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Laplace-Experimente – Modellierung

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Martin Wabnik
Laplace-Experimente – Modellierung
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Grundlagen zum Thema Laplace-Experimente – Modellierung

Meistens sagt man: Ein Zufallsversuch ist ein Laplace-Versuch, wenn alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Etwas genauer geht das so: Ist die Wahrscheinlichkeit P(e) jedes Ergebnisses e eines Zufallsversuchs gleich 1/(Anzahl aller Ergebnisse), dann ist der Zufallsversuch ein Laplace-Versuch. Das zufällige Ziehen einer Kugel aus einem Behälter ist ein Laplace-Versuch. Jeder Kugel hat die Wahrscheinlichkeit "1 geteilt durch Anzahl aller Kugeln". Meistens sagt man auch, das Werfen eines Würfels sei ein Laplace-Versuch. Aber wenn man es ganz genau nimmt, sieht man, dass eine realer Würfel niemals ganz genau symmetrisch sein kann und deshalb nicht alle Seiten ganz exakt die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Deshalb rechnet man eigentlich mit einem mathematischen Modell, welches dem "Kugeln ziehen" sehr ähnlich ist.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. @Normey: Schau die dazu am besten die Beispielaufgaben zum Laplace-Experiment an.
    Solltest du noch weitere Fragen zu konkreten Aufgaben haben, kannst du dich gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17 und 19 Uhr für dich da ist.

    Von Thomas Scholz, vor fast 6 Jahren
  2. Ich habe es zwarverstenden mit der Regel aber ich weis immer noch nicht wie man es ausrechnet und allgemein rechnet :/

    Von Normey, vor fast 6 Jahren
  3. richt

    Von 7 Raiden 7, vor fast 6 Jahren
  4. er ist fast wie ein magier mit den ganzen karten und sachen xD

    Von C Konduktorow, vor mehr als 6 Jahren
  5. Danke dafür ich habe es erst in der schule nicht verstanden aber jetzt habe ich es

    Von Marvin L., vor fast 7 Jahren
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Laplace-Experimente – Modellierung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Laplace-Experimente – Modellierung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Laplace-Versuch berechnet werden kann.

    Tipps

    Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse ist $1$.

    Bei einem Laplace-Versuch tritt jedes Ergebnis mit der gleichen Chance ein.

    Lösung

    Gegeben sei ein Laplace-Versuch mit den Ergebnissen $e_1$, ..., $e_n$. $n$ ist die Anzahl der Ergebnisse des Versuches.

    Dann ist die Wahrscheinlichkeit von jedem dieser Ergebnisse gleich groß:

    $P(e_1)=...=P(e_n)=\frac1n$.

    „P“ steht für das lateinische „probabilitas“ für „Wahrscheinlichkeit“.

    Die obige Wahrscheinlichkeitsformel ergibt sich dadurch, dass

    • es $n$ mögliche Ergebnisse gibt,
    • alle Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind und
    • die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse $1$ ergibt.

  • Gib die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse an.

    Tipps

    Beachte, dass sich zehn Kugeln in der Schale befinden, auch wenn es sich nur um drei Farben handelt.

    Wenn man als Ergebnis nicht das Ziehen einer beliebigen Kugel, sondern einer Farbe betrachten würde, wäre dies kein Laplace-Versuch, da sich mehr gelbe als rote oder grüne Kugeln in der Schale befinden.

    Wenn wir davon ausgehen, dass alle Kugeln unterscheidbar sind, handelt es ich um einen Laplace-Versuch.

    Wenn nur die Ergebnisse $e_1,e_2,\dots ,e_n$ auftreten können, dann gilt für die Einzelwahrscheinlichkeiten bei Laplace-Versuchen:

    $P(e_1)=P(e_2)=\dots =P(e_n)=\frac1n$.

    Lösung

    Wenn man das Ziehen einer beliebigen Kugel betrachtet, handelt es sich bei diesem Versuch um einen Laplace-Versuch. Dabei geht man davon aus, dass alle Kugeln unterscheidbar sind. Ohne diese Annahme würde es sich hierbei nicht um einen Laplace-Versuch handeln, da die Anzahl der jeweiligen Farben nicht gleich sind.

    Dies klingt vielleicht etwas kompliziert, ist aber wichtig zu unterscheiden.

    Da es sich um einen Laplace-Versuch handelt, ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis gleich groß:

    $P(1)=P(2)=\ldots =P(9)=P(10)=0,1$.

    Wenn wir nach der Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel fragen, dann wollen wir den Anteil der roten Kugeln an der Gesamtanzahl wissen. Damit gilt:

    $P($rot$)=\frac{2}{10}=0,2$.

  • Begründe, ob ein Laplace-Versuch vorliegt.

    Tipps

    Je nach Betrachtung der Ergebnisse kann es sich bei einem Zufallsversuch sowohl um einen Laplace-Versuch als auch nicht handeln.

    Wenn kein Laplace-Versuch vorliegt, kann nicht mit der Formel

    $P(e_1)=P(e_2)=...=P(e_n)=\frac1n$

    die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse $e_1,e_2, \dots , e_n$ berechnet werden.

    Die Wahrscheinlichkeiten von rot und blau können auch berechnet werden. Dafür müssen Wahrscheinlichkeiten addiert werden.

