Lineare Funktionen – Funktionen vergleichen

Lineare Funktionen – Funktionen vergleichen Übung

• Beschreibe, wie die beiden Geraden zueinander liegen.

  Tipps

  Die allgemeine Darstellung einer linearen Funktionsgleichung lautet

  $y=mx+b$.

  Dabei ist

  • $m$ die Steigung und
  • $b$ der y-Achsenabschnitt.

  Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$.

  Wenn du eine zu einer linearen Funktionsgleichung gehörende Gerade zeichnen möchtest, trägst du den y-Achsenabschnitt ab und von dort aus konstruierst du ein Steigungsdreieck.

  Lösung

  Eine lineare Funktionsgleichung ist gegeben durch

  $y=mx+b$,

  dabei ist

  • $m$ die Steigung und
  • $b$ der y-Achsenabschnitt der Funktion.

  Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Wie kann man prüfen, welche Lage zwei Geraden zueinander haben?

  Am Beispiel der Funktionen

  • $y=2x+3$ und
  • $y=2x+1$.

  Hier kann man erkennen, dass die Steigungen übereinstimmen, die y-Achsenabschnitte jedoch nicht.

  Das bedeutet, dass die Geraden parallel zueinander sind, jedoch nicht identisch. Wenn sie identisch wären, müssten zusätzlich noch die y-Achsenabschnitte übereinstimmen.

• Zeige auf, dass die Geraden der beiden linearen Funktionsgleichungen parallel zueinander liegen, allerdings nicht identisch sind.

  Tipps

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet

  $y=mx+b$.

  Dabei ist

  • $m$ die Steigung und
  • $b$ der y-Achsenabschnitt.

  Die beiden Geraden sind

  • parallel, wenn die Steigungen übereinstimmen und
  • identisch, wenn zusätzlich auch die y-Achsenabschnitte übereinstimmen.

  Die untere Gleichung muss noch auf die Form einer linearen Funktion gebracht werden.

  Lösung

  Bei der oberen Gleichung muss man die Reihenfolge der Addition vertauschen und den einen Bruch kürzen und man erhält

  $y=\frac72x+\frac32$.

  Bei der unteren Gleichung ist etwas mehr Aufwand nötig:

  $\begin{align*} -2y+7x-3&=0&\vert&+2y~~~\vert \text{und die beiden Seiten vertauschen}\\ 2y&=7x-3&\vert&:2\\ y&=\frac72x-\frac32. \end{align*}$

  Nun kann man erkennen, dass beide Funktionen die Steigung $\frac72$ haben. Das bedeutet, die zugehörigen Geraden sind parallel.

  Da die y-Achsenabschnitte nicht übereinstimmen, sind die Geraden nicht identisch.

• Entscheide, welche der Geraden parallel oder identisch sind oder sich schneiden.

  Tipps

  Der Faktor vor dem $x$ ist die Steigung:

  Zeichne die Geraden zu

  • $y=3x-4$ und
  • $y=3x+1$

  in ein gemeinsames Koordinatensystem.

  Der Term, welcher allein steht, ist der y-Achsenabschnitt:

  Zeichne die Geraden zu

  • $y=3x+3$ sowie
  • $y=2x+3$

  in ein gemeinsames Koordinatensystem.

  Lösung

  Zu der zu der linearen Funktion

  • $y=-2x+4$

  gehörenden Geraden

  • sind alle Geraden zu Funktionen mit der Steigung $-2$ parallel.
  • ist die Gerade zu der Funktion $y=-2x+4$ identisch.

  Die Gerade zu der obigen Funktion schneidet alle Geraden zu den Funktionen mit dem gleichen y-Achsenabschnitt $4$ auf der y-Achse.

• Charakterisiere die jeweilige lineare Funktionsgleichung bei gegebener Lage der Geraden zueinander.

  Tipps

  Stimmen die Steigungen zweier Funktionen überein, dann sind die zugehörigen Geraden parallel zueinander.

  Stimmen zusätzlich noch die y-Achsenabschnitte überein, dann sind die Geraden identisch.

  Stimmt nur der y-Achsenabschnitt überein, dann schneiden sich die zugehörigen Geraden auf der y-Achse.

