Quaderoberfläche:

    $\begin{array}{lll} O_\text{Quader} &=& 2lh+ 2bh + 2 bl \\ &=& 2\cdot 120 \text{ cm}\cdot 4 \text{ cm} + 2\cdot 80 \text{ cm}\cdot 4 \text{ cm} +2 \cdot 80 \text{ cm} \cdot 120 \text{ cm} \\ &=& 20800 \text{ cm}^2\\ \end{array}$

    Oberfläche des Prismas: ein Tischbein

    Die Tischbeine sind jeweils dreiseitige Prismen mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche. Für die Oberfläche eines dreiseitigen Prismas gilt allgemein:

    • $O_\text{Prisma}= 2 G_\Delta + M_\text{Prisma}$
    Für den Flächeninhalt des Dreiecks brauchen wir keine Höhe berechnen. Da wir ein rechtwinkliges Dreieck haben, stehen die Katheten senkrecht aufeinander und bilden daher gegenseitig ihre jeweiligen Höhen. Die Katheten sind hier mit $3\text{cm}$ und $4\text{cm}$ gegeben:

    $G_\Delta=\frac 12 \cdot 3 \text{ cm} \cdot 4\text { cm}=6\text { cm}^2$

    Für die Mantelfläche des Prismas benötigen wir den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks:

    $U_\Delta= 3 \text{ cm} + 4\text { cm}+ 5\text { cm}= 12 \text { cm}$

    Diesen multiplizieren wir mit der Höhe des Prismas, um die rechteckige Mantelfläche zu erhalten:

    $M_\text{Prisma}=U_\Delta \cdot h_\text{Prisma} = 12 \text { cm} \cdot 75 \text { cm} = 900 \text { cm}^2$

    Es ergibt sich folgende Oberfläche ein Prisma:

    $O_\text{Prisma}= 2 G_\Delta + M_\text{Prisma}=2\cdot 6\text { cm}^2 +900 \text { cm}^2 = 912 \text { cm}^2$

    Oberfläche des Tischs

    Für den Tisch addieren wir die Oberfläche der Tischplatte zu den Mantelflächen der vier Tischbeine. Da die Beine an der Tischplatte befestigt sind, sind sowohl die Deckflächen der Tischbeine als auch die Befestigungsstellen an der Grundfläche des Quaders nicht zu sehen. Daher berücksichtigen wir bei der Berechnung Deck- und Grundfläche der Tischbeine nicht:

    $\begin{array}{lll} O_\text{Tisch} &=& O_\text{Quader} + 4 M_\text{Prisma} \\ &=& 20800 \text{ cm}^2 + 4\cdot 900 \text { cm}^2 \\ &=& 24400 \text{ cm}^2 \\ \end{array}$

  • Entscheide, wie groß die Oberflächen der Körper sind.

    Tipps

    Die Oberfläche eines Prismas bestimmst du mit $O_\text{Prisma}= M_\text{Prisma} + 2 G_\Delta$.

    Es gilt für die Fläche eines Kreises $A_{\circ}=\pi \cdot r^2$ und für den Umfang eines Kreises $U_{\circ}=2 \pi \cdot r$.

    Lösung

    Zylinder:

    • Mantelfläche
    Die Mantelfläche eines Zylinders kann man aufklappen. Man erhält ein Rechteck bei dem eine Seite die Höhe des Zylinders ist und die andere der Umfang des Kreises, der als Grundfläche dient.

    $\begin{align} M_\text{Zylinder} &= U_\circ \cdot h_\text{Zylinder} \\ &= 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h_\text{Zylinder} \\ &= 2 \cdot 3 \text{ cm} \cdot \pi \cdot 6\text{ cm} \\ &= 36 \pi \text{ cm}^2 \\ &\approx 113,1 \text{ cm}^2 \\ \end{align}$

    • Oberfläche
    Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus der Mantelfläche und der Flächeninhalte der beiden kongruenten Kreise als Deck- und Grundfläche zusammen.

    $\begin{align} O_\text{Zylinder}&= M_\text{Zylinder} + 2 G_\circ \\ &= M_\text{Zylinder} + 2\cdot r^2 \cdot \pi \\ &= M_\text{Zylinder} + 2\cdot (3 \text{ cm})^2 \cdot \pi \\ &= 36 \pi \text{ cm}^2 + 18 \pi \text{ cm}^2 \\ &= 54 \pi \text{ cm}^2 \\ &\approx 169,65 \text{ cm}^2 \\ \end{align}$

    Prisma:

    • Mantelfläche
    Die Mantelfläche eines Prismas besteht aus drei Rechtecken. Klappt man sie auf, erhält man ein großes Rechteck bei dem eine Seite die Höhe des Prismas entspricht und die andere der Umfang des Dreiecks, das als Grundfläche dient.

    $\begin{align} M_\text{Prisma} &= U_\Delta \cdot h_\text{Prisma} \\ &= (4,8 \text{ cm} + 3,9 \text{ cm} + 3,9\text{ cm}) \cdot 6 \text{ cm} \\ &= 12,6 \text{ cm} \cdot 6\text{ cm} \\ &=75,6 \text{ cm}^2 \\ \end{align}$

    • Oberfläche
    Die Oberfläche eines Prismas setzt sich aus der Mantelfläche und der Flächeninhalte der beiden kongruenten Dreiecke als Deck- und Grundfläche zusammen.

