Baumdiagramme – Einführung

Baumdiagramme – Einführung Übung

• Beschreibe das Rechnen mit Baumdiagrammen.

  Tipps

  Die Anzahl der Stufen eines Baumdiagramms entspricht der Anzahl der Stufen des Zufallsversuchs.

  Bei jedem Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses $\frac{1}{2}$.

  Die Anzahl der Äste auf der ersten Stufe des Baumdiagramms entspricht der Anzahl der Ergebnisse des einmaligen Münzwurfes.

  Lösung

  Ein Baumdiagramm veranschaulicht einen mehrstufigen Zufallsversuch. Jeder Ast des Baumdiagramms stellt ein Ergebnis einer Stufe dar. Ein Pfad im Baumdiagramm repräsentiert ein Gesamtergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs. Die Wahrscheinlichkeit eines Gesamtergebnisses, also eines Pfades, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Äste längs des Pfades. Beim Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit jedes der beiden Ergebnisse $\frac{1}{2}$. Das gilt auch auf jeder einzelnen Stufe des mehrstufigen Zufallsversuchs, der im mehrmaligen Münzwurf besteht.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.“

  • „Wirft man eine Münze dreimal, so hat bei jedem einzelnen Wurf jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$.“

  • „Bei dreimaligem Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses „keine Zahl“ genauso groß wie die des Ergebnisses „kein Bild“.“

  • „Wirft man eine Münze dreimal, so hat jedes Ergebnis des dreistufigen Zufallsversuchs die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$.“

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Ein dreistufiges Zufallsexperiment mit je zwei Ergebnissen auf jeder Stufe hat $2 \cdot 3 = 6$ Ergebnisse.“ Auf jeder neuen Stufe multipliziert sich die Zahl der Ergebnisse der neuen Stufe mit der Zahl aller Ergebnisse der vorigen Stufen. Jeder Münzwurf hat zwei Ergebnisse. Wirfst du eine Münze dreimal, so musst du die Anzahl der Ergebnisse eines Münzwurfs dreimal mit sich selbst multiplizieren und erhältst so $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$ Ergebnisse.

  • „Die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Münzwurf das Ergebnis „dreimal Zahl“ zu erhalten, ist $\frac{1}{9}$.“ Die Wahrscheinlichkeit des Gesamtergebnisses, das aus „dreimal Zahl“ besteht, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse „Zahl“ der einzelnen Stufen. Jedes Ergebnis „Zahl“ einer Stufe hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$, daher ist die Wahrscheinlichkeit des Gesamtergebnisses „dreimal Zahl“ $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

  • „Das Baumdiagramm für einen dreimaligen Münzwurf hat auf der ersten Stufe genau drei Äste, weil es ein dreistufiges Zufallsexperiment beschreibt.“ Die Anzahl der Äste auf der ersten Stufe ist die Anzahl der Ergebnisse des einstufigen Zufallsversuchs, nicht die Anzahl der Stufen. Beim Münzwurf ist die Anzahl der Ergebnisse zwei, da eine Münze genau zwei Seiten hat.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Jedes Ergebnis des einmaligen Würfelwurfs hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

  Das Ergebnis, bei zweimaligem Würfeln zweimal eine $6$ zu würfeln, hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{36}$.

  Lösung

  In dem Baumdiagramm im Bild sind die einzelnen Ergebnisse jedes Würfelns zu den beiden Ereignissen „eine $6$“ und „keine $6$“ zusammengefasst. Jede einzelne Augenzahl eines Würfelwurfs hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich $\frac{1}{6}$. Die Ergebnisse der Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$ ergeben zusammen das Ereignis „keine $6$“. Dessen Wahrscheinlichkeit ist daher $\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} =\frac{5}{6}$.

  Im Baumdiagramm siehst du links den ersten Würfelwurf mit den beiden möglichen Ausgängen „eine $6$“ und „keine $6$“. Auf jeden der beiden möglichen Ausgänge folgen zwei mögliche Ausgänge des zweiten Würfelwurfes, nämlich wieder „eine $6$“ und „keine $6$“. Jeder Ast, der zu dem Ausgang „eine $6$“ gehört, trägt die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$, jeder Ausgang „keine $6$“ die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{6}$.