  Lösung

  Alle Geraden zu Funktionen der Form $y=mx-4$ schneiden die der Funktion $y=\frac12x-4$ auf der y-Achse.

  Alle Geraden zu Funktionen der Form $y=-5x+b$ sind parallel zu der der Funktion $y=-5x+7$.

  Die einzige Funktion, deren Gerade identisch zu der der Funktion $y=3x-7$ ist, lautet $y=3x-7$.

• Gib an, wann zwei Geraden zu linearen Funktionsgleichungen identisch sind.

  Tipps

  Es ist $y=mx+b$.

  Durch $m$ ist die Steigung gegeben, welche mithilfe eines Steigungsdreiecks eingezeichnet wird.

  Zeichne dir die Geraden zu

  • $y=2x+3$
  • $y=2x+1$
  • $y=2x+3$
  • $y=x+3$
  • $y=x+4$

  mit verschiedenen Farben in ein gemeinsames Koordinatensystem und schaue dir die jeweiligen Lagen der Geraden von zwei Gleichungen zueinander an.

  Überlege dir, welche verschiedenen Lagen Geraden zueinander haben können:

  • sie können parallel sein,
  • sie können identisch sein,
  • sie können sich auf der y-Achse schneiden und
  • sie können sich in einem Punkt schneiden, welcher nicht auf der y-Achse liegt.

  Lösung

  Seien zwei lineare Funktionen

  • $y=m_1x+b_1$ sowie
  • $y=m_2x+b_2$

  gegeben, dann sind folgende Fälle möglich:

  • $m_1=m_2$ und $b_1\neq b_2$, dann sind die Geraden parallel, aber nicht identisch.
  • $m_1=m_2$ und $b_1= b_2$, dann sind die Geraden identisch.
  • $m_1\neq m_2$ und $b_1= b_2$, dann schneiden die Geraden sich auf der y-Achse.
  • $m_1 \neq m_2$ und $b_1\neq b_2$, dann schneiden die Geraden sich in einem Punkt, welcher nicht auf der y-Achse liegt.

• Prüfe die Lage der Geraden zu den Funktionsgleichungen.

  Tipps

  Forme die Gleichungen jeweils so um, dass sie in der Form

  $y=mx+b$

  vorliegen.

  Vergleiche die Steigungen miteinander: Sind diese identisch?

  • Falls ja, sind die Geraden parallel oder sogar identisch.
  • Falls nein, schneiden die Geraden sich.

  Vergleiche die y-Achsenabschnitte miteinander. Sind diese identisch?

  • Falls ja, und zusätzlich die Steigungen noch identisch sind, sind die Geraden identisch.
  • Falls ja, schneiden sich die Geraden bei verschiedenen Steigungen auf der y-Achse.
  • Falls nein, sind die Geraden bei gleichen Steigungen parallel.
  • Falls nein, schneiden sich die Geraden bei verschiedenen Steigungen in einem Punkt, welcher nicht auf der y-Achse liegt.

  Lösung

  Die folgenden Lagen sind möglich:

  1. Die Geraden sind parallel (aber nicht identisch),
  2. die Geraden sind identisch oder
  3. die Geraden schneiden sich auf der y-Achse.
  4. Die Geraden können sich noch in einem Punkt schneiden, welcher nicht auf der y-Achse liegt. Dieser Fall wird in dieser Übung nicht betrachtet.

  Um die Lage der Geraden zueinander zu überprüfen, werden die Gleichungen zunächst umgeformt:

  $\begin{align*} 3y-9x+12&=0&|&+9x&|&-12\\ 3y&=9x-12&|&:3\\ y&=3x-4 \end{align*}$

  Hier ist $m=3$ und $b=-4$.

  Ebenso wird die untere Gleichung umgeformt:

  $\begin{align*} 2x+2y&=-8&|&-2x\\ 2y&=-2x-8&|&:2\\ y&=-x-4 \end{align*}$

  Hier ist $m=-1$ und $y=-4$.

  Die y-Achsenabschnitte stimmen überein und die Steigungen sind verschieden. Das bedeutet, dass die Geraden sich auf der y-Achse schneiden. Dies ist der 3. (dritte) Fall.