Laplace-Experimente – Modellierung

Laplace-Experimente – Modellierung Übung

• Beschreibe, wie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Laplace-Versuch berechnet werden kann.

  Tipps

  Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse ist $1$.

  Bei einem Laplace-Versuch tritt jedes Ergebnis mit der gleichen Chance ein.

  Lösung

  Gegeben sei ein Laplace-Versuch mit den Ergebnissen $e_1$, ..., $e_n$. $n$ ist die Anzahl der Ergebnisse des Versuches.

  Dann ist die Wahrscheinlichkeit von jedem dieser Ergebnisse gleich groß:

  $P(e_1)=...=P(e_n)=\frac1n$.

  „P“ steht für das lateinische „probabilitas“ für „Wahrscheinlichkeit“.

  Die obige Wahrscheinlichkeitsformel ergibt sich dadurch, dass

  • es $n$ mögliche Ergebnisse gibt,
  • alle Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind und
  • die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse $1$ ergibt.

• Gib die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse an.

  Tipps

  Beachte, dass sich zehn Kugeln in der Schale befinden, auch wenn es sich nur um drei Farben handelt.

  Wenn man als Ergebnis nicht das Ziehen einer beliebigen Kugel, sondern einer Farbe betrachten würde, wäre dies kein Laplace-Versuch, da sich mehr gelbe als rote oder grüne Kugeln in der Schale befinden.

  Wenn wir davon ausgehen, dass alle Kugeln unterscheidbar sind, handelt es ich um einen Laplace-Versuch.

  Wenn nur die Ergebnisse $e_1,e_2,\dots ,e_n$ auftreten können, dann gilt für die Einzelwahrscheinlichkeiten bei Laplace-Versuchen:

  $P(e_1)=P(e_2)=\dots =P(e_n)=\frac1n$.

  Lösung

  Wenn man das Ziehen einer beliebigen Kugel betrachtet, handelt es sich bei diesem Versuch um einen Laplace-Versuch. Dabei geht man davon aus, dass alle Kugeln unterscheidbar sind. Ohne diese Annahme würde es sich hierbei nicht um einen Laplace-Versuch handeln, da die Anzahl der jeweiligen Farben nicht gleich sind.

  Dies klingt vielleicht etwas kompliziert, ist aber wichtig zu unterscheiden.

  Da es sich um einen Laplace-Versuch handelt, ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis gleich groß:

  $P(1)=P(2)=\ldots =P(9)=P(10)=0,1$.

  Wenn wir nach der Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel fragen, dann wollen wir den Anteil der roten Kugeln an der Gesamtanzahl wissen. Damit gilt:

  $P($rot$)=\frac{2}{10}=0,2$.

• Begründe, ob ein Laplace-Versuch vorliegt.

  Tipps

  Je nach Betrachtung der Ergebnisse kann es sich bei einem Zufallsversuch sowohl um einen Laplace-Versuch als auch nicht handeln.

  Wenn kein Laplace-Versuch vorliegt, kann nicht mit der Formel

  $P(e_1)=P(e_2)=...=P(e_n)=\frac1n$

  die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse $e_1,e_2, \dots , e_n$ berechnet werden.

  Die Wahrscheinlichkeiten von rot und blau können auch berechnet werden. Dafür müssen Wahrscheinlichkeiten addiert werden.

  Lösung

  Beim einmaligen Werfen eines Würfels mit diesem Würfelnetz handelt es sich um einen Zufallsversuch, da das Ergebnis nicht vorhersehbar ist. Ob es sich um einen Laplace-Versuch handelt, ist abhängig von dem betrachteten Ergebnis:

  • Augenzahl: In diesem Fall handelt es sich um einen Laplace-Versuch, da jede Augenzahl sich genau einmal auf dem Würfel befindet. Die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl beträgt $\frac16$.
  • Farbe: Im Fall der Farbe handelt es sich nicht um einen Laplace-Versuch, da mehr Seiten rot als blau sind. Wenn es sich um einen Laplace-Versuch handeln würde, wäre die Wahrscheinlichkeit für jede der beiden Farben gleich groß: $\frac12$. Dies wird so nicht stimmen, da doppelt so viele Seiten rot wie blau sind.

• Prüfe die Aussagen zu einem Laplace-Versuch.

  Tipps

  Wenn sich in einer Urne eine rote und eine gelbe Kugel befinden und du eine ohne Hinzuziehen ziehst: Was glaubst du, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese rot ist?

  Richtig: $P($rot$)=\frac12$.

  Wenn du noch eine grüne Kugel in die Urne tust: Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen?

