Kettenregel – Übung

Innere oder äußere Funktion

• $x^7$ ist die äußere Funktion von $(3x + 5)^7$.
  Die innere Funktion ist $3x + 5$.
• $x^2 - x$ ist die innere Funktion von $\cos(x^2 - x)$.
  Die äußere Funktion ist $\cos(x)$.
• $\sin(x)$ ist die innere Funktion von $(\sin(x))^3$.
  Die äußere Funktion ist $x^3$.

• Die innere Funktion von $(x - 5 + x^3)^4$ ist $x - 5 + x^3$.
  Die äußere Funktion ist $x^4$.
• Die äußere Funktion von $\sin(2x)$ ist $\sin(x)$.
  Die innere Funktion ist $2x$.
• Die äußere Funktion von $(\cos(x))^2 + 3\cos(x)$ ist $x^2 + 3x$.
  Die innere Funktion ist $\cos(x)$.

äußere Funktion: $u(x) = x^2$
innere Funktion: $v(x) = x^2 + 1$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = 2x$
$v'(x) = 2x$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = 2(x^2 + 1) \cdot 2x = \underline{\underline{4x(x^2 + 1)}}$

äußere Funktion: $u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $
innere Funktion: $v(x) = x^3 - 4$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$v'(x) = 3x^2$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^3 - 4}} \cdot 3x^2 = \underline{\underline{\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3 - 4}}}}$

äußere Funktion: $u(x) = \dfrac{1}{x^3} = x^{-3} $
innere Funktion: $v(x) = x - 2$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = -3 \cdot x^{-4}$
$v'(x) = 1$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = -3 \cdot (x - 2)^{-4} \cdot 1 = \underline{\underline{-\dfrac{3}{(x - 2)^4}}}$

äußere Funktion: $u(x) = x^4$
innere Funktion: $v(x) = 2x + 5$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = 4x^3$
$v'(x) = 2$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = 4(2x + 5)^3 \cdot 2 = \underline{\underline{8(2x + 5)^3}}$

äußere Funktion: $u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
innere Funktion: $v(x) = x^2 + 1$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$v'(x) = 2x$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \underline{\underline{\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}}$

äußere Funktion: $u(x) = x^5$
innere Funktion: $v(x) = 3x^2 - x$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = 5x^4$
$v'(x) = 6x - 1$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = 5(3x^2 - x)^4 \cdot (6x - 1) = \underline{\underline{5(6x - 1)(3x^2 - x)^4}}$

äußere Funktion: $u(x) = \dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$
innere Funktion: $v(x) = x^2 - 1$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = -2 \cdot x^{-3}$
$v'(x) = 2x$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = -2 \cdot (x^2 - 1)^{-3} \cdot 2x = \underline{\underline{-\dfrac{4x}{(x^2 - 1)^3}}}$

äußere Funktion: $u(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$
innere Funktion: $v(x) = x^4 + 3x$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = \dfrac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
$v'(x) = 4x^3 + 3$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x^4 + 3x)^2}} \cdot (4x^3 + 3) = \underline{\underline{\dfrac{4x^3 + 3}{3\sqrt[3]{(x^4 + 3x)^2}}}}$

äußere Funktion: $u(x) = \dfrac{1}{x^6} = x^{-6}$
innere Funktion: $v(x) = x^3 - x$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = -6 \cdot x^{-7}$
$v'(x) = 3x^2 - 1$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = -6 \cdot (x^3 - x)^{-7} \cdot (3x^2 - 1)$

$\qquad ~~ = \dfrac{-6(3x^2 - 1)}{(x^3 - x)^7} = \underline{\underline{\dfrac{-18x^2 +6}{(x^3 - x)^7}}}$

äußere Funktion: $u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
innere Funktion: $v(x) = 2x^3 - x$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$v'(x) = 6x^2 - 1$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{2x^3 - x}} \cdot (6x^2 - 1) = \underline{\underline{\dfrac{6x^2 - 1}{2\sqrt{2x^3 - x}}}}$

äußere Funktion: $u(x) = \sin(x)$
innere Funktion: $v(x) = x^2$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = \cos(x)$
$v'(x) = 2x$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = \underline{\underline{2x \cos(x^2)}}$

äußere Funktion: $u(x) = e^x$
innere Funktion: $v(x) = x + 1$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = e^x$
$v'(x) = 1$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{x+1} \cdot 1 = \underline{\underline{e^{x+1}}}$

äußere Funktion: $u(x) = \cos(x)$
innere Funktion: $v(x) = 3x$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = -\sin(x)$
$v'(x) = 3$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = -\sin(3x) \cdot 3 = \underline{\underline{-3 \sin(3x)}}$

äußere Funktion: $u(x) = e^x$
innere Funktion: $v(x) = x^2$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = e^x$
$v'(x) = 2x$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = \underline{\underline{2x e^{x^2}}}$

äußere Funktion: $u(x) = \sin(x)$
innere Funktion: $v(x) = x^3 - x$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = \cos(x)$
$v'(x) = 3x^2 - 1$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \cos(x^3 - x) \cdot (3x^2 - 1) = \underline{\underline{(3x^2 - 1) \cos(x^3 - x)}}$

äußere Funktion: $u(x) = \cos(x)$
innere Funktion: $v(x) = x^2 + 3$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = -\sin(x)$
$v'(x) = 2x$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = -\sin(x^2 + 3) \cdot 2x = \underline{\underline{-2x \sin(x^2 + 3)}}$