  Die Gesamtergebnisse des zweimaligen Würfelwurfes werden durch die Pfade des Baumdiagramms repräsentiert. Die Wahrscheinlichkeit eines Gesamtergebnisses, also eines Pfades, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Daher hat der Pfad mit den Ausgängen „keine $6$“ und „keine $6$“ die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$. Jeder Pfad mit „eine $6$“ und „keine $6$“ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{36}$. Der Pfad, auf dem zweimal „eine $6$“ vorkommt, hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

  Zur Probe kannst du noch die Wahrscheinlichkeiten aller Gesamtergebnisse addieren: $\frac{25}{36} + \frac{5}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{36} = \frac{36}{36} = 1$. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade eines Baumdiagramms muss nämlich immer $1$ ergeben.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Bei einem Baumdiagramm zum zweimaligen Würfeln mit den Ergebnissen „eine $6$“ und „keine $6$“ tragen die Äste die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{6}$ und $\frac{5}{6}$, das Gesamtergebnis „genau eine $6$“ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{36}$.

  Auf jeder Stufe ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die aus derselben Verzweigung hervorgehen, $1$.

  Jeder Pfad des Baumdiagramms repräsentiert ein Gesamtergebnis des Zufallsversuchs.

  Lösung

  Mit einem Baumdiagramm kannst du die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsversuchs übersichtlich darstellen. Jede Stufe des Baumdiagramms entspricht einer Stufe des Zufallsversuchs. Die Äste der ersten Stufe entsprechen den Ergebnissen der ersten Stufe des Zufallsversuchs. Jeder Ast verzweigt sich beim Übergang zur nächsten Stufe des Zufallsversuchs. Die Anzahl der neuen Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, entspricht der Anzahl der Ergebnisse der nächsten Stufe des Zufallsversuchs.

  Jedes Ergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs wird durch einen Pfad im Baumdiagramm dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, also aller Pfade, ist $1$. Ebenso ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, stets $1$. Denn diese Äste entsprechen den Ergebnissen einer Stufe des Zufallsversuchs.

  So findest du folgende Sätze:

  • Die Anzahl der Äste auf der letzten Stufe eines Baumdiagramms... ist die Anzahl der Gesamtergebnisse des mehrstufigen Zufallsversuches.

  • Die Anzahl der Verzweigungen auf jeder Stufe eines Baumdiagramms... ist die Anzahl der Ergebnisse dieser Stufe des Zufallsversuchs.

  • Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades... ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.

  • Die Wahrscheinlichkeit eines Astes... addiert sich mit den Wahrscheinlichkeiten der anderen Äste, die aus derselben Verzweigung hervorgehen, zu $1$.

  • Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade eines Baumdiagramms... ist $1$.

• Erschließe, bei welchen Darstellungen es sich um korrekte Baumdiagramme handelt.

  Tipps

  Das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit, die rechts neben dem Ende des Pfades steht.

  Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einer Verzweigung ausgehen, addieren sich zu $1$.

  Manchmal erfordert eine Aufgabenstellung nicht das komplette Baumdiagramm. In solch einem Fall, zeichnet man nur den Teil des Baumdiagramms, der für das Lösen der Aufgabe nötig ist. So ein Baumdiagramm heißt reduziertes Baumdiagramm.

  Lösung

  Bei einem Baumdiagramm stellen die Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, die Ergebnisse eines Zufallsversuchs dar. Die Äste der ersten Stufe (ganz links im Baumdiagramm) entsprechen den Ergebnissen der ersten Stufe eines mehrstufigen Zufallsversuchs. Jeder Pfad stellt ein Gesamtergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs dar.

  Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, ist stets $1$. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Äste dieses Pfades. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade eines Baumdiagramms ist ebenfalls $1$.

  In den Bildern sind einige Wahrscheinlichkeiten inkonsistent. Entweder stimmt die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Äste aus einer Verzweigung nicht, oder das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Äste stimmt nicht mit der Wahrscheinlichkeit des Pfades überein.

  Folgende Bilder sind falsch bezeichnet:

  • Ein einstufiges Baumdiagramm trägt die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{4}$ an den Ästen. Aber $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12} \neq 1$.

  • Auf einem Bild siehst du von einem Baumdiagramm die erste Stufe mit den Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$. Die zweite Stufe des Baumdiagramms trägt die analogen Bezeichnungen. Die Gesamtergebnisse tragen die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{4}$ bzw. $\frac{1}{5}$ (jeweils zweimal). Die Summe der Wahrscheinlichkeiten jeder einzelnen Stufe ist falsch, denn $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq 1$. Außerdem sind die Wahrscheinlichkeiten der Pfade nicht das Produkt der Wahrscheinlichkeiten ihrer Äste, denn $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \neq \frac{1}{5}$.

