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Laplace-Experimente – Laplace-Regel

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Laplace-Experimente – Laplace-Regel
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Laplace-Experimente – Laplace-Regel

Die Regel von Laplace lautet: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist gleich der Anzahl der Ergebnisse in E geteilt durch die Anzahl aller Ergebnisse. Manchmal wird diese Regel aus so formuliert: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist gleich der für E günstigen Ergebnisse geteilt durch alle möglichen Ergebnisse. Hat man also eine Ergebnismenge mit einer bestimmten Anzahl von Ergebnissen, kennt man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E bereits dann, wenn man weiß, wieviele Ergebnisse zum Ereignis E gehören und wie viele Ergebnisse es insgesamt gibt. Zieht man z.B. ein Los aus 100 Losen, die mit den Zahlen von 1 bis 100 bedruckt sind, kann man die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Es wird eine Primzahl gezogen" berechnen, indem man nachzählt, wieviele Primzahlen unter den Zahlen von 1 bis 100 sind. Da es 25 Primzahlen sind, ist die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu ziehen, gleich 25/100. Im Video werden noch mehr Beispiele gezeigt. Du musst die aber nicht unbedingt alle Beispiele ansehen.

Transkript Laplace-Experimente – Laplace-Regel

Hallo! Wir haben die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses definiert als Anteil des Ereignisses an der Ergebnismenge. Und wenn wir eine Ergebnismenge haben mit einer bestimmten Anzahl von Ergebnissen, dann hat auch ein Ereignis eine bestimmte Anzahl von Ergebnissen. Und dann können wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, also P(E), groß E steht immer für ein Ereignis, diese Wahrscheinlichkeit können wir dann mit dieser Formel berechnen, die auf Laplace zurückgeht. Wir können einfach nachzählen, wie viele Ergebnisse in diesem Ereignis sind und dann durch die Anzahl aller Ergebnisse teilen. Und dazu können wir uns jetzt mal ein paar Beispiele ansehen. Das hier sind 100 Lose. Auf den 100 Losen sind die Zahlen von 1 bis 100 drauf. Davon kann ich jetzt ein Los ziehen, das ist ein Zufallsversuch, die Ergebnismenge besteht dann aus den Zahlen von 1 bis 100. Und man könnte ein Ereignis definieren, nämlich das Ereignis: „Eine Primzahl ziehen‟. Und sich dann fragen, wie wahrscheinlich ist es, eine Primzahl zu ziehen? Dazu müsste man dann, wenn man diese Formel anwenden möchte, einfach nur wissen, wie viele Primzahlen gibt es denn von 1 bis 100 und dann diese Anzahl, durch die Anzahl aller Ergebnisse, nämlich 100, teilen. Nun, das habe ich heimlich schon vorbereitet. Es gibt 25 Primzahlen, die kleiner als 100 sind. Und dann rechnet man einfach: 25/100 und das ist ein Viertel. Dazu habe ich auch mal hier was vorbereitet. Kurz schriftlich zusammengefasst: Unser Zufallsversuch ist das Ziehen eines Loses. Die Ergebnismenge Ω, griechischer Großbuchstabe, besteht aus den Zahlen von 1 bis 100. Das Ereignis E ist jetzt eine Primzahl kleiner als 100. Und die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist dann 25/100 und das ist gleich ¼. Ja, dann fehlt nur noch, dass ich jetzt ein Los ziehe. Vielleicht ist es ja eine Primzahl. Also, ein gelbes Los. Ich weiß nicht, was dahinter steckt, hinter diesen Farben, keine Ahnung. Und es ist: die 28. Das ist keine Primzahl, denn 4•7=28. Ein weiterer Zufallsversuch mit einer Ergebnismenge mit einer bestimmten Anzahl von Ergebnissen ist ein Durchgang beim Roulette-Spiel. Beim Roulette kann man einen Chip setzen, auf eine Zahl oder auf Rot oder Schwarz oder auf Gerade oder Ungerade. Und man kann auch auf bestimmte Drittel setzen. Ich möchte jetzt mal hier auf das mittlere Drittel setzen. Das bedeutet, wenn gleich die Kugel auf einer Zahl zwischen 13 und 24 liegen bleibt, dann haben wir gewonnen. Die Kugel wird hier eingeworfen und dann muss man warten, bis sie liegen bleibt, irgendwo. Das macht sie jetzt und zwar bleibt sie auf der 00 liegen, auf der Doppelnull. Haben wir nichts gewonnen, macht nichts. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Mittleres Drittel‟ kann man wieder mit der Laplace-Formel berechnen. Wir brauchen die Anzahl der Ergebnisse in diesem Ereignis, das sind 12 Ergebnisse, die Zahlen von 13 bis 24. Und müssen dann teilen durch die Anzahl aller Ergebnisse. Die Anzahl ist 38. Wir haben ja 36 Zahlen, auf die wir setzen können, plus Null, plus Doppelnull, macht 38. Also 12/38 ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Mittleres Drittel‟. Das habe ich auch nochmal hier in kurz zusammengefasst: Der Zufallsversuch ist ein Spiel beim Roulette, die Ergebnismenge Ω besteht aus Null, Doppelnull und den Zahlen 1 bis 36. Unser Ereignis besteht aus den Zahlen 13 bis 24. Und die Wahrscheinlichkeit dafür ist 12/38. Das lässt man so natürlich nicht stehen, sondern man kürzt und hat dann 6/19. Noch einen Zufallsversuch mit einer Ergebnismenge mit endlich vielen Ergebnissen kannst du hier sehen: Wenn man aus diesem Behälter ein Ei zieht, ohne hinzugucken, ist das ein Zufallsversuch. Wir könnten definieren, dass die Farben auf diesen Eiern hier die Ergebnisse sind, aber das möchte ich jetzt mal anders machen. Es sollen nämlich die Zahlen, die auf den Eiern sind, die Ergebnisse sein. Drei, Vier, Zehn haben wir gesehen. Wir haben noch die Sechs und die Neun. Wir können uns ein Ereignis vorstellen, dessen Wahrscheinlichkeit wir berechnen können, nämlich das Ereignis, dass eine Zahl kleiner als 13 gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses können wir hier mit dieser Formel berechnen. Wir brauchen die Anzahl der Ergebnisse, die sich in dem Ereignis befinden. Nun, da alle Zahlen kleiner als dreizehn sind, ist die Anzahl der Ergebnisse Fünf. Wir müssen teilen durch die Anzahl aller Ergebnisse. Das ist auch Fünf, weil wir fünf Eier da drin haben mit fünf Zahlen. Wir teilen also Fünf durch Fünf und erhalten Eins. Und das ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses: „Eine Zahl kleiner als dreizehn wird gezogen‟. Jetzt denkst Du dir vielleicht, ist das nicht irgendwie unsinnig? Nein, eigentlich nicht. Es gibt auch solche Ereignisse, die dann alle Ergebnisse enthalten, das ist kein Problem. Die Wahrscheinlichkeit ist dann Eins. Man kann sich auch quasi das Gegenteil vorstellen, nämlich ein Ereignis, das überhaupt kein Ergebnis enthält. Zum Beispiel das Ereignis, dass eine Zahl größer als 16 gezogen wird. Hier ist keine Zahl größer als 16 drin, deshalb enthält dieses Ereignis keine Ergebnisse. Wir müssten dann rechnen: Anzahl der Ergebnisse im Ereignis, das ist Null, geteilt durch alle Ergebnis aus Fünf. 0/5=0. Die Wahrscheinlichkeit eines solchen, unmöglichen Ereignisses ist gleich Null. Das können wir uns nochmal kurz angucken hier für diesen Zufallsversuch. Der Zufallsversuch besteht aus dem Ziehen eines Eis, das also eine Zahl aufgedruckt hat. Die Ergebnismenge besteht aus Drei, Vier, Sechs, Neun, Zehn. Unser Ereignis enthält alle diese Ergebnisse: Drei, Vier, Sechs, Neun, Zehn und damit ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis, 5/5 und das ist gleich Eins. So, das waren die ersten Beispiele zu dieser Laplace-Formel. Übrigens, so als kleiner Ausblick, diese Formel hier, die wird nicht komplizierter. Was aber komplizierter wird, ist das Zählen, interessanterweise. Es ist gar nicht so einfach manchmal herauszufinden, wie viele Ergebnisse in einem Ereignis sind oder wie viele Ergebnisse sich überhaupt in der Ergebnismenge befinden. Das wird uns wohl noch ein bisschen beschäftigen, aber nicht mehr in diesem Film, hier sind wir fertig. Viel Spaß damit, tschüss!

