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Kettenregel – Übung

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Team Digital
Kettenregel – Übung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Kettenregel – Übung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Kettenregel anzuwenden, um verkettete Funktionen abzuleiten.

Zunächst lernst du, wie sich verkettete Funktionen zusammensetzen. Anschließend lernst du die Kettenregel kennen, Abschließend lernst du den Merkspruch “äußere Ableitung mal innere Ableitung”.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Verkettung, innere Funktion, äußere Funktion, Ableitung und Kettenregel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine verkettete Funktion ist.

Transkript Kettenregel – Übung

Jetzt wird's ernst! Die Fünfhunderttausend Euro Frage. Wie lautet die Ableitung der Funktion „f von x“ gleich „e hoch x Quadrat minus eins“? a: e hoch zwei x. b: e hoch x Quadrat minus eins. c: zwei x mal e hoch x Quadrat minus eins. oder d: zwei x mal e hoch zwei x. Sehnst du dich jetzt auch nach einem Telefonjoker? Damit wir uns nicht verzocken, scheint ein bisschen „Übung in der Anwendung der Kettenregel“ angebracht zu sein. Kettenregel – die kommt immer dann zum Einsatz, wenn wir eine verkettete Funktion ableiten wollen. Im Klartext heißt das: Wenn wir eine Funktion ableiten wollen, die wir in eine innere und eine äußere Funktion unterteilen können. Zu erkennen, dass es sich bei der Funktion, die wir ableiten wollen, um eine verkettete Funktion handelt, ist eigentlich schon die halbe Miete. Denn wenn uns einmal klar ist, was die innere und was die äußere Funktion ist, müssen wir diese nur noch einzeln ableiten, und dann eben die Kettenregel anwenden. Diese besagt: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich „äußere Ableitung mal innere Ableitung“. Schauen wir uns das nochmal an unserer Quizfrage an: Die innere Funktion ist hier „x Quadrat minus eins“. Als Faustregel können wir uns merken: Der Term, der die Variable x enthält, ist im Normalfall unsere innere Funktion. Der Term, in den diese innere Funktion eingesetzt wird, ist unsere äußere Funktion. In diesem Fall „e hoch x“. Wir bilden die äußere Ableitung, das ist einfach e hoch x. Die innere Ableitung erhalten wir, indem wir klassisch nach Potenz- und Summenregel ableiten: übrig bleibt zwei x. Jetzt brauchen wir nur noch die äußere Ableitung – in die die innere Funktion eingesetzt ist – mit der inneren Ableitung zu multiplizieren. Die beiden Faktoren können wir anschließend noch umstellen. Wir sehen: Antwortmöglichkeit c ist richtig! Antwortmöglichkeit d ist falsch, weil hier innerhalb der äußeren Ableitung auch die innere Ableitung gebildet wurde. Bei Antwort b fehlt die innere Ableitung. Zwei typische Fehler, auf die wir beim Ableiten mit der Kettenregel achten sollten. Um verkettete Funktionen richtig abzuleiten, sollten wir das Ganze ein bisschen trainieren! Hier also die nächste Frage: Auf welche dieser Funktionsgleichungen lässt sich die Kettenregel anwenden? Pausiere das Video kurz und überlege selbst! Dann gehen wir es gemeinsam durch. Wir benötigen die Kettenregel für die Funktionen f, h und i. Bei „h von x“ ist es auf den ersten Blick nicht einfach zu erkennen. Aber wenn wir den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, erkennen wir bei allen drei Funktionen jeweils eine innere, und eine äußere Funktion. Die Funktion „g von x“ können wir ganz klassisch mit Potenz- und Summenregel ableiten. Kannst du auch die verketteten Funktionen ableiten? Versuch es doch mal selber, bevor wir uns die Lösungen gemeinsam anschauen. Bei der ersten Funktion ist „minus zwei x Quadrat plus vier“ unsere innere und Sinus von x unsere äußere Funktion. Wir leiten beide ab – hierzu müssen wir wissen, dass wir Cosinus erhalten, wenn wir den Sinus ableiten. Dann multiplizieren wir die äußere Ableitung – Achtung, der innere Funktionsterm wird hier wieder unverändert eingesetzt – mit der inneren Ableitung. Das Ergebnis können wir noch etwas schöner darstellen – fertig! Bei „h von x“ hatten wir den ersten Schritt durch die Umwandlung in eine Potenz mit negativem Exponenten schon erledigt. Wir können dann festhalten: „Drei x minus zwei“ ist unsere innere, und „x hoch minus eins“ unsere äußere Funktion. Wir leiten beide Funktionen einzeln mit der Potenzregel ab, und müssen anschließend nur noch das Produkt bilden. Das Ergebnis können wir noch vereinfachen, und anschließend wieder als Bruch schreiben. Den kleinen Kniff, die Funktionsgleichung in eine Potenz umzuschreiben, wenden wir auch bei der letzten Aufgabe an. Die Wurzel können wir auch als „in Klammern hoch ein Halb“ schreiben, dann wie gewohnt innere und äußere Funktion ausfindig machen, beide ableiten, und multiplizieren. Auch hier können wir vereinfachen und wieder in die Wurzelschreibweise wechseln. Und? Bist du bereit für die „eine-Millionen-Euro-Frage“? Wie lautet die Ableitung der folgenden Funktion? a, b, c, oder d? Die Antwort erfährst du nach einer kleinen Werbeunterbrechung, die wir für eine Zusammenfassung nutzen. Wenn du die Anwendung der Kettenregel üben möchtest, solltest du vor allem trainieren, verkettete Funktionen als solche zu erkennen. Denn wenn du einmal weißt, wie du eine gegebene Funktion in äußere und innere Funktion unterteilen kannst, musst du diese Funktionen nur noch einzeln ableiten. Dafür ist es je nach Funktionstyp manchmal hilfreich, den Funktionsterm in die Potenzschreibweise umzuwandeln. Die gesamte Ableitungsfunktion ergibt sich dann durch die Multiplikation der äußeren Ableitung samt unveränderter innerer Funktion mit der inneren Ableitung. Kurz und knapp: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung.“ Wenn wir darin ein bisschen Routine aufgebaut haben, ist es auch gar nicht mehr schwer. Man muss nur den Überblick behalten! Das gilt auch für unsere große Preisfrage. Zugegeben: Die ist schon etwas kniffliger. Die richtige Antwort ist d! Und? Wärst du hier Millionär geworden?

