Kettenregel – Anwendung

Hallo, in diesem Video möchte ich mit euch einfach mal ein paar Ableitungen durchrechnen, die vielleicht Schwierigkeiten bereiten könnten, nämlich eine Kettenregel mit Quotientenregel, eine Kettenregel mit Logarithmus und dann noch zwei Funktionen, von denen man mit den normalen Regeln gar nicht die Ableitung bestimmen kann, sondern da muss man einen kleinen Trick anwenden, nämlich x^x und x^{sinus x}.

Als Erstes nehmen wir die Funktion 4-3x/(4+3x) und das Ganze zum Quadrat. Wir haben ja in der Klammer eine Funktion. Für die schreibe ich jetzt die berühmte Kiste, das heißt: die Kiste wird quadriert. So sehe ich nämlich besser, dass das eine Kettenregel ist und weiß, was ich beim Ableiten machen muss. Wir nehmen nämlich 2 mal die innere Funktion mal die Ableitung der inneren Funktion. Also: 2 mal den Klammerausdruck und dann müssen wir den Klammerausdruck ableiten. Das ist eine Quotientenregel, also: ((u'×v)-(u×v'))/v². Das lässt sich noch vereinfachen. Der vordere Teil bleibt erst mal gleich. Und im hinteren Teil lösen wir die Klammern auf. Der erste Teil bleibt wieder stehen und im hinteren Teil können wir den Zähler zu -24 zusammenfassen, sodass wir als Ergebnis erhalten: (-48×(4-3x))/(4+3x)³.

Als Nächstes nehmen wir die Funktion Logarithmus zur Basis 10 aus Wurzel x³. Da bietet es sich an, die Wurzel x³ erst mal als Potenz zu schreiben. Das sind dann x³/2. Wir haben also den Logarithmus zur Basis 10 und dann noch eine innere Funktion. Der Logarithmus abgeleitet ergibt: 1/ln10 × 1/(das Argument). Und weil das Argument, unsere Kiste, wieder eine Funktion ist, müssen wir die dann noch ableiten: also ×Kiste'.

 f'von x ist dann also: 1/ln10 × 1/(die innere Funktion, also x³/2) mal die innere Funktion abgeleitet, das geht mit den Potenzgesetzen: Das ist 3/2×x¹/2. Dann schreiben wir mal die Zahlen zusammen und die x-Potenzen zusammen. Die x-Potenzen kürzen sich dann noch zu 1/x.   So, jetzt schauen wir uns die Funktion von x = x^x an. Da ist jetzt die Frage, nach welchen Regeln man diese ableitet. Wenn man die als Potenzfunktion behandelt, dann müsste der Exponent aber fest sein. Der ist hier auch variabel, als geht das nicht. Wenn man sie wiederum als Exponentialfunktion behandelt, müsste ja die Basis fest sein und das ist ja auch nicht. Also geht das auch nicht. Dann bedient man sich eines Tricks, und zwar schreibt man: x als e^{ln x}. Das geht, denn e und ln sind ja Umkehrfunktionen. Das setzt man dann für die Basis ein. Da kriegt man also: e^{ln x} und das Ganze ^x. Das kann man dann mit Potenzgesetzen schreiben, als e^{x×(ln x)}. Und das ist dann eine Exponentialfunktion mit fester Basis. Die können wir also ableiten. Da müssen wir wieder die Kettenregel anwenden, denn wir haben ja e^{eine Funktion}. Beim Ableiten bleibt dann die Exponentialfunktion gleich, aber wir multiplizieren noch mit der inneren Ableitung. Wir übernehmen also: e^{x×(ln x)} und haben dann eine Produktregel. Als Erstes kommt u'×v, also 1×(ln x) und dann u×v', also x×1/x. So und e^{x×(ln x)} ist das Gleiche, wie x^x. Das habe wir ja oben gerade so umgeformt. Und die Klammer können wir dann noch vereinfachen zu (ln x)+1. Und das ist dann die Ableitung.   Bei der Funktion x^{sinus x} ist auch wieder weder die Basis noch der Exponent konstant. Deswegen ersetzen wir wieder das x in der Basis durch e^{ln x} und nehmen dann das Ganze hoch (sinus x). Mit Potenzgesetzen ergibt das Ganze dann e^((sinus x)×(ln x). Beim Ableiten können wir den Exponentialausdruck wieder abschreiben, denn es ergibt sich ja: e^{innere Funktion}×(Ableitung der inneren Funktion). Und das ist wieder eine Produktregel: u'×v ist cosinus mal ln und u×v' ist sinus mal 1/x. Der erste Teil ist wieder der Term, den wir aus x^{sinus x} hergeleitet hatten und die Klammer danach bleibt stehen: Und das ist die Ableitung. Wenn ihr also Potenzen ableiten müsst, bei denen in der Basis und dem Exponenten x-Terme vorkommen, also Funktionen, dann müsst ihr die Basis mit Hilfe von e^ln ausdrücken. Dann kommt ihr mit Potenzgesetzen immer auf eine reine Exponentialfunktion und die kann man dann ableiten. Und damit ist das Video jetzt zu Ende.