    $\begin{align} O_\text{Prisma}&= M_\text{Prisma} + 2 G_\Delta \\ &= M_\text{Prisma} + 2 \cdot \frac 1 2 g\cdot h_g \\ &= M_\text{Prisma} + 4,8\text{ cm}\cdot 3\text{ cm} \\ &= 75,6 \text{ cm}^2 + 14,4 \text{ cm}^2 \\ &= 90 \text{ cm}^2 \\ \end{align}$

    Zusammengesetzter Körper: Der Körper besteht aus dem Prisma und dem Zylinder, wobei sie an der Grundfläche das Prismas verbunden sind, daher muss für das Prisma nur die Mantelfläche genutzt werden.

    $\begin{align} O_\text{Gesamt}&=O_\text{Zylinder}+ M_\text{Prisma} \\ &\approx 169,65 \text{ cm}^2 +75,6 \text{ cm}^2 \\ &\approx 245,25 \text{ cm}^2 \\ \end{align}$

  • Ergänze die Tabelle zur Berechnung der Oberfläche des Quaders.

    Tipps

    Bei einem Quader sind immer die beiden gegenüberliegenden Seitenflächen kongruent, also deckungsgleich. Für die Gesamtoberfläche brauchst du also nur drei unterschiedliche Flächen des Quaders berechnen und diese dann jeweils verdoppeln.

    Bei diesem Quader haben die Grund- und Deckfläche jeweils einen Flächeninhalt von:

    $A= 3 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm}= 15 \text{ cm}^2$.

    Lösung

    Der Quader hat eine Länge von $25 \text{ dm}$, eine Breite von $22 \text{ dm}$ und eine Höhe von $4 \text{ dm}$. Die Grund- und Deckfläche sind Rechtecke mit dem Flächeninhalt:

    $A= 25 \text{ dm} \cdot 22 \text{ dm}= 550 \text{ dm}^2$

    Da wir diese Fläche oben und unten, also insgesamt zweimal haben, ergeben sich hier also:

    $2 \cdot 550 \text{ dm}^2= 1100 \text{ dm}^2$

    Die Flächen vorne und hinten berechnen wir wie folgt:

    $A= 22 \text{ dm} \cdot 4 \text{ dm}= 88 \text{ dm}^2$

    Auch diese Fläche haben wir zweimal, insgesamt erhalten wir also $176 \text{ dm}^2$.

    Um die linke und rechte Fläche des Quaders zu berechnen, multiplizieren wir die Breite mit der Höhe, also folgt:

    $A= 25 \text{ dm} \cdot 4 \text{ dm}= 100 \text{ dm}^2$

    Mit der anderen deckungsgleichen Fläche sind das also $200 \text{ dm}^2$.

    Zum Schluss müssen wir alle diese Werte noch addieren und erhalten so eine Oberfläche von $1476 \text{ dm}^2$.

  • Bestimme die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

    Tipps

    Für die Mantelfläche des Kegels gilt: $M_\text{Kegel}= \pi \cdot \text{Radius} \cdot \text{Seitenh}\ddot{\text{o}}\text{he}$

    Lösung

    Der Grundbaustein des Turms ist ein ausgehöhlter Zylinder mit der Höhe $6 \text{cm}$ und dem Radius $4 \text{cm}$. Bedenke, dass wir hier mit $\pi=3,14$ rechnen. Für die Außenseite berechnen wir die Mantelfläche des großen Zylinders:

    $\begin{align} M_\text{Zylinder (außen)}&=2\cdot r_\text{außen} \cdot \pi \cdot h_\text{Zylinder}\\ &=2\cdot 4 \text{cm} \cdot \pi \cdot 6 \text{cm} \\ &=150,72 \text{cm}^2 \\ \end{align}$

    Genauer mit nicht vereinfachtem $\pi$: $150,80\text{ cm}^2$.

    Für die Innenseite berechnen wir die Mantelfläche des kleinen Zylinders, der ausgehöhlt wurde.

    $\begin{align} M_\text{Zylinder (innen)}&=2\cdot r_\text{innen} \cdot \pi \cdot h_\text{Zylinder}\\ &=2\cdot 3 \text{ cm} \cdot \pi \cdot 6 \text{ cm} \\ &=113,04 \text{ cm}^2\\ \end{align}$

    Genauer mit nicht vereinfachtem $\pi$: $113,10\text{ cm}^2$.

    Da der Kegel auf die Deckfläche gesetzt wird und so diese Fläche sowohl auf dem Kegel als auch auf dem Zylinder nicht zu sehen ist, brauchen wir die Grund- und Deckfläche nicht berechnen.

    Der Kegel ist nicht ausgehöhlt und die Fläche an der die Körper zusammengesetzt wurden, wurde schon beim Zylinder abgezogen daher benötigen wir die gesamte Oberfläche vom Kegel.

    Für die Grundfläche gilt:

    $\begin{align} G_\circ&= (r_\text{außen})^2 \cdot \pi \\ &= (4 \text{ cm} )^2 \cdot \pi \\ &=50,24 \text{ cm}^2 \\ \end{align}$

    Genauer mit nicht vereinfachtem $\pi$: $50,27\text{ cm}^2$.

    Für die Mantelfläche des Kegels braucht man die Seitenhöhe und den Radius:

    $\begin{align} M_\text{Kegel} &= \pi \cdot \text{Radius} \cdot \text{Seitenh}\ddot{\text{o}}\text{he} \\ &= \pi \cdot r_\text{außen} \cdot s \\ &= \pi \cdot 4 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm} \\ &= 87,92 \text{ cm}^2 \\ \end{align}$

    Genauer mit nicht vereinfachtem $\pi$: $87,96\text{ cm}^2$.

    Jenny braucht also Farbe für eine Fläche von $150,72 \text{ cm}^2 +113,04 \text{ cm}^2+50,24 \text{ cm}^2+87,92 \text{ cm}^2=401,92\text{ cm}^2$.

    Genauer mit nicht vereinfachtem $\pi$: $402,12\text{ cm}^2$.