Laplace-Experimente – Tombola – Aufgabe 2

Laplace-Experimente – Tombola – Aufgabe 2 Übung

• Beschreibe den Zufallsversuch und berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

  Tipps

  Beachte, dass es sich hier um ein Laplace-Experiment handelt. Das bedeutet, dass jedes der Ergebnisse der Grundmenge die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

  Wenn bei einem Laplace-Experiment die Anzahl der Elemente der Grundmenge $n$ ist, so hat jedes Ergebnis $e$ die Wahrscheinlichkeit

  $P(e)=\frac1n$.

  Verwende die Formel nach Laplace bei einem Laplace-Experiment:

  $P(A)=\frac{|A|}{|G|}=\frac{\text{Anzahl aller f}\ddot{\text{u}}\text{r } A \text{ g}\ddot{\text{u}}\text{nstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}$.

  Lösung

  Das oben dargestellte Zufallsexperiment, das einmalige Ziehen einer Zahl, ist ein Laplace-Experiment. Das bedeutet, dass jedes Ergebnis $e$ der Grundmenge die gleiche Wahrscheinlichkeit hat:

  $P(e)=\frac1{90}$.

  Das liegt daran, dass sich in der Grundmenge $G=\{1;2;...;90\}$ genau $90$ Ergebnisse befinden.

  Da es insgesamt $9$ Trostpreise gibt, gibt es $90-9=81$ Lose, deren Ziehung nicht zu einem Trostpreis führen.

  Damit ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeit:

  $P($kein Trostpreis$)=\frac{81}{90}=\frac9{10}=0,9$.

  Dabei verwendest du zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ die Laplace-Formel:

  $P(A)=\frac{|A|}{|G|}=\frac{\text{Anzahl aller f}\ddot{\text{u}}\text{r } A \text{ g}\ddot{\text{u}}\text{nstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}$.

• Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „mehr als ein Trostpreis“.

  Tipps

  Beachte: „Mehr als ein Trostpreis“ ist entweder der Hauptgewinn oder ein zweiter Gewinn.

  Es gilt die Formel nach Laplace bei einem Laplace-Experiment:

  $P(A)=\frac{|A|}{|G|}=\frac{\text{Anzahl aller f}\ddot{\text{u}}\text{r } A \text{ g}\ddot{\text{u}}\text{nstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}$.

  Die Grundmenge ist $G=\{1;2;...;90\}$.

  Lösung

  Bei Laplace-Experimenten kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ mit der Formel nach Laplace berechnet werden:

  $P(A)=\frac{|A|}{|G|}=\frac{\text{Anzahl aller f}\ddot{\text{u}}\text{r } A \text{ g}\ddot{\text{u}}\text{nstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}$.

  Hier ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „mehr als ein Trostpreis“ gesucht.

  Du musst dir also vor Augen führen, wie viele Ergebnisse in diesem Ereignis liegen. Da es $14$ Gewinne gibt, von denen $9$ Trostpreise sind, bleiben $14-9=5$ Gewinne, die kein Trostpreis sind.

  Also befinden sich in dem Ereignis „mehr als ein Trostpreis“ insgesamt $5$ Ergebnisse.

  Wie viele Ergebnisse sind möglich? Richtig: $90$.

  Schließlich kannst du wie folgt rechnen:

  $P($„mehr als ein Trostpreis“$)=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0,0\bar5\approx 0,0556$.

• Ermittle die Wahrscheinlichkeiten des jeweiligen Ereignisses.

  Tipps

  Es sind insgesamt $50$ Lose in der Trommel.

  Überlege dir zu jedem der angegebenen Ereignisse, wie viele Lose dieses erfüllen.

  Schaue dir an, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass man mindestens einen zweiten Preis erhält.

