Verkettete Funktionen

Stell dir vor, du hast dir einen Laptop geliehen, weil dein eigener den Geist aufgegeben hat. Und ausgerechnet dann verschüttest du auch noch deinen Kaffee – auf den geliehenen Laptop. Das ist eindeutig eine Verkettung unglücklicher Umstände. Wie wir Funktionen verketten können, schauen wir uns in diesem Video an. „Verkettete Funktionen“ - unter der Bezeichnung kann man sich erstmal nicht wirklich was vorstellen. Dahinter verbirgt sich aber eine ganz einfache Idee – nämlich die Verknüpfung von zwei oder mehreren Funktionsvorschriften, die in einer Funktionsgleichung zusammengefasst werden. Wir machen uns das an unserem Einstiegsbeispiel deutlich. Der Umstand „Ich habe mir einen Laptop geliehen“ und der Umstand „ich habe den Kaffee verschüttet“ führt in Kombination zu dem Ergebnis: „Jetzt hab ich den geliehenen Laptop geschrottet.“ Große Klasse! Zurück zur Mathematik. Geben wir diesen Umständen mal zwei x-beliebige Funktionsterme als Namen. Den ersten taufen wir „v von x gleich zwei x minus eins“, den zweiten „u von x gleich x hoch zwei.“ Schöne Namen, nicht wahr? Der erste Umstand sagt uns also: „Verdopple einen Wert x und subtrahiere anschließend eins.“ aka „Ich habe mir einen Laptop geliehen.“ Der zweite Umstand lautet: „Quadriere einen Wert“. aka „Ich habe den Kaffee verschüttet.“ Für sich genommen sind beide Funktionsterme nicht sonderlich problematisch. Doch was passiert, wenn wir sie verketten, also nacheinander ausführen? Schauen wir es uns einmal an: Wir starten mit einem beliebigen Wert x, und wenden die erste Anweisung an. Sprich wir verdoppeln ihn und subtrahieren eins. Die zweite Anweisung wenden wir jetzt anschließend auf den resultierenden Term an. Wir quadrieren also „zwei x minus eins“. Das Ergebnis ist unsere verkettete Funktion. Wir nennen sie „f von x“ beziehungsweise „Ich habe den geliehenen Laptop geschrottet.“ Das Beispiel macht deutlich, worum es bei der Verkettung von Funktionen geht: Nämlich die Hintereinanderausführung von mehreren Funktionstermen. Streng mathematisch formulieren wir das so: Die Funktion f mit „f von x“ gleich „u von v von x“ ist die Verkettung der Funktionen u und v. Wenn wir also auf einen x-Wert zunächst die Funktion „v“, und auf den resultierenden Wert anschließend „u“ anwenden, haben wir insgesamt die Funktion „f“ ausgeführt. Funktion v, die wir zuerst ausführen, nennen wir die innere Funktion. Funktion u, die anschließend ausgeführt wird, ist die äußere Funktion. Dazu schauen wir uns noch ein Beispiel an. Gegeben sind die Funktionen „u von x“ gleich „eins durch zwei x“, und „v von x“ gleich „drei x Quadrat minus zwei“. u ist unsere äußere Funktion, und v die innere Funktion. Um die Funktion „f von x“ gleich „u von v von x“ aufzustellen, starten wir mit der inneren Funktion und setzen für „v von x“ den entsprechenden Funktionsterm ein. Jetzt müssen wir noch die äußere Funktion auf diesen Funktionsterm anwenden. Wir setzen also die innere Funktion für x in die äußere Funktion ein. Fertig ist unsere verkettete Funktion „f von x“. Achtung! Es macht einen Unterschied, welche Funktion wir in die andere einsetzen. Schauen wir uns das ganze mal andersherum an: Wir bilden die Funktion „g von x“ gleich „v von u von x“. Jetzt führen wir also zuerst „u von x“ aus, und wenden auf diesen Funktionsterm dann v an, setzen ihn also für das x in v ein. So erhalten wir diesen Funktionsterm, der sich eindeutig von „f von x“ unterscheidet. Wir müssen daher immer darauf achten die Funktion, die als innere festgelegt wurde, zuerst und die äußere Funktion erst anschließend anzuwenden. Oft ist es in der Mathematik sehr nützlich, eine gegebene Funktion als Verkettung zu betrachten beziehungsweise darzustellen. Wir schauen uns auch dazu ein Beispiel an. Die Funktion „f von x“ gleich „e hoch sechs x plus fünf“ soll so in die Funktionen u und v unterteilt werden, dass „f von x“ gleich „u von v von x“ gilt. Wir müssen also die innere und die äußere Funktion so festlegen, dass sie verkettet „f von x“ ergeben. Dazu schauen wir uns zuerst den Term an, der das x enthält. „Sechs x plus fünf“ wird hier zuerst ausgeführt, und anschließend in den Exponenten von e eingesetzt. Daher können wir hier „sechs x plus fünf“ als innere, und die e-Funktion „e hoch x“ als äußere Funktion festlegen. Dann haben wir „u von v von x“ gleich „u von sechs x plus fünf“ gleich „e hoch sechs x plus fünf“. Und das ist – wie wir es wollten – gleich f von x. Fassen wir das Ganze nochmal zusammen. Bei verketteten Funktionen geht es um die Hintereinanderausführung von Funktionstermen. Die Funktion, die wir zuerst ausführen, ist die innere Funktion. Die Funktion die wir als Zweites ausführen, nennen wir äußere Funktion. Ineinander verschachtelt ergeben sie zusammen die verkettete Funktion. Die Darstellung als Verkettung vereinfacht für uns die Betrachtung komplexer Funktionsterme. Genauer gesagt: Wir können eine komplexe Funktion so in eine innere und eine äußere Funktion unterteilen. Das erfordert ein scharfes Auge und Konzentration – ähnlich, wie wenn man auf einem fremden Laptop zocken, Mathe lernen und dabei gleichzeitig Kaffee trinken möchte.