Kettenregel – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kettenregel – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme jeweils die innere und die äußere Funktion.

    Tipps

    Wir nennen die innere Funktion $v(x)$ und die äußere Funktion $u(x)$. Die verkettete Funktion $f(x)$ schreiben wir dann formal als:
    $f(x)= u(v(x))$

    Du erkennst die innere Funktion daran, dass du sie beim schrittweise Berechnen des Funktionsterms zuerst berechnest.

    Lösung

    Eine verkettete Funktion liegt immer dann vor, wenn wir die Funktion in eine innere und äußere Funktion teilen können. Du erkennst sie daran, dass du beim Berechnen des Funktionsterms immer zuerst die innere Funktion berechnest und anschließend das Ergebnis in die äußere Funktion einsetzt.

    Wir nennen die innere Funktion $v(x)$ und die äußere Funktion $u(x)$. Die verkettete Funktion $f(x)$ schreiben wir dann formal als:
    $f(x)= u(v(x))$

    Wir betrachten die gegebenen Funktionen:

    • $f(x)= \sin (-2x^2+4)$
    Die innere Funktion lautet: $v(x)= -2x^2+4$

    Die äußere Funktion lautet: $u(x)=\sin(x)$

    • $f(x)= (3x-2)^{-1}$
    Die innere Funktion lautet: $v(x)=3x-2$

    Die äußere Funktion lautet: $u(x)=x^{-1}$

    • $f(x)=(3x^2+5)^7$
    Die innere Funktion lautet: $v(x)=3x^2+5$

    Die äußere Funktion lautet: $u(x)=x^7$


    Ergänzung:
    Beim Ableiten von verketteten Funktionen können wir die Kettenregel anwenden. Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich die äußere Ableitung mal die innere Ableitung. Wir schreiben dies formal wie folgt:
    $f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$

  • Bestimme die Ableitung der Funktion $~f(x) = e^{x^2 -1}~$ mithilfe der Kettenregel.