  • Das Ereignis, dass man mindestens einen zweiten Preis erhält, bedeutet, dass man entweder einen der zweiten Preise oder den Hauptgewinn zieht.
  • Das sind insgesamt drei Lose.
  • Damit ist $P($mindestens einen zweiten Preis$)=\frac3{50}=\frac6{100}=0,06$.

  Lösung

  Bei jedem der oben angegebenen Ereignisse dividierst du die Anzahl der Elemente in dem Ereignis durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

  Es ist $G=\{1;2;...;50\}$ und $|G|=50$ die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

  Nun kannst du zu jedem der oben angegebenen Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit berechnen.

  • Es gibt genau einen Hauptgewinn, also ist $P($Hauptgewinn$)=\frac1{50}=\frac2{100}=0,02$.
  • Es gibt $12$ Trostpreise, also ist $P($Trostpreis$)=\frac{12}{50}=\frac{24}{100}=0,24$.
  • Es gibt $20$ Gewinne, also $30$ Nieten. Damit ist $P($kein Gewinn$)=\frac{30}{50}=\frac{60}{100}=0,6$.
  • Es gibt gesamt $20$ Gewinne. Von diesen sind $12$ Trostpreise, also $20-12=8$ mehr als ein Trostpreis. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit berechnen: $P($mehr als Trostpreis$)=\frac8{50}=\frac{16}{100}=0,16$.

• Leite die Anzahl der Lose für den jeweiligen Gewinn her.

  Tipps

  Wenn du die Anzahl der entsprechenden Lose kennst, zum Beispiel $60$, kannst du die Wahrscheinlichkeit so berechnen:

  $\frac{60}{300}=0,2$.

  Wenn du die Anzahl nicht kennst, musst du die folgende Gleichung bei gegebener Wahrscheinlichkeit $w$ nach $l$ umformen:

  $\frac{l}{300}=w$.

  Schaue dir das folgende Beispiel an. Die Wahrscheinlichkeit für einen vierten Preis sei $0,42$. Dann gilt:

  $\frac{l}{300}=0,42$.

  Multipliziere nun mit $300$. Dies führt zu $l=126$.

  Die Anzahl der Nieten erhältst du, wenn du von der Gesamtzahl der Lose die der Gewinnlose subtrahierst.

  Lösung

  Jedes Los hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden.

  Deshalb erhältst du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem du die Anzahl der Elemente in diesem Ereignis durch die in der Grundmenge dividierst.

  Ist umgekehrt die Wahrscheinlichkeit bekannt, kannst du die unbekannte Anzahl der Elemente des Ereignisses berechnen, indem du die resultierende Gleichung umstellst.

  Sei $l$ die unbekannte Anzahl, $n$ die Anzahl der Elemente in der Grundmenge und $w$ die Wahrscheinlichkeit. Dann gilt:

  $\frac ln=w$.

  Diese Gleichung kann durch Multiplikation mit $n$ zur äquivalenten Gleichung $l=w\cdot n$ umgeformt werden.

  In diesem Beispiel ist $n=300$.

  • Für den Hauptgewinn ist $w=0,05$. Damit ist die Anzahl der Lose mit einem Hauptgewinn $l = 0,05\cdot 300=14$.
  • Für einen zweiten Preis beträgt die Wahrscheinlichkeit $0,12$. So ergibt sich die Anzahl $l = 0,12\cdot 300=36$.
  • Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit für einen dritten Preis $0,3$. Nun kann auch diese Anzahl berechnet werden: $l = 0,3\cdot 300=90$.

  Insgesamt gibt es also $15+36+90=141$ Gewinnlose und somit $300-141=159$ Nieten.

• Gib an, wie groß die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bei einem Laplace-Experiment ist.

  Tipps

  Das Werfen einer Münze ist ein Zufallsexperiment, da nicht vorhersehbar ist, ob Kopf oder Zahl oben liegen wird.

  Insbesondere liegt ein Laplace-Experiment vor.

  Es gilt $P($Kopf$)=P($Zahl$)=0,5$.

