Laplace-Experimente – Beispiel mit zwei Würfeln

Laplace-Experimente – Beispiel mit zwei Würfeln Übung

• Benenne die möglichen Ergebnisse eines Laplace-Versuchs mit zwei Würfeln.

  Tipps

  Nimm dir zwei verschiedenfarbige Würfel und wirf die beiden Würfel. Notiere zunächst die Augenzahl des einen und dann die des anderen Würfels.

  Die Augensumme $2$ erhält man mit dem Paar $(1|1)$, die Augensumme $3$ mit $(1|2)$ und $(2|1)$.

  Auch das Betrachten der Augensumme oder des Produkts der Augenzahlen ist ein Zufallsversuch. Handelt es sich dabei um einen Laplace-Versuch, bei welchem für jedes Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit vorliegt?

  Lösung

  Wenn man mit zwei Würfeln würfelt, handelt es sich nicht immer um einen Laplace-Versuch.

  Wichtig ist dabei zu beachten, dass davon abhängt, was man als Ergebnis definiert, ob ein Laplace-Versuch vorliegt. Bei einem Laplace-Versuch hat nämlich jedes mögliche Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit.

  Die Ergebnisse sind Zahlenpaare:

  • Ein mögliches Ergebnis ist $(2|2)$. Das bedeutet, dass bei beiden Würfeln eine $2$ oben liegt.
  • Ein weiteres mögliches Ergebnis ist $(6|4)$ oder $(5|5)$.

  Wenn man die Summe oder das Produkt der Augenzahlen betrachten würde, würde kein Laplace-Versuch vorliegen.

  Dass die Summe der Augenzahlen zweier Würfel kein Laplaceexperiment sein kann, liegt daran, dass manche Summen wahrscheinlicher sind als andere. So kann man die Summe $2$ nur durch $(1|1)$ würfeln, dagegen die Summe $3$ durch $(1|2)$ und $(2|1)$. Am wahrscheinlichsten ist es übrigens, die Summe $7$ zu würfeln. Überzeuge dich selbst, indem du alle möglichen Kombinationen aufschreibst. Es gibt $36$.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die angegebenen Ereignisse beim zweimaligen Werfen eines Würfels.

  Tipps

  $P(E)$ für ein Ereignis $E$ berechnet sich als die Anzahl der zu $E$ gehörenden Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

  In der Grundmenge liegen alle Paare $(x;y)$, wobei $x$ und $y$ zwischen $1$ und $6$ liegen.

  Lösung

  In der Grundmenge liegen alle Paare $(x;y)$, wobei $x$ und $y$ zwischen $1$ und $6$ liegen. Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beträgt also $6\cdot 6=36$.

  $P(E)$ für ein Ereignis $E$ berechnet sich als die Anzahl der zu $E$ gehörenden Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Wir müssen also jeweils die Ergebnisse in dem Ereignis zählen:

  • $E_{\cdot ,4}=\{ (1;4),(2;4),\ldots ,(6;4)\}$: In $E_{\cdot ,4}$ liegen also sechs Ergebnisse. Damit gilt: $P(E_{\cdot ,4})=\frac{6}{36}=\frac16$.
  • $E_{56}=\{ (5;6),(6;5) \}$: In $E_{56}$ liegen also zwei Ergebnisse. Damit gilt: $P(E_{56})=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.
  • $E_{\geq 9}=\{ (3;6),(4;5),(5;4),(6;3),(4;6),(5;5),(6;4),(5;6),(6;5);(6;6)\}$: In $E_{\geq 9}$ liegen also zehn Ergebnisse. Damit gilt: $P(E_{\geq 9})=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$.

• Untersuche, ob es sich um einen Laplace-Versuch handelt.

  Tipps

  Ein Laplace-Versuch ist ein Zufallsversuch.

  Bei einem Laplace-Versuch hat jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit.

  Beim Werfen mit einem Würfel und der beobachteten Größe Augenzahl handelt es sich um einen Laplace-Versuch.

  Lösung

  Ein Zufallsversuch liegt vor, wenn der Ausgang des Versuchs nicht vorhersehbar ist. Zu jedem Ausgang, man nennt diese auch Ergebnisse, gehört eine Wahrscheinlichkeit.

  Das Besondere an einem Laplace-Versuch ist, dass die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse gleich sind.

  Das Werfen mit einer Münze ist ein Laplace-Versuch, da man davon ausgehen kann, dass sowohl Kopf als auch Zahl mit der gleichen Wahrscheinlichkeit, nämlich $\frac12$, oben liegen können.

  Das Werfen eines Zylinders, welcher sehr viel höher ist als der Durchmesser der Grundfläche, ist kein Laplace-Versuch, da es wahrscheinlicher ist, dass der Zylinder auf dem Mantel landet als auf Grundfläche.

