Kettenregel – Anschauliche Erklärung

Hallo! Du kennst die Kettenregel, und hier möchte ich mal zeigen, wie du dir vorstellen kannst, warum die Kettenregel so ist, wie sie ist. Wir haben hier eine Zeichnung, die soll eine verkettete Funktion darstellen. Hier setzt man was, eine Zahl, für x ein. Das ist hier x0 jetzt, ein bestimmtes x also. Das wird hier mit der inneren Funktion auf diesen Funktionswert abgebildet. Dann könnte man das drehen. Und hier beginnt jetzt die äußere Funktion, und die bildet jetzt diesen Funktionswert auf, hier, diesen nächsten Funktionswert ab, und das ist hier der Funktionswert der verketteten Funktion. Das kann man auch natürlich machen mit einem x, das jetzt ein bisschen weiter rechts ist. Also x0+h. Setzt man hier ein, rechnet den inneren Funktionswert aus, das ist der hier. Den nimmt man als Argument, oder als x-Wert, wie man so sagt, für die äußere Funktion. Rechnet auch den Funktionswert aus und hier ist dann also der Funktionswert der verketteten Funktion. Der ist also hier. Jetzt soll folgendes gelten. Das ist hier eine Funktion mit der Steigung 1. Und in allen 3 Bildern ist die äußere Funktion gleich, hier. Das ist zwar auch ungefähr die Steigung 1, das macht jetzt aber nichts. Hier haben wir eine Funktion mit der Steigung 1. Das bedeutet zunächst Mal, dass dieses Intervall genauso groß ist wie dieses. Ich glaube, das ist mir zeichnerisch nicht ganz gelungen. Wenn wir hier eine Steigung von 1 haben, dann muss dieses Intervall natürlich so groß sein wie das hier. Ich glaub, das muss ich nicht weiter erklären, kann man so sehen. Warum habe ich hier nur lineare Funktionen aufgezeichnet? Na ja, weil´s einfach ist. Und aus dem anderen Grund noch, weil wir ja, wenn wir Ableitungen bestimmen, uns in sehr kleinen Bereichen bewegen, und wenn wir uns jetzt vorstellen, wir kucken also ganz genau auf diese Funktion drauf, wir gehen ganz nah ran, dann sehen ja auch alle kleinen Funktionsstücke aus wie lineare Funktionen. Sie sehen aus wie Strecken, also gerade Strecken, die wir da betrachten. Und deshalb ist das hier auch ganz gut, wenn man von linearen Funktionen ausgeht. Und weil man das eben dann auch besser sehen kann, worum es hier geht. Wenn wir die Steigung 1 hier haben, können wir die auch mal ein bisschen verändern. Und zwar die Steigung mal kleiner machen, so wie hier. Da haben wir jetzt eine innere Funktion, deren Steigung 1/3 ist, so ungefähr. Die äußere Funktion ist gleich geblieben. Und wir sehen einfach hier schon ganz, ohne dass ich das ich das groß erklären muss, dass dieses Intervall hier kleiner geworden ist. Klar, die Steigung ist ja auch kleiner. Das heißt aber, dass diese äußere Funktion nur auf einem kleineren Intervall steigt, im Vergleich zu dieser Situation hier, wo die Steigung der inneren Funktion gleich 1 ist. Hier ist das Intervall also auf dem die äußere Funktion steigen kann nur 1/3 so groß. Das bedeutet, dass letzten Endes die Steigung auch nur 1/3 ist, denn der Unterschied auf der x-Achse ist ja gleich geblieben, beides Mal. Aber der Unterschied hier auf der y-Achse, also das Δy, das ist hier kleiner geworden, es ist jetzt nur noch 1/3. Und da siehst du schon, wenn du jetzt also die Steigung der äußeren Funktion mit 1/3 multiplizierst, also mit der Steigung der inneren Funktion, dann erhältst du die Steigung der verketteten Funktion. Und andersherum funktioniert das auch. Man kann mal hier als innere Funktion eine Funktion nehmen mit der Steigung 2, zum Beispiel. Der Unterschied hier auf der x-Achse bleibt wieder gleich, also das Δx ist hier überall gleich geblieben. Aber das Intervall, auf dem jetzt die äußere Funktion steigen kann, ist auch doppelt so groß im Vergleich zu der Funktion hier, wo die innere Funktion die Steigung 1 hat. Da jetzt das Intervall hier doppelt so groß ist, ist auch der y-Unterschied, der letzten Endes rauskommt, ebenfalls doppelt so groß. Und damit sieht man auch, man muss also die Steigung der äußeren Funktion mit der Steigung der Inneren multiplizieren, nämlich mit 2 multiplizieren, um die Steigung der verketteten Funktion zu bekommen. Und das legt also nahe, diese Überlegungen hier, dass man einfach rechnen muss, Steigung der äußeren Funktion, das heißt, Ableitung der äußeren Funktion, mal Steigung der inneren Funktion, also mal Ableitung der inneren Funktion. Und so kann man sich halt vorstellen, dass die Kettenregel funktioniert. Ich hoffe, das hat was gebracht, du kannst das jetzt klarer sehen, warum die Kettenregel so ist wie sie ist. Viel Spaß damit, tschüss!