    Tipps

    Der Term, der die Variable $x$ enthält, ist im Normalfall die innere Funktion.

    Im Exponenten muss bei der Exponentialfunktion nach dem Ableiten immer noch dasselbe stehen.

    Lösung

    Um die Ableitung der gegebenen Funktion zu bilden, müssen wir die Kettenregel anwenden. Diese lautet:
    Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich die äußere Ableitung mal die innere Ableitung.
    Wir schreiben dies formal wie folgt: $f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$

    Wir leiten diese Schritt für Schritt her:

    $f(x)=e^{x^2 -1}$

    • Die innere Funktion lautet:
    $v(x)=$ $\color{#669900}{\mathbf{x^2-1}}$


    • Die äußere Funktion lautet:
    $u(x)=$ $\color{#669900}{\mathbf{e^x}}$

    Wir leiten die innere und äußere Funktion ab:

    • $v'(x)=$ $\color{#669900}{\mathbf{2x}}$
    • $u'(x)=$ $\color{#669900}{\mathbf{e^x}}$
    Wir setzen dies in die Formel ein:

    $\begin{array}{ll} f'(x) &= u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{x^2 - 1} \cdot 2x \\ &= \color{#669900}{\mathbf{2xe^{x^2 - 1}}} \end{array}$

  • Entscheide, bei welcher der folgenden Funktionen sich die Kettenregel anwenden lässt.

    Tipps

    Beim Ableiten von verketteten Funktionen können wir die Kettenregel anwenden. Eine verkettete Funktion liegt immer dann vor, wenn wir die Funktion in eine innere und äußere Funktion teilen können.

    Beispiel:

    Bei der Funktion $f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{x}}\ $ können wir die Kettenregel anwenden. Die innere Funktion lautet $v(x)=\sqrt{x}$ und die äußere Funktion lautet $u(x)=\dfrac{1}{x} $.

    Lösung

    Erste Funktion: $f(x)= (x^3-1)^5$
    Es handelt sich um eine verkettete Funktion. Sie teilt sich in folgende Funktionen:

    • innere Funktion:
    $v(x)=x^3-1$
    $\Rightarrow \quad v'(x)=3x$
    • äußere Funktion:
    $u(x)=x^5$
    $\Rightarrow \quad u'(x)=5x^4$

    Die Ableitung lautet dann:

    $f'(x)= 5(x^3-1)^4 \cdot 3x = 15x(x^3-1)^4$

    Die Kettenregel kann angewendet werden.

    $\,$

    Zweite Funktion: $f(x) = \sin x +x^5$
    Es handelt sich nicht um eine verkettete Funktion. Es werden lediglich zwei Funktionen addiert.
    Die Kettenregel kann nicht angewendet werden.

    $\,$

    Dritte Funktion: $f(x)= \sqrt{x^3-1}$
    Es handelt sich um eine verkettete Funktion. Sie teilt sich in folgende Funktionen:

    • innere Funktion:
    $v(x)=x^3-1$
    $\Rightarrow \quad v'(x)=3x$
    • äußere Funktion:
    $u(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
    $\Rightarrow \quad u'(x)=\dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} $

    Die Ableitung lautet dann:

    $\begin{array}{ll} f'(x) &= \dfrac{1}{2} (x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3x \\ & \\ &=\dfrac{3}{2}x \cdot (x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \\ & \\ &= \dfrac{3x}{2\sqrt{x^3-1}} \end{array}$

    Die Kettenregel kann angewendet werden.