    Lösung

    Beim einmaligen Werfen eines Würfels mit diesem Würfelnetz handelt es sich um einen Zufallsversuch, da das Ergebnis nicht vorhersehbar ist. Ob es sich um einen Laplace-Versuch handelt, ist abhängig von dem betrachteten Ergebnis:

    • Augenzahl: In diesem Fall handelt es sich um einen Laplace-Versuch, da jede Augenzahl sich genau einmal auf dem Würfel befindet. Die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl beträgt $\frac16$.
    • Farbe: Im Fall der Farbe handelt es sich nicht um einen Laplace-Versuch, da mehr Seiten rot als blau sind. Wenn es sich um einen Laplace-Versuch handeln würde, wäre die Wahrscheinlichkeit für jede der beiden Farben gleich groß: $\frac12$. Dies wird so nicht stimmen, da doppelt so viele Seiten rot wie blau sind.

  • Prüfe die Aussagen zu einem Laplace-Versuch.

    Tipps

    Wenn sich in einer Urne eine rote und eine gelbe Kugel befinden und du eine ohne Hinzuziehen ziehst: Was glaubst du, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese rot ist?

    Richtig: $P($rot$)=\frac12$.

    Wenn du noch eine grüne Kugel in die Urne tust: Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen?

    Richtig: $P($rot$)=\frac13$.

    Lösung

    Jeder Laplace-Versuch ist ein Zufallsversuch. Aber nicht jeder Zufallsversuch ist ein Laplace-Versuch.

    Das bedeutet, dass jeder Laplace-Versuch die Eigenschaften eines Zufallsversuchs besitzt:

    • die Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $0$ und $1$,
    • die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ist $1$.
    Was zeichnet also einen Laplace-Versuch aus?

    Bei einem Laplace-Versuch ist jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich. Das bedeutet, wenn $e_1$, ..., $e_n$ die $n$ möglichen Ergebnisse sind, gilt

    $P(e_1)=...=P(e_n)=\frac1n$.

    Wenn also die Anzahl der Ergebnisse $n$ größer wird, so wird der Nenner größer und damit die Wahrscheinlichkeit kleiner.

    Da alle Wahrscheinlichkeiten der $n$ Ergebnisse gleich groß sind, gilt:

    $P(e_1)+...+P(e_n)=\frac1n+...+\frac1n=n\cdot \frac1n=1$.

    Die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren sich also wieder zu $1$ auf.

  • Nenne die Voraussetzung dafür, dass ein Laplace-Versuch vorliegt.

    Tipps

    Das Werfen mit einem idealen Würfel ist ein Laplace-Versuch. Die Wahrscheinlichkeit für eine Augenzahl ist jeweils $\frac16$.

    Wenn sich auf dem Würfel viermal eine $1$ und zweimal eine $2$ befindet, handelt es sich nicht mehr um einen Laplace-Versuch.

    Lösung

    Wann kann man von einem Laplace-Versuch sprechen?

    Ein Zufallsversuch hat verschiedene Ausgänge. Diese nennt man Ergebnisse. Wenn jedes dieser Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, spricht man von einem Laplace-Versuch.

    So ist zum Beispiel das Werfen mit einem idealen Würfel ein Laplace-Versuch. Die Wahrscheinlichkeit für eine Augenzahl ist jeweils $\frac16$.

    Wenn sich auf dem Würfel jedoch viermal die $1$ und zweimal die $2$ befindet, handelt es sich nicht mehr um einen Laplace-Versuch.

    Bei jedem Zufallsversuch ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse $1$, also auch für einen Laplace-Versuch. Dies ist jedoch keine Voraussetzung, die Laplace-Versuche speziell auszeichnet.

  • Entscheide, ob ein Laplace-Versuch vorliegt.

    Tipps

    Bei einem Laplace-Versuch ist die Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Ergebnisse jeweils gleich groß.

    Ein geordnetes Zahlenpaar $(a;b)$ beachtet die Reihenfolge, d.h. $a$ kommt als erstes und $b$ als zweites.

    Lösung

    Wann kann man von einem Laplace-Versuch sprechen?

    Ein Zufallsversuch hat verschiedene Ausgänge. Diese nennt man Ergebnisse. Wenn jedes dieser Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, spricht man von einem Laplace-Versuch:

    1. Das Werfen mit einem Tetraeder, auf dessen vier Seiten sich die Zahlen von $1$ bis $4$ befinden, ist ein Laplace-Versuch, da jede Seite mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{4}$ eintritt.

    2. In einer Urne befinden sich $9$ Kugeln mit den Zahlen $1$ bis $9$, davon sind $5$ rot und $4$ gelb:

    • Wenn das Ergebnis Zahl betrachtet wird, handelt es sich um einen Laplace-Versuch.
    • Wenn das Ergebnis Farbe betrachtet wird, handelt es sich nicht um einen Laplace-Versuch.
    3. Ein Zylinder mit der Höhe $h=10~cm$ und dem Radius $r=2~cm$ wird geworfen. Die betrachteten Ergebnisse sind: „Der Zylinder landet auf der Grundfläche“ und „Der Zylinder landet auf der Mantelfläche“. Dies ist kein Laplace-Versuch, da die Wahrscheinlichkeit, auf der Mantelfläche zu landen, größer ist.

    4. Eine Würfel wird zweimal geworfen:

    • Wenn die Zahlenpaare betrachtet werden, handelt es sich um einen Laplace-Versuch.
    • Wenn die Summe der Augenzahlen betrachtet werden, handelt es sich nicht um einen Laplace-Versuch, da zum Beispiel die Summe $2$ nur durch ein Paar ($(1|1)$) und die Summe $3$ durch zwei Paare ($(1|2)$ sowie $(2|1)$) erzielt wird. Damit sind die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Summe nicht immer gleich.

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