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Zufallszahlen

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Team Digital
Zufallszahlen
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Grundlagen zum Thema Zufallszahlen

Inhalt

Was ist eine Zufallszahl? – Mathematik

Bei einem Würfelspiel entscheidet der Zufall, ob man die gewünschte Zahl erhält oder eben nicht. Würde man aus dem Würfeln ein Experiment machen, würde man bei den gewürfelten Zahlen von Zufallszahlen sprechen. Im folgenden Text werden Zufallszahlen einfach erklärt.


Was sind gleichverteilte Zufallszahlen? – Definition

Schauen wir uns zunächst einmal an, was wir unter dem Begriff Zufallszahlen verstehen. Die Definition für Zufallszahlen lautet:

  • Eine Zufallszahl ist ein Ergebnis spezieller Zufallsexperimente.

Beim einmaligen Würfelwurf haben wir die Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$. Die möglichen Ergebnisse notieren wir als:

$\Omega = \lbrace 1; 2; 3; 4; 5; 6 \rbrace$

Wie wird eine Zufallszahl berechnet? Die Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$ sind beim Würfeln also Zufallszahlen, weil wir nicht vorhersehen können, welche Zahl geworfen wird. Diese Zufallsereignisse treten alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein. Diese beträgt bei allen $\frac{1}{6}$ und wird mit einem $p$ angegeben.

$p = \frac{1}{6}$

  • Da die Zahlen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, nennt man sie auch gleichverteilte Zufallszahlen.

Zufallszahlen können auch Ergebnisse des einmaligen Ziehens von Kugeln aus einer Urne sein. Gibt es $9$ Kugeln, so ergeben sich auch $9$ mögliche Ergebnisse bei dem Zufallsversuch. Sind die Kugeln mit den Ziffern $1$ bis $9$ beschriftet, so sind dies auch gleichverteilte Zufallszahlen.

Es gibt noch viele weitere Zufallsexperimente, die Zufallszahlen als Ergebnisse haben. So zum Beispiel der Münzwurf, das Glücksspiel Roulette oder das Urnenmodell (Zufallszahlen ziehen mit oder ohne Zurücklegen).

  • Entstehen die Zufallszahlen durch real durchgeführte Zufallsexperimente wie diese, so werden sie auch echte Zufallszahlen genannt.


Was sind Pseudozufallszahlen? – Definition

Mit dem Begriff Zufallszahlen sind aber oft auch Zahlenfolgen gemeint, die elektronisch erzeugt werden. So zum Beispiel mithilfe eines Taschenrechners oder eines Computers. Sie werden dann durch einen sogenannten Zufallszahlengenerator erzeugt. Der Zufallszahlengenerator gibt dir dann eine oder auch mehrere zufällige Zahlen aus. Das entspricht dem Ziehen von Zufallszahlen. Mithilfe dieser Zufallszahlen kann man Tests und Statistiken einfacher reproduzieren.

Wollen wir zum Beispiel wissen, wie oft wir statistisch gesehen bei $1 000$ Würfelwürfen eine $6$ würfeln, so können wir einen Zufallszahlengenerator verwenden. Dazu stellen wir die Zahlenspanne auf $1$ bis $6$ ein und lassen uns $1 000$ Ergebnisse ausgeben. Zum Vergleich kann man dieses Experiment dann auch öfter durchführen.

Es gibt aber auch Zufallszahlengeneratoren, die bei gleicher Einstellung und mehreren Durchläufen immer die gleichen Zahlen ausgeben. Solche Zahlen nennt man dann Pseudozufallszahlen.

  • Pseudozufallszahlen wirken zufällig, sind aber reproduzierbar.

Zufallszahlen – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum Thema Zufallszahlen zusammen.

  • Eine Zufallszahl ist ein Ergebnis spezieller Zufallsexperimente.
  • Entstehen Zufallszahlen aus real durchgeführten Experimenten, so werden sie auch echte Zufallszahlen genannt.
  • Ein Zufallszahlengenerator kann verwendet werden, um Tests und Statistiken zu reproduzieren.
  • Basiert ein Zufallszahlengenerator auf einem reproduzierbaren Algorithmus, so entstehen Pseudozufallszahlen.

Willst du weitere Beispiele und Aufgaben mit Zufallszahlen lösen? Hier auf der Seite findest du noch Arbeitsblätter und Übungen zum Thema Zufallszahlen. Viel Spaß!