    $\,$

    Vierte Funktion: $f(x)= \dfrac{1}{\sin x}$
    Es handelt sich um eine verkettete Funktion. Sie teilt sich in folgende Funktionen:

    • innere Funktion:
    $v(x)=\sin x$
    $\Rightarrow \quad v'(x)=\cos x$
    • äußere Funktion:
    $u(x)=\dfrac{1}{x} = x^{-1}$
    $\Rightarrow \quad u'(x)=-1 \cdot x^{-2} $

    Die Ableitung lautet dann:

    $\begin{array}{ll} f'(x) &= -1 \cdot (\sin x)^{-2} \cdot \cos x \\ & \\ &= -\dfrac{1}{(\sin x)^2} \cdot \cos x \\ & \\ &= -\dfrac{\cos x}{(\sin x)^2} \end{array}$

    Die Kettenregel kann angewendet werden.

    $\,$

    Fünfte Funktion: $f(x) = \dfrac{1}{x} -x$
    Es handelt sich nicht um eine verkettete Funktion. Es werden lediglich zwei Funktionen subtrahiert.
    Die Kettenregel kann nicht angewendet werden.

    $\,$

    Sechste Funktion: $f(x) = e^x$
    Es handelt sich nicht um eine verkettete Funktion.
    Die Kettenregel kann nicht angewendet werden.

  • Leite die Funktionen mithilfe der Kettenregel ab.

    Tipps

    $f(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
    $\Rightarrow \quad f'(x)=\dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$

    Ermittle zunächst, was die innere und was die äußere Funktion ist und leite sie jeweils ab.

    Lösung

    Beim Ableiten von verketteten Funktionen können wir die Kettenregel anwenden:
    $f(x)= u(v(x))$
    $\Rightarrow \quad f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$

    Wir benennen bei den gegebenen Funktionen jeweils die innere und äußere Funktion und bestimmen deren Ableitung. Anschließend setzen wir in die Formel der Kettenregel ein.

    Erste Funktion:

    $f(x)= (x^2+1)^2$

    • innere Funktion:
    $v(x)=x^2+1$
    $\Rightarrow \quad v'(x)=2x$
    • äußere Funktion:
    $u(x)=x^2$
    $\ \ \Rightarrow \quad u'(x)=2x$

    $\begin{array}{ll}\Rightarrow \quad f'(x) &= 2(x^2+1) \cdot 2x \\ &= (2x^2+2) \cdot 2x \\ &= 4x^3 +4x \end{array}$

    Zweite Funktion:

    $f(x)= \dfrac{1}{(x^2+1)^3}$

    • innere Funktion:
    $v(x)=x^2+1$
    $\Rightarrow \quad v'(x)=2x$
    • äußere Funktion:
    $u(x)=\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$
    $\ \ \Rightarrow \quad u'(x)=-3x^{-4}$

    $\begin{array}{ll} \Rightarrow \quad f'(x) &= -3(x^2+1)^{-4} \cdot 2x \\ &= -6x(x^2+1)^{-4} & \\ &= -\dfrac{6x}{(x^2+1)^4} \end{array}$

    Dritte Funktion:

    $f(x)= \sqrt{x^2+1}$

    • innere Funktion:
    $v(x)=x^2+1$
    $\Rightarrow \quad v'(x)=2x$
    • äußere Funktion:
    $u(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
    $\ \ \Rightarrow \quad u'(x)=\dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} $

    $\begin{array}{ll}\Rightarrow \quad f'(x) &= \dfrac{1}{2} (x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \\ & \\ &= x \cdot (x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \\ & \\ &= \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \end{array}$

    Vierte Funktion:

    $f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{x}}$

    • innere Funktion:
    $v(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
    $\Rightarrow \quad v'(x)=\dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} $
    • äußere Funktion:
    $u(x)=\dfrac{1}{x} = x^{-1}$
    $\ \ \Rightarrow \quad u'(x)=-1 \cdot x^{-2} $

    $\begin{array}{ll} \Rightarrow \quad f'(x) &= -1 \cdot (\sqrt{x})^{-2} \cdot \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \\ & \\ &= - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{(\sqrt{x})^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} \\ & \\ &= -\dfrac{1}{2 \cdot x \cdot \sqrt{x}} \end{array}$

  • Vervollständige die Kettenregel.

