Lineare Funktionen – Graphen

Lineare Funktionen – Graphen Übung

• Ergänze die Erklärung zum Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion.

  Tipps

  Berechne zu verschiedenen $x$ das $y$ und trage die Punkte $(x|y)$ in ein Koordinatensystem ein.

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet:

  $y=m\cdot x+b$.

  Lösung

  Gegeben sei die Funktion $y=\frac13x$.

  Hier ist

  • $m=\frac13$ und
  • $b=0$.

  Wie sieht der Graph einer solchen Funktion aus?

  Zu einigen $x$ können die $y$ berechnet und in ein Koordinatensystem gezeichnet werden.

  Man kann erkennen, dass das Verhältnis von $x$ zu $y$ immer gleich ist.

  Wenn man die Punkte miteinander verbindet, erhält man eine Gerade, welche in dem Bild zu erkennen ist.

• Gib an, wie die Gerade zu $y=\frac13x+2$ aus der zu $y=\frac13x$ entsteht.

  Tipps

  Berechne zu einigen $x$ das zugehörige $y$.

  Trage die so erhaltenen Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte miteinander.

  Bei $y=\frac13x$ ist $b=0$.

  Wie sieht $b$ bei

  $y=\frac13x+2$

  aus?

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet

  $y=m\cdot x+b$.

  Lösung

  Hier in dem Bild ist zu erkennen, wie die rote Gerade zu

  $y=\frac13x+2$

  aus der blauen zu

  $y=\frac13x$

  hervorgeht:

  Es wird zu jedem Funktionswert der zweiten Funktion $2$ addiert. Anschaulich bedeutet das, dass die Gerade um $2$ Einheiten nach oben verschoben wird.

• Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion $y=-0,5x+3$.

  Tipps

  Setze das entsprechende $x$ in der Funktionsgleichung ein.

  Zum Beispiel ist für $x=4$ $y=-0,5\cdot 4+3=1$.

  Hier ist $m=-0,5$ und $b=3$.

  Lösung

  Die vollständige Wertetabelle ist hier zu sehen.

  Es wird jeweils der Wert für $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt:

  • $x=-1$: $y=-0,5\cdot(-1)+3=3,5$
  • $x=0$: $y=-0,5\cdot0+3=3$
  • $x=1$: $y=-0,5\cdot1+3=2,5$
  • $x=2$: $y=-0,5\cdot2+3=2$
  • $x=3$: $y=-0,5\cdot3+3=1,5$

• Entscheide, welche der Geraden der Funktionsgraph zu $y=-0,5x+3$ ist.

  Tipps

  Ganz allgemein lautet die Gleichung einer linearen Funktion

  $y=m\cdot x+b$.

  Setze in der allgemeinen Gleichung für $x=0$ ein:

  $y=m\cdot 0+b=b$.

  Was bedeutet das?

  Lösung

  Mithilfe einer Wertetabelle

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&3,5&3&2,5&2&1,5 \end{array}$

  kann der Funktionsgraph gezeichnet werden.

  Dieser ist in dem Bild zu erkennen.

  Alle Geraden, welche nicht durch $(0|3)$, den sogenannten y-Achsenabschnitt verlaufen, können bereits ausgeschlossen werden. Dies sind die rote, die hellblaue und die gelbe Gerade.

  Alle übrigen stimmen in dem $y$-Wert für $x=0$ überein.

  Um die tatsächliche Gerade herauszufinden, benötigt man (mindestens) einen weiteren Punkt. Diesen kann man der Wertetabelle entnehmen und erhält, dass die grüne Gerade zu der oben angegebenen Gleichung gehört.

• Beschreibe, wie der Graph einer linearen Funktion verläuft.

  Tipps

  Berechne zum Beispiel für die Funktion

  $y=2x-2$

  die Werte zu $x=-1$, $x=0$ sowie $x=1$.

  Trage die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde diese.

  Bei einer linearen Funktion ist der höchste Exponent der Variablen $x$ $1$.

  Lösung

  Der Funktionsgraph jeder linearen Funktion ist eine Gerade.

  Diese kann man in ein Koordinatensystem zeichnen, indem man zu verschiedenen $x$ den Funktionswert der linearen Funktion $y=m\cdot x+b$ berechnet und den Punkt $(x|y)$ in das Koordinatensystem zeichnet.

  Die eingezeichneten Punkte werden miteinander verbunden und man erhält eine Gerade.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Schaue dir die folgenden Beispiele an:

  1. $y=3x-4$,
  2. $y=3x+1$ sowie
  3. $y=2x+4$.

  Setze in der allgemeinen Gleichung einer linearen Funktion $x=0$ ein. Was erhältst du?

  Wie lautet ein beliebiger Punkt auf der y-Achse und wie einer auf der x-Achse?

  Lösung

  Seien $2$ Funktionsgleichungen gegeben

  1. $y=m\cdot x+b_1$ sowie
  2. $y=m\cdot x+b_2$,

  dann unterscheiden sich die Funktionswerte immer durch den gleichen Summanden. Das heißt, wenn man auf die eine Gleichung etwas addiert, so erhält man die andere. Die zugehörigen Geraden entstehen aus der jeweils anderen durch eine parallele Verschiebung nach oben oder unten. Die Geraden sind also parallel zueinander.

  Wenn man in der allgemeinen Gleichung $y=mx+b$ für $x=0$ einsetzt, erhält man

  $y=m\cdot 0+b=b$.

  Der Punkt $(0|b)$ liegt auf der y-Achse. Dies ist der sogenannte y-Achsenabschnitt.

  Um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu erhalten, muss $y=0$ sein. Dies führt zu der Gleichung

  $0=m\cdot x+b$.

  Durch Subtraktion von $b$ sowie anschließender Division durch $m\neq 0$ erhält man $x=-\frac bm$.