Transkript Zufallszahlen

Die gefährlichen Verbrecher Eagle und sein kleiner Bruder Quentin stellen sich heute einer großen Herausforderung. Im Rollenspiel. Wird der große Krieger Quentin den Drachen besiegen können? Dazu muss er Glück im Würfeln haben. Doch alles Pläneschmieden nützt nichts, denn beim Würfeln sind die Ergebnisse alle Zufallszahlen. Aber was sind denn eigentlich Zufallszahlen? Eine Zufallszahl ist ein Ergebnis spezieller Zufallsexperimente. Beim einmaligen Würfelwurf haben wir die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 als mögliche Ergebnisse. Hier sind also die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 Zufallszahlen, weil wir nicht vorhersehen können, welche Zahl geworfen wird. Sie treten alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein: Ein Sechstel. Da die Zahlen alle die GLEICHE Wahrscheinlichkeit besitzen, nennt man sie auch gleichverteilte Zufallszahlen. Zufallszahlen können auch das Ergebnis des einmaligen Ziehens von Kugeln aus einer Urne sein. Gibt es 9 Kugeln, so ergeben sich auch 9 mögliche Ergebnisse bei dem Zufallsversuch. Sind die Kugeln mit den Ziffern von 1 bis 9 beschriftet, so sind auch dies die zugehörigen gleichverteilten Zufallszahlen. Es gibt noch viele weitere Zufallsexperimente, die Zufallszahlen als Ergebnisse haben, wie zum Beispiel den Münzwurf oder auch das Glücksspiel Roulette. Entstehen die Zufallszahlen durch real durchgeführte Zufallsexperimente wie diesen, so werden sie auch echte Zufallszahlen genannt. Mit dem Begriff Zufallszahlen sind aber oft auch Zahlenfolgen gemeint, die elektronisch erzeugt werden - zum Beispiel mithilfe eines Taschenrechners oder eines Computers. Sie werden dann durch einen sogenannten Zufallszahlengenerator erzeugt. Der Zufallszahlengenerator gibt dir dann eine oder auch mehrere zufällige Zahlen aus. Mithilfe dieser kann man Tests und Statistiken einfacher reproduzieren. Möchtest du zum Beispiel wissen, wie oft du statistisch gesehen bei 1000 Würfelwürfen eine 6 würfelst, so kannst du einen Zufallszahlengenerator verwenden. Dazu stellst du die Zahlenspanne auf 1 bis 6 ein und lässt dir 1000 Ergebnisse ausgeben. Oder würdest du lieber 1000 mal einen Würfel werfen? Zum Vergleich kannst du dieses Experiment dann auch öfter durchführen. Es gibt aber auch Zufallszahlengeneratoren, die bei GLEICHER Einstellung und mehreren Durchläufen immer die gleichen Zahlen ausgeben. Solche Zahlen nennt man dann Pseudozufallszahlen. Es sieht zwar so aus, als ob sie zufällig entstehen, das Verfahren kann immer reproduziert werden. Fassen wir das doch noch einmal zusammen. Eine Zufallszahl ist ein Ergebnis spezieller Zufallsexperimente. Entstehen Zufallszahlen aus real durchgeführten Experimenten, so werden sie auch echte Zufallszahlen genannt. Du kannst einen Zufallszahlengenerator dazu verwenden, um Tests und Statistiken zu reproduzieren. Basiert ein Zufallszahlengenerator auf einem reproduzierbaren Algorithmus, so entstehen Pseudozufallszahlen. Konnte Quentin Eagles Herausforderung bestehen und den Drachen besiegen? Quentin hat zwar den Drachen erfolgreich besiegt, aber Eagle hat wohl schon eine neue Herausforderung für ihn bereit. Denn einer von ihnen muss Omas alte Kekse essen.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. ich bin für quentin

    Von Yiren Penguin, vor 9 Monaten
  2. Die Stimme am Anfang war gruselig 😔

    Von Narnia Diamond, vor 9 Monaten
  3. Es war OKE.
    😔

    Von Mimi, vor etwa einem Jahr
  4. Ich finde solche Videos voll cool

    Von Soether, vor etwa einem Jahr
  5. Ich hab es durch das Video endlich verstanden

    Von Soether, vor etwa einem Jahr
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Zufallszahlen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zufallszahlen kannst du es wiederholen und üben.
  • Zeige auf, was Zufallszahlen sind.

    Tipps

    Bei einem Münzwurf hast du nur die Ergebnisse Kopf oder Zahl. Die beiden Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich, treten also jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p=\frac12$ ein.

    Zufallszahlen sind nicht vorhersehbar.

    Lösung

    Eine Zufallszahl ist ein Ergebnis spezieller Zufallsexperimente, wie zum Beispiel dem Würfelwurf, dem Ziehen von Kugeln aus einer Urne, dem Münzwurf oder auch dem Spiel Roulette.