    Tipps

    Hier ist ein Beispiel für die Anwendung der Kettenregel:

    $f(x)= (3x^2+5)^7$
    $f'(x)= 7(3x^2+5)^6 \cdot 6x$

    Um die Kettenregel anzuwenden, musst du sowohl die innere als auch die äußere Funktion ableiten.

    Lösung

    Beim Ableiten von verketteten Funktionen können wir die Kettenregel anwenden. Eine verkettete Funktion liegt immer dann vor, wenn wir die Funktion in eine innere und äußere Funktion teilen können.

    Wir nennen die innere Funktion $v(x)$ und die äußere Funktion $u(x)$. Die verkettete Funktion $f(x)$ schreiben wir dann als:

    $f(x)= u(v(x))$

    Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich die äußere Ableitung mal die innere Ableitung. Wir schreiben dies formal wie folgt:

    $f'(x)= u'(v(x)) \cdot \color{#669900}{\mathbf{v'(x)}}$

    Wir betrachten dazu ein Beispiel:

    $f(x)= (3x^2+5)^7$

    Die innere Funktion lautet hierbei:
    $v(x)=3x^2+5$

    Die äußere Funktion ist $u(x)=x^7$.

    Wir leiten die Funktion ab, indem wir die Kettenregel anwenden. Dazu bilden wir erst die Ableitung der inneren und der äußeren Funktion:

    $\Rightarrow \quad v'(x)= 6x$

    $\Rightarrow \quad u'(x)= 7x^6$

    Die Ableitung der verketteten Funktion lautet also:

    $f'(x)= 7(3x^2+5)^6 \cdot 6x$

  • Ermittle die Ableitung der Funktionen.

    Tipps

    Du kannst die Kettenregel mehrmals hintereinander anwenden.

    Die zweifache Anwendung der Kettenregel lässt sich formal so formulieren: $f(x)= w(u(v(x)))$
    $\Rightarrow \quad f'(x)= w'(u(v(x)) \cdot u'(v(x)) \cdot v'(x)$

    Lösung

    Beim Ableiten von verketteten Funktionen können wir die Kettenregel anwenden:
    $f(x)= u(v(x))$
    $f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$

    Bei manchen Funktionen sind auch mehr als zwei Funktionen ineinander verkettet. Wir können die Kettenregel dann mehrmals hintereinander anwenden:

    $f(x)= w(u(v(x)))$
    Wir ermitteln zuerst die Ableitung von $u(v(x))$.
    Diese lautet: $u'(v(x)) \cdot v'(x)$.
    Wir setzen diese in die verkettete Funktion ein und erhalten:

    $f'(x)= w'(u(v(x))) \cdot u'(v(x)) \cdot v'(x)$

    Wir führen das bei den gegebenen Funktionen durch:

    1) $f(x)= e^{\sin (x^2+1)}$

    • $v(x)= x^2+1 \quad \Rightarrow \quad v'(x)= 2x$
    • $u(x)= \sin x \quad \Rightarrow \quad u'(x) = \cos x$
    • $w(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad w'(x)= e^x$
    $\begin{array}{ll}\Rightarrow \quad f'(x) &= w'(u(v(x))) \cdot u'(v(x)) \cdot v'(x) \\ & \\ &= e^{\sin (x^2+1)} \cdot \cos(x^2+1) \cdot 2x \\ & \\ &=\color{#669900}{\mathbf{2xe^{\sin (x^2+1)} \cdot \cos(x^2+1)}} \end{array}$


    2) $f(x)= \sin(e^{x^2+1})$

    • $v(x)= x^2+1 \quad \Rightarrow \quad v'(x)= 2x$
    • $u(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad u'(x)= e^x$
    • $w(x)= \sin x \quad \Rightarrow \quad w'(x) = \cos x$
    $\begin{array}{ll}\Rightarrow \quad f'(x) &= w'(u(v(x))) \cdot u'(v(x)) \cdot v'(x) \\ & \\ &= \cos(e^{x^2+1}) \cdot e^{x^2+1} \cdot 2x \\ & \\ &= \color{#669900}{\mathbf{2xe^{x^2+1} \cdot \cos(e^{x^2+1})}} \end{array}$

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