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Hallo Joshua B.,

    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu A., vor etwa 2 Jahren
  2. Die Übungen waren sehr schwer und schwer verständlich

    Von Joshua B., vor etwa 2 Jahren
  3. super video

    Von Dana , vor mehr als 4 Jahren
  4. manchmal chek ich das nicht wegen denn fachausdrücken aber wenn mir das viedeo öffter anschaue versteh ich das dann ja :)

    Von Albinobrecht99, vor fast 6 Jahren
  5. Anschaulich und leicht verständlich erklärt.

    Von Bine123, vor mehr als 6 Jahren
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Laplace-Experimente – Laplace-Regel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Laplace-Experimente – Laplace-Regel kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Aussagen zur Wahrscheinlichkeit von Ereignissen bei der Tombola zutreffen.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit, bei dieser Tombola zu verlieren, also keine Primzahl zu ziehen, beträgt:

    $\frac{75}{100}$

    Die Wahrscheinlichkeit eines Laplace-Experiments lässt sich immer durch folgende Formel berechnen:

    $\frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in }E}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}$

    Man muss die Anzahl der Ergebnisse, die in dem zu berechnenden Ereignis sind, zählen. Diese Zahl teilt man dann durch die Anzahl aller Ergebnisse.

    Lösung

    Die Ergebnismenge hat den Namen $\Omega$ (gesprochen: Omega). Sie enthält alle (möglichen) Ergebnisse eines Wahrscheinlichkeits-Experiments. Ein Ergebnis ist genau ein Element von $\Omega$.

    Ein Ereignis hingegen ist eine Teilmenge von $\Omega$. Ein Ereignis kann also mehr als ein Element enthalten.

    Wenn es mehrere Ereignisse gibt, nutzt man oft die Schreibweise $E_1$ für das erste Ereignis, $E_2$ für das zweite Ereignis usw.

    Die Wahrscheinlichkeit lässt sich bei Laplace-Experimenten immer mit folgender Formel berechnen:

    $\frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in }E}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}$

    Nun wenden wir dieses Wissen auf die Tombola-Aufgabe an.

    Wir bezeichnen mit $E_1$ das Ereignis, eine Primzahl zu ziehen, also zu gewinnen. Da es $25$ Primzahlen gibt, die kleiner als $100$ sind, enthält das Ereignis $E_1$ genau $25$ Elemente.

    Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_1$ berechnet sich dann wie folgt:

    $P(E_1) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

    Wir bezeichnen mit $E_2$ das Ereignis, keine Primzahl zu ziehen, also zu verlieren. Das nennt man auch „Gegenwahrscheinlichkeit“. Da es $75$ Zahlen gibt, die kleiner gleich $100$ und keine Primzahl sind, enthält das Ereignis $E_2$ genau $75$ Elemente.

    Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_2$ beträgt also:

    $P(E_2) = \frac{75}{100} = \frac 34$

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit des angegebenen Ereignisses beim Roulette.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Laplace-Experiments lässt sich immer durch folgende Formel berechnen:

    $\frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in }E}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}$

    Betrachte folgendes Beispiel.

    Wir wollen die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel auf einem schwarzen Feld liegen bleibt, berechnen.

    Diese beträgt $\frac{18}{38}$, weil es insgesamt $38$ Felder gibt, von denen $18$ schwarz sind. Der Bruch lässt sich dann noch auf $\frac{9}{19}$ kürzen.