    Beim einmaligen Würfelwurf sind die jeweils möglichen Augenzahlen $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. Da wir nicht vorhersehen können, welche Zahlen als Nächstes auftreten werden, sie also zufällig auftreten, nennen wir sie Zufallszahlen.

    Sie haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit. Es gilt $p=\frac16$. Man nennt sie auch gleichverteilte Zufallszahlen.

    Sind die Zufallszahlen durch reale Experimente entstanden, nennt man sie echte Zufallszahlen.

  • Gib die Definitionen wieder.

    Tipps

    Willst du wissen, wie häufig die $6$ bei $1 000$ Würfelwürfen auftaucht, ist es sehr mühsam $1 000$-mal zu würfeln. Daher ist es sinnvoll, einen Zufallszahlengenerator zu nutzen und die Zahlenspanne von $1$ bis $6$ einzustellen.

    Nutzt du einen Zufallszahlengenerator, entstehen keine echten Zufallszahlen.

    Lösung

    • Echte Zufallszahlen ... entstehen durch real durchgeführte Experimente.
    Das kann zum Beispiel ein Würfelwurf, das Ziehen von Kugeln aus einer Urne, ein Münzwurf oder auch das Spiel Roulette sein.

    • Zufallszahlengeneratoren ... werden genutzt, um Tests und Statistiken zu reproduzieren.
    Willst du wissen, wie häufig die $6$ bei $1 000$ Würfelwürfen auftaucht, ist es sehr mühsam $1 000$-mal zu würfeln. Daher ist es sinnvoll, einen Zufallsgenerator zu nutzen und die Zahlenspanne von $1$ bis $6$ einzustellen, um $1 000$ Zahlen zu erzeugen. Zum Vergleich kannst du dann das Experiment auch mehrfach durchlaufen lassen.

    • Pseudozufallszahlen ... wirken zufällig, sind aber reproduzierbar.
    Es gibt Zufallszahlengeneratoren, die bei mehreren Durchläufen und gleicher Einstellung immer die gleichen Zahlen ausgeben. Diese Zahlen sehen dann zwar aus wie zufällig, sind aber immer wieder so zu erzeugen.

    • Gleichverteilte Zufallszahlen ... haben immer die gleiche Wahrscheinlichkeit.
    Bei einem Würfelwurf haben alle möglichen Augenzahlen $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ die Wahrscheinlichkeit $p=\frac16$.

  • Entscheide, welche Zahlen mit dem Zufallszahlengenerator erzeugt wurden und welche beim Würfeln entstanden sind.

    Tipps

    Den Unterschied zwischen echten und Pseudozufallszahlen erkennst du am zweiten Versuch.

    Beim Würfel kommen nur die Zahlen $1$ bis $6$ vor.

    Lösung

    Den Unterschied zwischen echten und Pseudozufallszahlen erkennst du am zweiten Versuch. Der Zufallszahlengenerator produziert nämlich erneut dieselbe zufällig aussehende Zahlenfolge, beim Würfeln sieht diese im Allgemeinen anders aus. Durch einen sehr großen Zufall könnte sie natürlich gleich aussehen, aber die Wahrscheinlichkeit dafür ist ganz klein, daher vernachlässigen wir dies hier und erhalten:

    $1.$ Zettel: 1. Versuch: $3;2;5;2;1;4;4;2;6;2;6$ 2. Versuch: $3;2;5;2;1;4;4;2;6;2;6$

    Hier kommen nur die Zahlen $1$ bis $6$ vor und der $1.$ und $2.$ Versuch stimmen komplett überein. Daher handelt es sich wohl um die Pseudozufallszahlen, die mit dem Generator erzeugt wurden.

    $2.$ Zettel: 1. Versuch: $3;2;6;2;1;4;4;2;8;2;5$ 2. Versuch: $3;2;6;2;1;4;4;2;8;2;5$

    Hier taucht eine $8$ auf, die kann weder gewürfelt noch vom Generator mit der Spanne $1$ bis $6$ erzeugt werden, daher passen diese Zahlen nicht zum gewünschten Experiment.

    $3.$ Zettel: 1. Versuch: $1;3;4;6;5;4;3;6;1;3;1;2$ 2. Versuch: $3;2;6;2;1;4;4;2;5;2;5;3$

    Wir sehen hier $6$ Zufallszahlen, es passt daher nicht zum Experiment.

    $4.$ Zettel: 1. Versuch: $6;5;3;3;5;1;1;5;4;2;2$ 2. Versuch: $2;6;5;6;5;4;2;3;2;5;1$

    Hier kommen nur die Zahlen $1$ bis $6$ vor und der $1.$ und $2.$ Versuch stimmen nicht überein. Daher handelt es sich wohl um das Ergebnis von $11$ Würfelwürfen.