  Wenn man beim zweimaligen Werfen eines Würfels das Produkt der Augenzahlen betrachtet, ist dies kein Laplace-Versuch, da das Produkt $1$ nur durch das Paar $(1|1)$ zustande kommt, $2$ jedoch durch zwei Paare, $(1|2)$ und $(2|1)$.

  In einer Urne befinden sich $5$ Kugeln, auf welchen sich die Zahlen von $1$ bis $5$ befinden. Drei Kugeln sind rot und zwei weiß:

  • Wenn die beobachtete Größe die Zahl ist, handelt es sich um einen Laplace-Versuch, da für das Ziehen jeder Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit gilt: $\frac15$.
  • Wenn die beobachtete Größe die Farbe ist, handelt es sich nicht um einen Laplace-Versuch, da die Wahrscheinlichkeit für rot größer ist als die für weiß.

• Bestimme das Ergebnis, welchem ein Laplace-Versuch zugrunde liegt.

  Tipps

  Bei einem Laplace-Versuch muss jedes Ergebnis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten.

  Überlege dir bei den möglichen Ergebnissen, ob sie auf verschiedene Arten zu Stande kommen können, und ob die Anzahl der Möglichkeiten sich unterscheidet.

  Lösung

  Je nachdem, welches Ergebnis betrachtet wird, kann bei gleicher Ausgangssituation ein Laplace-Experiment vorliegen oder auch nicht.

  Wenn ein Würfel zwei- oder dreimal geworfen wird, so ist das Ergebnis ein Paar oder ein Tripel aus Kopf und Zahl. Wird nur die Anzahl für Kopf oder Zahl betrachtet, so kann diese Anzahl auf verschieden Arten erreicht werden. Zum Beispiel erfüllen die Paare (Kopf|Zahl) und (Zahl|Kopf) jeweils „einmal Kopf“. Jedoch wird zweimal Kopf nur durch ein Paar (Kopf|Kopf) erreicht.

  Ebenso bei den Umschlägen. Wenn jeder Umschlag für sich betrachtet wird – dies geschieht zum Beispiel durch die Nummerierung – so liegt ein Laplace-Versuch vor. Wird die in dem Umschlag enthaltene Aufgabe betrachtet, so sind die Ergebnisse nicht mehr gleich wahrscheinlich, da sich mehr Geometrie-Aufgaben in den Umschlägen befinden als Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.

• Beschreibe, was ein Laplace-Versuch ist.

  Tipps

  In welchem Bereich befinden sich Wahrscheinlichkeiten?

  Ein Beispiel für einen Laplace-Versuch ist das Werfen mit einem Würfel.

  Überprüfe die Aussagen an diesem Beispiel.

  Lösung

  Handelt es sich beim Würfeln mit zwei Würfeln um einen Laplace-Versuch?

  Es kann jeweils ein Paar von Augenzahlen erscheinen.

  Ein Laplace-Versuch ist ein spezieller Zufallsversuch. Er zeichnet sich dadurch aus, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

  Da ein Laplace-Versuch ein Zufallsversuch ist, gilt:

  • Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ist $1$ sowie
  • die Wahrscheinlichkeiten sind immer größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$.

  Hierfür müssen die beiden Würfel unterschieden werden.

• Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens $7$ beträgt.

  Tipps

  Wie viele Paare befinden sich in der Ergebnismenge?

  Es gilt: $\Omega=\{(1|1);...;(1|4);...;(4|1);...;(4|4)\}$.

  Welche und wie viele Ergebnisse aus der Ergebnismenge ergeben eine Augensumme, die größer oder gleich $7$ ist?

  $P(E)$ berechnet sich als die Anzahl der zu $E$ gehörenden Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

  Lösung

  Man kann die Mengen aufschreiben, um die Anzahl der in ihr enthaltenen Ergebnisse zu bestimmen. Für die Ergebnismenge erhalten wir:

  $\Omega=\{(1|1);...;(1|4);...;(4|1);...;(4|4)\}$.

  Wie viele solcher Paare gibt es? Für die erste Postion und zweite Position gibt es jeweils $4$ Möglichkeiten. Es gibt also $4\cdot 4=16$ solcher Paare.

  Nun muss man noch überlegen, bei welchen Paaren die Augensumme mindestens $7$ beträgt:

  $E=\{(3|4);(4|3);(4|4)\}$.

  Dies sind $3$ Paare. Nun kann die Formel nach Laplace verwendet werden:

  $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$, also

  $P($Augensumme mindestens $7)=\frac3{16}=0,1875=18,75\%$.

  Alle drei Angaben für Wahrscheinlichkeiten sind möglich und üblich.