    Lösung

    Beim Roulette gibt es $38$ Felder. Die Zahlen $1$ bis $36$ sind immer jeweils rot oder schwarz. Die beiden Felder $0$ und $00$ sind Sonderfelder.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet man im Laplace-Experiment immer, indem man die Anzahl der Ergebnisse, die das Ereignis enthält, durch die Anzahl aller Ergebnisse teilt. Also mit Hilfe folgender Formel:

    $\frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in }E}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}$

    Beim Roulette ist die Anzahl aller Ergebnisse $38$, da es $38$ Felder gibt.

    Für die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit müssen wir also immer zählen, wie viele Felder in dem jeweiligen Ereignis enthalten sind.

    Betrachten wir nun das Ereignis $E_4 =$ „Die Kugel landet im zweiten Drittel (Zahlen $13-24$).“

    Es gibt $12$ Felder, die in diesem Ereignis enthalten sind, nämlich $\{13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24\}$. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet sich also so:

    $P(E_4) = \frac{12}{38} = \frac{6}{19}$

  • Bestimme zu den Ereignissen jeweils die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Die Anzahl aller Ergebnisse ist hier $7$, da es $7$ Felder gibt. Du musst also überlegen, wie viele Ergebnisse die jeweilige Bedingung erfüllen. Diese Zahl teilst du dann durch die $7$.

    Wenn man festlegt, dass eine Zahl größer als $1$ und kleiner als $7$ ist, dann kommen die Zahlen $2,3,4,5$ und $6$ in Frage.

    Lösung

    Es gibt insgesamt $7$ Felder in diesem Wahrscheinlichkeits-Experiment.

    Die Berechnungen der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse ergeben sich wie folgt.

    Wir bezeichnen das Ereignis, dass die gedrehte Zahl kleiner ist als $3$, mit dem Buchstaben $E$. Da es $2$ Zahlen gibt, die kleiner als $3$ sind, ergibt sich diese Rechnung:

    $P(E) = \frac{2}{7}$

    Nun legen wir $E$ neu fest. $E=$ „Der Name der Farbe, die gedreht wird, enthält den Buchstaben 'g'.“ Da es $4$ Felder gibt, deren Farben den Buchstaben 'g' enthalten (nämlich $\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n, orange, gelb, hellgr}\ddot{\text{u}}\text{n}$), ergibt sich:

    $P(E) = \frac{4}{7}$

    Die anderen Wahrscheinlichkeiten berechnen sich auf die gleiche Art.

  • Ermittle die Anzahl der Ergebnisse pro Ereignis und die jeweilige Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Zähle die Ergebnisse in $\Omega$, die auf die Beschreibung des Ereignisses zutreffen.

    Dieses Ergebnis teilst du anschließend durch die Anzahl aller Ergebnisse in $\Omega$.

    Erinnere dich: „mindestens zweimal Zahl“ bedeutet hier: zweimal Zahl und auch dreimal Zahl.

    Lösung

    Die Ergebnismenge $\Omega$ enthält $8$ Ergebnisse. Jedes dieser Ergebnisse kann also bei einem dreimaligen Münzwurf auftreten.

    Das Ereignis $E_1$ enthält ein Ergebnis, nämlich $\text{KKK}$. Deshalb berechnet man die Wahrscheinlichkeit von $E_1$ so:

    $P(E_1) = \frac{1}{8}$

    Das Ereignis $E_5$ enthält vier Ergebnisse, weil es mit „mindestens zweimal Zahl“ definiert wurde (das beinhaltet auch mehr als zweimal Zahl!) nämlich $\text{KZZ}, \text{ZKZ}, \text{ZZK}, \text{ZZZ}$. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit von $E_5$:

    $P(E_5) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

    Die anderen Wahrscheinlichkeiten berechnen sich auf die gleiche Art.

  • Gib an, welche der Wahrscheinlichkeiten zu den Ereignissen korrekt berechnet wurden.

    Tipps

    Schauen wir uns ein Beispiel an. Wir legen fest, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $P(E)$ gleich $1$ ist. Was bedeutet das?

    Es bedeutet, dass alle Ergebnisse, die in $\Omega$ sind, auch in $E$ enthalten sind. Daraus kann man ableiten, dass eine Wahrscheinlichkeit, die größer als $1$ ist, nicht möglich ist.

    Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $E_1$ zu berechnen, zählen wir alle Zahlen in $\Omega$, die kleiner als $13$ sind. Diese Anzahl teilen wir dann durch die Anzahl aller Ergebnisse in $\Omega$.

    Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $E_2$ zu berechnen, zählen wir alle Zahlen in $\Omega$, die größer als $16$ sind. Diese Anzahl teilen wir dann durch die Anzahl aller Ergebnisse in $\Omega$.

    Lösung

    Auch hier benutzen wir wieder die Laplace-Formel:

    $\frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in }E}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}$

    Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $E_1$ zu berechnen, zählen wir alle Zahlen in $\Omega$, die kleiner als $13$ sind. Das sind alle $5$ Zahlen. Diese Anzahl teilen wir dann durch die Anzahl aller Ergebnisse in $\Omega$, also ebenfalls $5$. Wir setzen die Zahlen in die Formel ein und erhalten:

    $P(E_1) = \frac{5}{5} = 1$

    Die $1$ entspricht nun einer Wahrscheinlichkeit von $100\%$. Egal welche der Kugeln gezogen wird, die Zahl auf ihr wird auf jeden Fall kleiner sein als $13$.

    Auf die gleiche Weise berechnen wir die Wahrscheinlichkeit von $E_2$. Da kein Ergebnis aus $\Omega$ größer als $16$ ist, berechnen wir:

    $P(E_2) = \frac{0}{5} = 0$

    Die $0$ entspricht nun einer Wahrscheinlichkeit von $0\%$. Egal welche der Kugeln gezogen wird, die Zahl auf ihr wird auf keinen Fall größer sein als $16$.

  • Entscheide jeweils, ob es sich um ein Laplace-Experiment handelt. Berechne gegebenenfalls die Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Versuche, dir für die jeweilige Aufgabe zu überlegen, welche Ergebnisse $\Omega$ enthält und ob diese gleich wahrscheinlich sind.

    Lösung

    Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses gleich groß. Dies müssen wir hier an den Beispielen überprüfen. Damit du die Lösung gut nachvollziehen kannst, wird auch immer $\Omega$, also die Ergebnismenge, angegeben.

    1. Der Würfelwurf mit einem Würfel, der die Zahlen $1$ bis $6$ enthält, hat die Ergebnismenge $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist gleich groß, sodass $P(E_1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ beträgt.
    2. Das Ziehen aus einem Kartenspiel mit $32$ Karten hat die Ergebnismenge $\Omega = \{\text{Karo-}7, \text{Karo-}8, ... , \text{Karo-As}, \text{Herz-}7,...,\text{Kreuz-As}\}$. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist gleich groß, sodass $P(E_2) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ beträgt.
    3. Das in dieser Aufgabe beschriebene Glücksrad hat die Ergebnismenge $\Omega = \{\text{rot},\text{blau}\}$. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist jedoch nicht gleich groß, da $70\%$ der Fläche des Rads rot sind. Hierbei handelt es sich also nicht um ein Laplace-Experiment.
    4. Der Würfelwurf mit zwei Würfeln, bei dem wir nur auf die Summe der beiden Würfel achten, hat die Ergebnismenge $\Omega = \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist allerdings nicht gleich groß. Das kann man an folgendem Beispiel erkennen. Die Summe $2$ wird nur dann erreicht, wenn beide Würfel eine $1$ zeigen. Die Summe $7$ andererseits kann durch verschiedene Kombinationen ($(1,6), (2,5), (3,4), (5,2), (6,1)$) erreicht werden. Also handelt es sich hierbei nicht um ein Laplace-Experiment.
    5. Das Ziehen einer Kugel aus einer Trommel mit $49$ verschiedenen Kugeln hat die Ergebnismenge $\Omega = \{1,2,...,49\}$. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist gleich groß, sodass $P(E_5) = \frac{1}{49}$ beträgt.
    6. Der Wurf einer Plastikflasche hat die Ergebnismenge $\Omega = \{\text{aufrecht}, \text{liegend}\}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Flasche aufrecht landet, ist jedoch viel geringer. Deshalb handelt es sich hierbei nicht um ein Laplace-Experiment.
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