  Es gibt durchaus Zufallsexperimente, die keine Laplace-Experimente sind. Wenn du zum Beispiel dieses Glücksrad drehst und die Ergebnisse Rot, Blau und Grün betrachtest, kannst du feststellen:

  • $P($Rot$)=\frac25=P($Blau$)$
  • $P($Grün$)=\frac15$

  Da die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich groß sind, liegt kein Laplace-Experiment vor.

  Lösung

  Ein Laplace-Experiment ist zunächst einmal ein Zufallsexperiment. Das bedeutet, dass der Ausgang dieses Experimentes nicht vorhersehbar ist.

  Was ist nun das Besondere an einem Laplace-Experiment?

  Schaue dir das Werfen einer perfekten Münze an. Sowohl Kopf als auch Zahl, die beiden Seiten einer Münze, werden mit der Wahrscheinlichkeit $0,5$ geworfen. Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment.

  Allgemein gilt: Bei einem Laplace-Experiment hat jedes Ergebnis der Ergebnis- oder auch Grundmenge die gleiche Wahrscheinlichkeit.

  Das bedeutet, dass du die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses erhältst, indem du $1$ durch die Anzahl der Elemente der Grundmenge dividierst.

  Sei zum Beispiel $G=\{1;2;...;90\}$ und die Anzahl der Elemente in dieser Menge $90$, dann ist für jedes Ergebnis $e$ aus dieser Menge $P(e)=\frac1{90}$.

• Bestimme die jeweilige Anzahl der Ergebnisse in dem Ereignis und berechne damit die Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Es gibt insgesamt $36$ geordnete Zahlenpaare.

  Überlege dir jeweils, welche Augenpaare die genannte Summe ergeben.

  Die Anzahl der Paare mit der Augensumme $3$ beträgt $2$. Diese sind $(1|2)$ sowie $(2|1)$. Ebenso viele Paare haben die Augensumme $11$.

  Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine solche Augensumme zu erzielen, beträgt $\frac2{36}=\frac1{18}$.

  Lösung

  Zunächst schauen wir uns an, welche geordneten Zahlenpaare möglich sind: $G=\{(1|1);...;(1|6);(2|1);...;(2|6);...;(6|1);...;(6|6)\}$.

  Dies sind insgesamt $|G|=36$ solcher Paare.

  Nun müssen wir noch zu jeder Summe der Augenzahlen die entsprechenden Ergebnisse notieren und die Anzahl bestimmen. Diese dividieren wir durch $36$.

  • Augensumme $2$: Dies ist das Paar $(1|1)$. Die Augensumme $12$ wird ebenfalls nur durch ein Paar (nämlich $(6|6)$) erreicht. Die jeweilige Wahrscheinlichkeit ist $\frac1{36}$.
  • Augensumme $4$: Diese ergibt sich durch die Paare $(1|3)$, $(2|2)$ sowie $(3|1)$. Es gibt also insgesamt $3$ Möglichkeiten. Die Augensumme $10$ wird ebenfalls durch $3$ Paare erreicht. So ergibt sich die Wahrscheinlichkeit $\frac3{36}=\frac1{12}$.
  • Augensumme $5$: Diese ergibt sich durch die Paare $(1|4)$, $(2|3)$, $(3|2)$ sowie $(4|1)$. Es gibt also insgesamt $4$ Möglichkeiten. Die Augensumme $9$ wird ebenfalls durch $4$ Paare erreicht. Hier ergibt sich die Wahrscheinlichkeit $\frac4{36}=\frac1{9}$.
  • Augensumme $7$: Diese ergibt sich durch die Paare $(1|6)$, $(2|5)$, $(3|4)$, $(4|3)$, $(5|2)$ sowie $(6|1)$. Es gibt also insgesamt $6$ Möglichkeiten. So kannst du die Wahrscheinlichkeit $\frac6{36}=\frac16$ berechnen.