Lineare Funktionen – Geraden sind linear

Lineare Funktionen – Geraden sind linear Übung

• Gib dein Wissen zu linearen Funktionen wieder.

  Tipps

  Wenn eine Gerade der Graph einer linearen Funktion sein soll, so muss sie die y-Achse schneiden.

  Die y-Achse kann auch im Koordinatenursprung geschnitten werden. Welche spezielle lineare Funktion bekommst du dann?

  Eine Gerade kann steigend oder fallend sein. Welche der beiden Parameter $b$ und $m$ hat darauf einen Einfluss?

  Lösung

  Wie sieht die Gleichung einer linearen Funktion aus?

  Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die eine Funktionsgleichung der Form $y=m\cdot x+b$ hat.

  Dabei ist

  • $m$ die Steigung und
  • $b$ der y-Achsenabschnitt.

  Wenn $b=0$ ist, so handelt es sich um eine proportionale Funktion.

  Allgemein ergeben sich die Graphen von linearen Funktionen durch parallele Verschiebung der Graphen von proportionalen Funktionen.

• Bestimme die Steigungen der proportionalen Funktion.

  Tipps

  Alle diese Geraden gehören zu proportionalen Funktionen:

  Die Gleichung einer proportionalen Funktion lautet $y=m\cdot x$.

  Wenn die Steigung $m$ positiv ist, steigt die Gerade. Ist $m$ negativ, fällt die Gerade.

  Je größer der Betrag von $m$ ist, desto steiler verläuft die Gerade.

  Bei einer Steigung von $m=4$ gehst du mit jeder Einheit in positive x-Richtung vier Einheiten in positive y-Richtung.

  Lösung

  Dies sind die Graphen von vier linearen Funktionen. Da sie alle durch den Koordinatenursprung gehen, gehören sie zu proportionalen Funktionen.

  Die Geraden (1) bis (3) steigen verschieden stark an; die Gerade (4) fällt.

  Der Faktor $m$ vor der Variablen $x$ in der Funktionsgleichung

  $y=m\cdot x+b$

  steht für die Steigung.

  • Bei (1) ist die Steigung am größten: $m=2$,
  • bei (2) ist sie $m=1$,
  • bei (3) $m=0,5$.
  • Da die Gerade (4) fällt, ist die Steigung $m=-0,3$.

  Beachte: Die Steigungen $m=5$ und $m=10$ sind viel zu groß und können keiner der Geraden zugeordnet werden.

• Entscheide, ob die Graphen zu linearen Funktionen gehören.

  Tipps

  Die Gleichung einer linearen Funktion lautet

  $y=m\cdot x+b$.

  Dabei steht

  • $m$ für die Steigung und
  • $b$ für den y-Achsenabschnitt.

  Wenn $b=0$ ist, verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung.

  Dann handelt es sich um eine proportionale Funktion.

  Eine der Geraden gehört zu einer proportionalen Funktion.

  Beachte, dass jedem x-Wert ein eindeutiger y-Wert zugeordnet werden muss. Sonst handelt es sich um keine Funktion.

  Lösung

  In diesem Bild sind vier Geraden zu sehen. Nicht jede dieser Geraden gehört zu einer linearen Funktion. Woran kann man erkennen, ob eine Gerade zu einer linearen Funktion gehört?

  Sie muss die y-Achse einmal schneiden. Dies tun die Geraden (1), (2) und (3). Die Gerade (3) ist sogar eine Ursprungsgerade und damit der Graph einer proportionalen Funktion.

  Die Gerade (4) verläuft durch $x=2$ parallel zur y-Achse. Das heißt zu $x=2$ gehören unendlich viele $y$-Werte. Dies widerspricht der Definition einer Funktion.

• Prüfe die Aussagen zu Geraden und Funktionen.

  Tipps

  Zeichne dir verschiedene Geraden in ein Koordinatensystem und prüfe, ob und wenn ja welche Aussagen stimmen können, oder wo der Fehler liegen könnte.

  Nicht zu jeder Geraden gehört eine lineare Funktionsgleichung.

  Die Gleichung einer linearen Funktion lautet

  $y=m\cdot x+b$.

  Dabei steht

  • $m$ für die Steigung und
  • $b$ für den y-Achsenabschnitt.

  Wenn $b=0$ ist, liegt eine proportionale Funktion vor.

  Lösung

  Eine Gerade kann entweder

  • der Graph einer linearen Funktion oder
  • der Graph einer proportionalen Funktion oder
  • keines von beiden sein.

  Der Graph einer proportionalen Funktion verläuft durch den Koordinatenursprung. Das bedeutet, dass $b=0$ ist.

  Jede Gerade zu einer linearen Funktion lässt sich durch eine parallele Verschiebung des Graphen einer proportionalen Funktion herleiten. Die Steigung von parallelen Geraden stimmen also überein; die y-Achsenabschnitte sind hingegen verschieden.

• Beschreibe, wann eine Gerade der Graph einer linearen Funktion ist.

  Tipps

  Eine Funktion muss eindeutig sein. Das bedeutet, dass zu einem $x$-Wert nicht mehr als ein $y$-Wert gehören kann.

  Zu einer der beiden Achsen darf der Graph einer linearen Funktion parallel sein.

  Wie verläuft der Graph einer konstanten Funktion? Dies ist eine spezielle lineare Funktion.

  Lösung

  Nicht jede Gerade im Koordinatensystem ist der Graph einer linearen Funktion. Man kann sich überlegen, welche Geraden keine Graphen zu linearen Funktionen sind:

  • Wenn eine Gerade parallel zur y-Achse verläuft, so gibt es einen x-Wert unendlich viele y-Werte. Dies widerspricht der Definition einer Funktion. Somit darf die Gerade nicht parallel zur y-Achse verlaufen.

  • Sie darf sehr wohl parallel zur x-Achse verlaufen; dies wäre eine konstante Funktion.

  • Wenn die y-Achse im Koordinatenursprung geschnitten wird, so handelt es sich um den Graphen einer proportionalen Funktion, eine spezielle lineare Funktion.

  Insgesamt kann man festhalten, dass jede Gerade, die die y-Achse genau einmal schneidet, der Graph einer linearen Funktion ist.

• Stelle die Eigenschaften verschiedener Geraden gegenüber.

  Tipps

  Du kannst dir zwei Lineale nehmen und diese für die betrachteten Geraden im Koordinatensystem hernehmen.

  Zwei Geraden im Koordinatensystem können entweder

  • parallel zueinander sein oder
  • identisch oder
  • sich schneiden.

  Wie hängen die Steigung und der y-Achsenabschnitt mit der Lagebeziehung der Geraden zusammen?

  Lösung

  Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet

  $y=m\cdot x+b$.

  Zwei Geraden im Koordinatensystem können entweder

  • parallel zueinander sein; d.h. es gibt keinen Schnittpunkt.
  • identisch; es gibt unendlich viele Schnittpunkte.
  • sich schneiden; d.h. es gibt genau einen Schnittpunkt.

  In den ersten beiden Fällen stimmen die Steigungen $m$ überein. Wie unterscheidet man die Parallelität von der Identität? Bei der Identität stimmt zusätzlich noch der y-Achsenabschnitt $b$ überein.

  Wenn die Steigungen nicht übereinstimmen, schneiden sich die Geraden.

  Also können Geraden entweder

  • keine oder unendlich viele gemeinsame Punkte haben bei übereinstimmender Steigung oder
  • einen, wenn die Steigungen verschieden sind.