Lineare Funktionen – Geraden sind linear

Grundlagen zum Thema Lineare Funktionen – Geraden sind linear
Es gibt Geraden im Koordinatensystem, welche nicht zu den Koordinatenachsen parallel sind. Die Geraden sind alle Graphen linearer Funktionen. Warum? Hast du eine Vermutung? Wir wollen dir zeigen, dass eine Gerade, welche die y- Achse schneidet immer der Graph einer linearen Funktion ist. Du solltest bereits wissen, was lineare Funktionen sind und wie man diese definiert. Des Weiteren wäre es von Vorteil, wenn du die allgemeine Funktionsgleichung von proportionalen und linearen Funktion kennen würdest. Viel Spaß!
Lineare Funktionen – Geraden sind linear Übung
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Gib dein Wissen zu linearen Funktionen wieder.
TippsWenn eine Gerade der Graph einer linearen Funktion sein soll, so muss sie die y-Achse schneiden.
Die y-Achse kann auch im Koordinatenursprung geschnitten werden. Welche spezielle lineare Funktion bekommst du dann?
Eine Gerade kann steigend oder fallend sein. Welche der beiden Parameter $b$ und $m$ hat darauf einen Einfluss?
LösungWie sieht die Gleichung einer linearen Funktion aus?
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die eine Funktionsgleichung der Form $y=m\cdot x+b$ hat.
Dabei ist
- $m$ die Steigung und
- $b$ der y-Achsenabschnitt.
Allgemein ergeben sich die Graphen von linearen Funktionen durch parallele Verschiebung der Graphen von proportionalen Funktionen.
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Bestimme die Steigungen der proportionalen Funktion.
TippsAlle diese Geraden gehören zu proportionalen Funktionen:
Die Gleichung einer proportionalen Funktion lautet $y=m\cdot x$.
Wenn die Steigung $m$ positiv ist, steigt die Gerade. Ist $m$ negativ, fällt die Gerade.
Je größer der Betrag von $m$ ist, desto steiler verläuft die Gerade.
Bei einer Steigung von $m=4$ gehst du mit jeder Einheit in positive x-Richtung vier Einheiten in positive y-Richtung.
LösungDies sind die Graphen von vier linearen Funktionen. Da sie alle durch den Koordinatenursprung gehen, gehören sie zu proportionalen Funktionen.
Die Geraden (1) bis (3) steigen verschieden stark an; die Gerade (4) fällt.
Der Faktor $m$ vor der Variablen $x$ in der Funktionsgleichung
$y=m\cdot x+b$
steht für die Steigung.
- Bei (1) ist die Steigung am größten: $m=2$,
- bei (2) ist sie $m=1$,
- bei (3) $m=0,5$.
- Da die Gerade (4) fällt, ist die Steigung $m=-0,3$.
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Entscheide, ob die Graphen zu linearen Funktionen gehören.
TippsDie Gleichung einer linearen Funktion lautet
$y=m\cdot x+b$.
Dabei steht
- $m$ für die Steigung und
- $b$ für den y-Achsenabschnitt.
Wenn $b=0$ ist, verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung.
Dann handelt es sich um eine proportionale Funktion.
Eine der Geraden gehört zu einer proportionalen Funktion.
Beachte, dass jedem x-Wert ein eindeutiger y-Wert zugeordnet werden muss. Sonst handelt es sich um keine Funktion.
LösungIn diesem Bild sind vier Geraden zu sehen. Nicht jede dieser Geraden gehört zu einer linearen Funktion. Woran kann man erkennen, ob eine Gerade zu einer linearen Funktion gehört?
Sie muss die y-Achse einmal schneiden. Dies tun die Geraden (1), (2) und (3). Die Gerade (3) ist sogar eine Ursprungsgerade und damit der Graph einer proportionalen Funktion.
Die Gerade (4) verläuft durch $x=2$ parallel zur y-Achse. Das heißt zu $x=2$ gehören unendlich viele $y$-Werte. Dies widerspricht der Definition einer Funktion.
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Prüfe die Aussagen zu Geraden und Funktionen.
TippsZeichne dir verschiedene Geraden in ein Koordinatensystem und prüfe, ob und wenn ja welche Aussagen stimmen können, oder wo der Fehler liegen könnte.
Nicht zu jeder Geraden gehört eine lineare Funktionsgleichung.
Die Gleichung einer linearen Funktion lautet
$y=m\cdot x+b$.
Dabei steht
- $m$ für die Steigung und
- $b$ für den y-Achsenabschnitt.
Wenn $b=0$ ist, liegt eine proportionale Funktion vor.
LösungEine Gerade kann entweder
- der Graph einer linearen Funktion oder
- der Graph einer proportionalen Funktion oder
- keines von beiden sein.
Jede Gerade zu einer linearen Funktion lässt sich durch eine parallele Verschiebung des Graphen einer proportionalen Funktion herleiten. Die Steigung von parallelen Geraden stimmen also überein; die y-Achsenabschnitte sind hingegen verschieden.
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Beschreibe, wann eine Gerade der Graph einer linearen Funktion ist.
TippsEine Funktion muss eindeutig sein. Das bedeutet, dass zu einem $x$-Wert nicht mehr als ein $y$-Wert gehören kann.
Zu einer der beiden Achsen darf der Graph einer linearen Funktion parallel sein.
Wie verläuft der Graph einer konstanten Funktion? Dies ist eine spezielle lineare Funktion.
LösungNicht jede Gerade im Koordinatensystem ist der Graph einer linearen Funktion. Man kann sich überlegen, welche Geraden keine Graphen zu linearen Funktionen sind:
- Wenn eine Gerade parallel zur y-Achse verläuft, so gibt es einen x-Wert unendlich viele y-Werte. Dies widerspricht der Definition einer Funktion. Somit darf die Gerade nicht parallel zur y-Achse verlaufen.
- Sie darf sehr wohl parallel zur x-Achse verlaufen; dies wäre eine konstante Funktion.
- Wenn die y-Achse im Koordinatenursprung geschnitten wird, so handelt es sich um den Graphen einer proportionalen Funktion, eine spezielle lineare Funktion.
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Stelle die Eigenschaften verschiedener Geraden gegenüber.
TippsDu kannst dir zwei Lineale nehmen und diese für die betrachteten Geraden im Koordinatensystem hernehmen.
Zwei Geraden im Koordinatensystem können entweder
- parallel zueinander sein oder
- identisch oder
- sich schneiden.
Wie hängen die Steigung und der y-Achsenabschnitt mit der Lagebeziehung der Geraden zusammen?
LösungDie Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet
$y=m\cdot x+b$.
Zwei Geraden im Koordinatensystem können entweder
- parallel zueinander sein; d.h. es gibt keinen Schnittpunkt.
- identisch; es gibt unendlich viele Schnittpunkte.
- sich schneiden; d.h. es gibt genau einen Schnittpunkt.
Wenn die Steigungen nicht übereinstimmen, schneiden sich die Geraden.
Also können Geraden entweder
- keine oder unendlich viele gemeinsame Punkte haben bei übereinstimmender Steigung oder
- einen, wenn die Steigungen verschieden sind.

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5 Kommentare
Martin Wabnik du musst lauter reden...
die Hintergrund Beleuchtung ist komisch
Das Videeo war ganz gut..
Beschweren kann man sich da eher weniger!
Alle Macht Konoha
-Shikamaru
Dummes Kommentar
hoffe es war nicht schwer den punkt dann wieder auszuwaschen ;)