Wahrscheinlichkeiten mit dem Gegenereignis berechnen (Komplementärregel)

Einführung: Was ist ein Komplementärereignis?

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnen wir die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments als Ergebnisse. In der Ergebnismenge $\Omega$ werden alle Ergebnisse zusammengefasst. Ein Ereignis $E$ ist eine Teilmenge der Ergebnismenge: $E \subset \Omega$. Sie besteht aus allen Ergebnissen, die zu dem Ereignis gehören. Das Komplementärereignis oder Gegenereignis $\bar{E}$ zu einem Ereignis $E$ umfasst alle Ergebnisse, die nicht zu $E$ gehören.

Komplementärereignis: Beispiele beim Würfeln:

• $E: \text{'gerade'} \rightarrow \bar{E}: \text{'ungerade'}$
• $E: \text{'größer als } 4 \text{'} \rightarrow \bar{E}: \text{'kleiner gleich } 4\text{'}$

Das Gegenereignis kann dir auch helfen, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen. Dazu nutzen wir die Komplementärregel, die im Folgenden einfach erklärt wird.

Was ist die Komplementärregel?

Die Komplementärregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten von einem Ereignis $E$ und seinem Gegenereignis $\bar{E}$ immer $1$ ergeben. Dies ergibt sich daraus, da das Gegenereignis $\bar{E}$ stets alle Ergebnisse umfasst, die nicht zum Ereignis $E$ gehören. Zusammen umfassen beide Ereignisse daher ganz $\Omega$. Es gilt: $P(E) + P(\bar{E}) = 1$

Komplementärregel – Definition

$P(E_{1}) + P(E_{2}) = 1$, falls gilt: $E_{1} \cap E_{2} = \emptyset$ und $E_{1} \cup E_{2} = \Omega$

Ein Ereignis und sein Gegenereignis erfüllen immer diese Bedingungen. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge: $E \cap \bar{E} = \emptyset$, wir sprechen auch von disjunkten Ereignissen. Und ihre Vereinigungsmenge ist die gesamte Ergebnismenge: $E \cup \bar{E} = \Omega$.

Komplementärregel – Beispiel

Betrachten wir am Beispiel einer Münze, die zweimal geworfen wird, wie wir mit der Komplementärregel Wahrscheinlichkeiten schneller bestimmen können. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E: \text{mindestens einmal Sofa}$ berechnen.

Du siehst hier das Baumdiagramm zu unserem Zufallsversuch. Das Ereignis $E$ umfasst die drei Ergebnisse $(\text{Sofa, Sofa}), \text{(Sofa, Zahl})$ und $\text{(Zahl, Sofa})$. Wir könnten nun mit der Pfadregel die drei Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse berechnen und zur Wahrscheinlichkeit von $E$ addieren.

Schneller und einfacher können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ermitteln, indem wir das Gegenereignis $\bar{E}$ betrachten: Das wäre hier $\bar{E}: \text{keinmal Sofa}$. Im Baumdiagramm ist dies gut zu erkennen. Es besteht aus allen Pfaden, die nicht zu $E$ gehören. In unserem Beispiel umfasst $\bar{E}$ also nur das Ergebnis $\text{(Zahl, Zahl})$, dessen Wahrscheinlichkeit wir mit der Pfadregel direkt berechnen können: $P(\bar{E}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Die Komplementärregel besagt, dass gilt: $P(E) + P(\bar{E}) = 1$

Wir stellen die Gleichung nach $P(E)$ um und setzen die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses ein: $P(E) + P(\bar{E}) = 1 \vert - P(\bar{E})$ $P(E) = 1 - P(\bar{E})$ $P(E) = 1 - \frac{1}{4}$ $P(E) = \frac{3}{4}$

Zusammenfassung: Komplementärregel

Die Komplementärregel in der Stochastik besagt, dass sich die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen $E_{1}$ und $ E_{2}$ zu $1$ ergänzen, wenn für die beiden Ereignisse gilt:

• Sie sind disjunkt, das heißt, sie haben keine Schnittmenge.
• Die Vereinigung ergibt die gesamte Ergebnismenge $\Omega$.

Diese Bedingungen sind für ein Ereignis $E$ und das zugehörige Komplementär- oder Gegenereignis $\bar{E}$ immer erfüllt. Es gilt also: $P(E) + P(\bar{E}) = 1$

Wir können durch Umstellen der Gleichung direkt die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ berechnen, wenn wir $P(\bar{E})$ kennen: $P(E) = 1 - P(\bar{E})$