  • Auf einem Bild siehst du einen Pfad aus einem Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{6}$ an den Ästen. Die Wahrscheinlichkeit des Pfades ist mit $\frac{2}{6}$ bezeichnet, die ist aber nicht dasselbe wie $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$.

• Beschrifte das Diagramm.

  Tipps

  Das Diagramm im Bild sieht aus wie ein auf der Seite liegender Baum, darum heißt es...

  Ein Ereignis ist aus mehreren Ergebnissen zusammengesetzt.

  Ein Ergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs wird durch einen Pfad im Baumdiagramm dargestellt.

  Lösung

  Das Diagramm im Bild nennt man Baumdiagramm, weil es ein wenig wie ein auf der Seite liegender Baum aussieht. Jede Stufe von Verzweigungen stellt eine Stufe des Zufallsversuchs dar. Die einzelnen Striche, die die Verzweigungspunkte miteinander verbinden, heißen Äste des Baumdiagramms. Ein Weg, der auf jeder Stufe einen Ast enthält und von der Wurzel links bis zur Krone rechts führt, heißt Pfad des Baumdiagramms. Jeder Pfad repräsentiert ein Ergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Bei einem mehrstufigen Zufallsversuchs ist die Anzahl der Gesamtergebnisse das Produkt der Anzahlen der Ergebnisse der einzelnen Stufen.

  Lösung

  Ein Baumdiagramm stellt einen mehrstufigen Zufallsversuch dar. Jeder Stufe des Zufallsversuchs entspricht eine Stufe des Baumdiagramms. Jeder Ast des Baumdiagramms entspricht einem Ergebnis einer Stufe des Zufallsversuchs. Jeder Pfad entspricht einem Gesamtergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einer Verzweigung ausgehen, ist $1$. Das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Äste eines Pfades ist die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades stets kleiner als jede Wahrscheinlichkeit eines Astes dieses Pfades. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ist $1$. Die Anzahl der Pfade ist das Produkt der Anzahlen der Ergebnisse aller einzelnen Stufen des Zufallsversuchs.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste einer Stufe eines Baumdiagramms ist die Anzahl der Äste der vorhergehenden Stufe.“ An jeder Verzweigung addieren sich die Wahrscheinlichkeiten der neuen Äste zu $1$. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Äste einer Stufe ist daher die Anzahl der Äste der vorhergehenden Stufe.

  • „Die Anzahl der Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments ist das Produkt der Ergebnisanzahlen der einzelnen Stufen.“ Mit jeder neuen Stufe multipliziert sich die Anzahl der Gesamtergebnisse der vorhergehenden Stufe um den Faktor der Anzahl der Ergebnisse der neuen Stufe. Hat der Zufallsversuch auf jeder Stufe $2$ Ergebnisse, so ist die Anzahl der Gesamtergebnisse auf der ersten Stufe $2$, auf der zweiten Stufe $2 \cdot 2 = 4$, auf der dritten Stufe $4 \cdot 2 = 8$ usw.

  • „Die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Pfades ist kleiner als die Einzelwahrscheinlichkeiten längs des Pfades, wenn jede Einzelwahrscheinlichkeit größer $0$ und kleiner $1$ ist.“ Jede Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses liegt zwischen $0$ und $1$. Das Produkt zweier solcher Zahlen ist kleiner als jeder der Faktoren.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Auf jeder Stufe eines Baumdiagramms nimmt die Anzahl der Äste um die Anzahl der Ergebnisse dieser Stufe zu.“ Stattdessen wird die Anzahl der Äste der vorigen Stufe jeweils mit der Anzahl der neuen Stufe multipliziert.

  • „Die Wahrscheinlichkeiten eines Pfades eines Zufallsexperiments ist der Kehrwert der Anzahl aller Pfade.“ Hat bei einem Zufallsexperiment jeder Pfad dieselbe Wahrscheinlichkeit, so stimmt die Aussage. Fasst man aber z. B. das Würfeln zu den beiden Ergebnissen „eine $6$“ und „keine $6$“ zusammen, so haben diese Äste jeweils die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{6}$ und $\frac{5}{6}$. Verschiedene Pfade im Baumdiagramm haben daher im Allgemeinen verschiedene Wahrscheinlichkeiten.