äußere Funktion: $u(x) = e^x$
innere Funktion: $v(x) = 2x^2 - x$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = e^x$
$v'(x) = 4x - 1$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{2x^2 - x} \cdot (4x - 1) = \underline{\underline{(4x - 1) e^{2x^2 - x}}}$

äußere Funktion: $u(x) = \sin(x)$
innere Funktion: $v(x) = e^x$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = \cos(x)$
$v'(x) = e^x$

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \cos(e^x) \cdot e^x = \underline{\underline{e^x \cos(e^x)}}$

äußere Funktion: $u(x) = \cos(x)$
innere Funktion: $v(x) = e^{x^2}$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = -\sin(x)$
$v'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \quad$ (mit Kettenregel, siehe oben)

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = -\sin(e^{x^2}) \cdot (e^{x^2} \cdot 2x) = \underline{\underline{-2x e^{x^2} \sin(e^{x^2})}}$

äußere Funktion: $u(x) = e^x$
innere Funktion: $v(x) = \sin(x^2)$

Ableitung von $u$ und $v$ bilden:
$u'(x) = e^x$
$v'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x \quad$ (mit Kettenregel, siehe oben)

Einsetzen in $f'(x)$:
$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{\sin(x^2)} \cdot (\cos(x^2) \cdot 2x) = \underline{\underline{2x e^{\sin(x^2)} \cos(x^2)}}$

benötigte Ableitungsregel: Produktregel und Kettenregel

Produktregel: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Kettenregel: Ableitung von $v(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ erfordert die Kettenregel.

Teilterme definieren:

• $u(x) = x^2$
• $v(x) = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}}$

Ableitungen berechnen:
$u'(x) = 2x$
$v'(x) = \dfrac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Einsetzen in die Produktregel:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
$f'(x) = 2x \cdot \sqrt{x^2 + 1} + x^2 \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Vereinfachen:
$f'(x) = \dfrac{2x(x^2 + 1)}{\sqrt{x^2 + 1}} + \dfrac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{2x^3 + 2x + x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{3x^3 + 2x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \underline{\underline{\dfrac{x(3x^2 + 2)}{\sqrt{x^2 + 1}}}}$

benötigte Ableitungsregel: Produktregel und Kettenregel

Produktregel: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Kettenregel: Ableitung von $v(x) = \sin(x^2)$ erfordert die Kettenregel.

Teilterme definieren:

• $u(x) = e^x$
• $v(x) = \sin(x^2)$

Ableitungen berechnen:
$u'(x) = e^x$
$v'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x$

Einsetzen in die Produktregel:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
$f'(x) = e^x \cdot \sin(x^2) + e^x \cdot (\cos(x^2) \cdot 2x)$

$e^x$ ausklammern (Faktorisieren):
$f'(x) = \underline{\underline{e^x \lbrack\sin(x^2) + 2x \cos(x^2)\rbrack}}$

benötigte Ableitungsregel: Quotientenregel und Kettenregel

Quotientenregel: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$
Kettenregel: Ableitung von $v(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ erfordert die Kettenregel.

Teilterme definieren:

• $u(x) = x$
• $v(x) = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}}$

Ableitungen berechnen:
$u'(x) = 1$
$v'(x) = \dfrac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Einsetzen in die Quotientenregel:
$f'(x) = \dfrac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}$

Vereinfachen:
$f'(x) = \dfrac{\frac{\sqrt{x^2 + 1}^2}{\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \dfrac{x^2 + 1 - x^2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 +1}} =\dfrac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 +1}} = \underline{\underline{\dfrac{1}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}}}$

(Alternative: $x \cdot (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} ~ \Rightarrow ~$ Produktregel und Kettenregel)

benötigte Ableitungsregel: Produktregel und Kettenregel

Produktregel: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Kettenregel: Ableitung von $u(x) = (x^3 - 1)^2$ erfordert die Kettenregel.

Teilterme definieren:

• $u(x) = (x^3 - 1)^2$
• $v(x) = e^x$

Ableitungen berechnen:
$u'(x) = 2(x^3 - 1) \cdot 3x^2 = 6x^2(x^3 - 1)$
$v'(x) = e^x$

Einsetzen in die Produktregel:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
$f'(x) = 6x^2(x^3 - 1) \cdot e^x + (x^3 - 1)^2 \cdot e^x$

$e^x$ ausklammern (Faktorisieren):
$f'(x) = e^x \left(6x^2(x^3 - 1) + (x^3 - 1)^2\right) = \underline{\underline{e^x (x^3 - 1)\lbrack x^3 + 6x^2 - 1\rbrack}}$

benötigte Ableitungsregel: Produktregel und Kettenregel

Produktregel: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Kettenregel: Ableitung von $v(x) = \cos(x^2)$ erfordert die Kettenregel.

Teilterme definieren:

• $u(x) = \sin(x)$
• $v(x) = \cos(x^2)$

Ableitungen berechnen:
$u'(x) = \cos(x)$
$v'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x$

Einsetzen in die Produktregel:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
$f'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x^2) + \sin(x) \cdot \left(-\sin(x^2) \cdot 2x\right)$

Vereinfachen:
$f'(x) = \underline{\underline{\cos(x)\cos(x^2) - 2x\sin(x)\sin(x^2)}}$