  Richtig: $P($rot$)=\frac13$.

  Lösung

  Jeder Laplace-Versuch ist ein Zufallsversuch. Aber nicht jeder Zufallsversuch ist ein Laplace-Versuch.

  Das bedeutet, dass jeder Laplace-Versuch die Eigenschaften eines Zufallsversuchs besitzt:

  • die Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $0$ und $1$,
  • die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ist $1$.

  Was zeichnet also einen Laplace-Versuch aus?

  Bei einem Laplace-Versuch ist jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich. Das bedeutet, wenn $e_1$, ..., $e_n$ die $n$ möglichen Ergebnisse sind, gilt

  $P(e_1)=...=P(e_n)=\frac1n$.

  Wenn also die Anzahl der Ergebnisse $n$ größer wird, so wird der Nenner größer und damit die Wahrscheinlichkeit kleiner.

  Da alle Wahrscheinlichkeiten der $n$ Ergebnisse gleich groß sind, gilt:

  $P(e_1)+...+P(e_n)=\frac1n+...+\frac1n=n\cdot \frac1n=1$.

  Die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren sich also wieder zu $1$ auf.

• Nenne die Voraussetzung dafür, dass ein Laplace-Versuch vorliegt.

  Tipps

  Das Werfen mit einem idealen Würfel ist ein Laplace-Versuch. Die Wahrscheinlichkeit für eine Augenzahl ist jeweils $\frac16$.

  Wenn sich auf dem Würfel viermal eine $1$ und zweimal eine $2$ befindet, handelt es sich nicht mehr um einen Laplace-Versuch.

  Lösung

  Wann kann man von einem Laplace-Versuch sprechen?

  Ein Zufallsversuch hat verschiedene Ausgänge. Diese nennt man Ergebnisse. Wenn jedes dieser Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, spricht man von einem Laplace-Versuch.

  So ist zum Beispiel das Werfen mit einem idealen Würfel ein Laplace-Versuch. Die Wahrscheinlichkeit für eine Augenzahl ist jeweils $\frac16$.

  Wenn sich auf dem Würfel jedoch viermal die $1$ und zweimal die $2$ befindet, handelt es sich nicht mehr um einen Laplace-Versuch.

  Bei jedem Zufallsversuch ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse $1$, also auch für einen Laplace-Versuch. Dies ist jedoch keine Voraussetzung, die Laplace-Versuche speziell auszeichnet.

• Entscheide, ob ein Laplace-Versuch vorliegt.

  Tipps

  Bei einem Laplace-Versuch ist die Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Ergebnisse jeweils gleich groß.

  Ein geordnetes Zahlenpaar $(a;b)$ beachtet die Reihenfolge, d.h. $a$ kommt als erstes und $b$ als zweites.

  Lösung

  Wann kann man von einem Laplace-Versuch sprechen?

  Ein Zufallsversuch hat verschiedene Ausgänge. Diese nennt man Ergebnisse. Wenn jedes dieser Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, spricht man von einem Laplace-Versuch:

  1. Das Werfen mit einem Tetraeder, auf dessen vier Seiten sich die Zahlen von $1$ bis $4$ befinden, ist ein Laplace-Versuch, da jede Seite mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{4}$ eintritt.

  2. In einer Urne befinden sich $9$ Kugeln mit den Zahlen $1$ bis $9$, davon sind $5$ rot und $4$ gelb:

  • Wenn das Ergebnis Zahl betrachtet wird, handelt es sich um einen Laplace-Versuch.
  • Wenn das Ergebnis Farbe betrachtet wird, handelt es sich nicht um einen Laplace-Versuch.

  3. Ein Zylinder mit der Höhe $h=10~cm$ und dem Radius $r=2~cm$ wird geworfen. Die betrachteten Ergebnisse sind: „Der Zylinder landet auf der Grundfläche“ und „Der Zylinder landet auf der Mantelfläche“. Dies ist kein Laplace-Versuch, da die Wahrscheinlichkeit, auf der Mantelfläche zu landen, größer ist.

  4. Eine Würfel wird zweimal geworfen:

  • Wenn die Zahlenpaare betrachtet werden, handelt es sich um einen Laplace-Versuch.
  • Wenn die Summe der Augenzahlen betrachtet werden, handelt es sich nicht um einen Laplace-Versuch, da zum Beispiel die Summe $2$ nur durch ein Paar ($(1|1)$) und die Summe $3$ durch zwei Paare ($(1|2)$ sowie $(2|1)$) erzielt wird. Damit sind die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Summe nicht immer gleich.