  • Ermittle, ob die Ergebnisse Zufallszahlen sind.

    Tipps

    Die Ergebnisse bei einem Roulettespiel sind Zufallszahlen.

    Eine Zufallszahl ist das Ergebnis spezieller Zufallsexperimente. Zum Beispiel kannst du mit einem Glücksrad, dessen Sektoren mit Zahlen markiert sind, Zufallszahlen erzeugen.

    Lösung

    Die Ergebnisse der folgenden Experimente sind keine Zufallszahlen:

    • Deutschnoten der Schüler einer Klasse.
    Die Deutschnoten werden nicht zufällig vergeben, sondern hängen vom Können und Lernen der Schüler ab.
    • Felix schießt aufs Tor, während Max versucht, zu halten. Trifft Felix, notieren sie eine $1$, sonst eine $0$.
    Wir können zwar nicht vorhersagen, ob Felix trifft oder nicht, aber es passiert nicht zufällig. Auch hier hängen die Ergebnisse vom Können ab.
    • Ein Computerprogramm erzeugt durch einen Algorithmus nicht vorhersehbare Zahlen. Auch wenn die Zahlen im ersten Durchgang nicht vorhersehbar sind, werden sie doch durch einen Algorithmus berechnet. Solche Zahlen nennt man Pseudozufallszahlen.
    Die Ergebnisse der folgenden Experimente sind Zufallszahlen:

    • Würfeln mit einem Würfel.
    Die Ergebnismenge $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ besteht aus Zufallszahlen.
    • Einmaliges Ziehen einer Spielkarte mit einer Nummer.
    Wir ziehen eine Karte zufällig, daher können wir die Zahl nicht vorhersagen.
    • Aus einem Briefumschlag werden Zettel mit kleinen Matheaufgabennummern, die gelöst werden sollen, gezogen.
    Solange die Zettel nicht durch Tasten unterscheidbar sind, ist die gezogene Nummer zufällig.
  • Bestimme die Ergebnismenge zu jedem Zufallsversuch.

    Tipps

    Beim Roulette kann die Kugel auf ein Feld mit einer Zahl zwischen $1$ und $36$ rollen.

    Vor einem Zufallsexperiment sollte die Ergebnismenge stets bekannt sein. Sie gibt an, welche Zufallszahlen bei dem Experiment insgesamt auftreten können.

    Lösung

    1) Zufallszahlen können auch das Ergebnis von einmaligem Ziehen von Kugeln aus einer Urne sein. Gibt es vier Kugeln, so ergeben sich auch vier mögliche Ergebnisse. Sind die Kugeln mit den Ziffern von $1$ bis $4$ beschriftet, sind dies die dazugehörigen Zufallszahlen. Sie haben die Wahrscheinlichkeit $p=\frac14$ und sind gleichverteilt.

    2) Die Ergebnismenge bei einem Münzwurf geben wir meistens nicht mit Zufallszahlen, sondern mit den Bildern für Kopf oder Zahl an oder schreiben die Wörter aus. Natürlich könnte man auch zum Beispiel Kopf die $0$ zuordnen und Zahl die $1$. In jedem Fall besteht die Ergebnismenge aus zwei Elementen.

    3) Beim Roulette kann die Kugel auf ein Feld mit einer Zahl zwischen $1$ und $36$ rollen. Wir vernachlässigen für dieses Experiment die unterschiedlichen Farben. Das heißt, die Ergebnismenge besteht aus diesen $36$ Zufallszahlen: $\begin{array}{lll} ~~ \Omega &=& \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,\\ & & ~~ 30,31,32,33,34,35,36\} \end{array}$

    4) Beim Werfen eines Würfels besteht die Ergebnismenge aus den $6$ möglichen Augenzahlen $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$.

  • Gib an, wie die Ergebnisse entstanden sind.

    Tipps

    Eine Primzahl ist nur durch $1$ und sich selbst teilbar.

    Lösung
    1. Der Zufallsprimzahlgenerator erzeugt eine Primzahl in einer gewählten Spanne, zum Beispiel zwischen $1$ und $15$: $\Omega_{\text{Primzahl}}=\{2,3,5,7,11,13\}$.
    2. Für die Augensumme von zwei Würfelwürfen addierst du eine Zahl von $1$ bis $6$ mit einer anderen Zahl zwischen $1$ bis $6$: $\Omega_{\text{Summe}}=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$.
    3. Für beide gemeinsam gilt $\Omega_{\text{Gemeinsam}}=\{2,3,5,7,11\}$
    4. Der Rest kann von keinem der beiden generiert werden.
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