Exponentialfunktionen – Kenngrößen bestimmen (2)

Exponentialfunktionen – Kenngrößen bestimmen (2) Übung

• Beschreibe die Kenngrößen des Graphen.

  Tipps

  Die allgemeine Funktionsgleichung lautet $f(x)=a\cdot b^x$.

  Für eine monoton wachsende Funktion gilt, dass $f(x)$ immer größer werden muss, wenn wir größer werdende x einsetzen.

  Kannst du so Rückschlüsse auf den Faktor b schließen?

  Was passiert, wenn du $x=0$ in die allgemeine Gleichung einsetzt?

  An welcher Stelle befindest du dich dann im Verlauf des Graphen?

  Lösung

  Wir wollen die Kenngrößen der dargestellten Funktion beschreiben.

  Wir betrachten das Diagramm und sehen, dass der Graph oberhalb der x-Achse ist.

  • Der Graph ist immer oberhalb der x-Achse, solange für die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot b^x$ gilt, dass a positiv ist. Es ist auch verständlich, dass $f(x)$ keine negativen Werte annehmen kann, solange nur positive Zahlen miteinander multipliziert werden.

  Wenn wir $f(0)$ ausrechnen, können wir den Anfangswert bestimmen. Er ist auch der Schnittpunkt mit der y-Achse. Wir können den Anfangswert a also bestimmen; er ist $a=\mathbf 1$.

  Wir können auch allgemein zeigen, dass man ihn dort ablesen kann. Für $f(x)=a\cdot b^x$ setzen wir $\mathbf{x=0}$ und erhalten so $f(0)=a\cdot b^0=a\cdot1=a$, was nichts anderes als der Anfangswert ist.

  • Der Anfangswert beschreibt allgemein den Wert von $f(x)$ wenn wir $x=0$ einsetzen. Wir können uns den Anfangswert also als Startpunkt beim Zeitpunkt $x=0$ vorstellen. Allgemein ist dabei der Anfangswert immer auch der Schnittpunkt mit der y-Achse. Wir lesen den den Anfangswert also ab und bekommen $a=1$.

  Der Graph ist außerdem monoton steigend; somit liegt ein Wachstumsprozess vor. Wenn wir uns den Wachstumsfaktor b ansehen, können wir das auch daran überprüfen, dass $\mathbf{b>1}$ gilt.

  • Der Graph steigt von linkst nach rechts immer weiter an, somit ist er monoton steigend. Damit gilt, dass der Funktionswert immer größer wird, wenn wir größer werdende x einsetzen. Zu Funktionen, die immer ansteigen, sagen wir auch Wachstumsprozesse. Dagegen werden monoton fallende Funktionen auch Abnahmeprozesse genannt. Der Faktor b wird dabei auch Wachstumsfaktor genannt, denn er gibt an, wie eine Funktion wächst oder fällt. Soll sich ein Anfangswert wie unserem Beispiel bei jedem Schritt verdoppeln, ist der Wachstumsfaktor b gleich 2. Damit eine Funktion wächst, muss ${b>1}$ sein, denn b wird mit x potenziert. Wenn wir ein Wachstumsfaktor kleiner als 1 hätten, würde dieser Teil der Funktion mit jedem Schritt kleiner werden und damit wäre die Funktion monoton fallend.

• Schildere den Weg zur Funktionsgleichung des angegebenen Graphens.

  Tipps

  Die allgemeine Funktionsgleichung lautet $f(x)=a\cdot b^x$.

  Dabei ist a der Anfangswert und b der Wachstumsfaktor.

  Du kannst den Anfangswert a nicht nur im Diagramm ablesen; du findest ihn auch oft in der Wertetabelle.

  Der Wachstumsfaktor b gibt an, um welchen Faktor die Funktion pro Zeiteinheit steigt bzw. fällt.

  Lösung

  • Wir stellen als erstes die Wertetabelle auf. Dazu suchen wir die zwei Funktionswerte bei $x=0$ und $x=1$. Der Wert bei $x=0$ ist auch der y-Achsenabschnitt; er ist hier bei $\frac{3}{2}$. Für den Punkt bei $x=1$ lesen wir den Funktionswert $y=1$ ab. Nun können wir die Wertetabelle aufstellen $ \begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & \frac {3}{2}& 1 \\ \end{array}$.
  • Der Anfangswert a ist immer auch der Schnittpunkt mit der y-Achse. In diesem Fall lohnt sich aber ein Blick in die Wertetabelle, da wir diesen Punkt schon abgelesen haben. Für $x=0$ finden wir also $y_0=\frac 3 2$. Es gilt also $a=\frac 3 2$.
  • Der Wachstumsfaktor b beschreibt, welchen Faktor wir bei jedem Schritt zum Funktionswert dazu multiplizieren müssen, um auf den nächsten Funktionswert zu kommen. Wir berechnen den Wachstumsfaktor als Quotienten zwei aufeinanderfolgender Funktionswerte. Es gilt somit $b=y_1 : y_0 =1 : \frac 3 2 =\frac 2 3$. Unser Wachstumsfaktor ist also $b=\frac 2 3$.
  • Nun müssen wir die gefundenen Variablen nur noch in die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=a \cdot b^x$ einsetzen und bekommen so $f(x)=\frac 3 2 \cdot (\frac 2 3)^x$.

• Bestimme die richtigen Kenngrößen zu den angegebenen Graphen.

  Tipps

  Bilde als erstes Wertetabellen und nimm dabei die Graphen als Hilfe.

  Den Anfangswert erhältst du als Funktionswert für $x=0$.

  Den Wachstumsfaktor kannst du als Quotienten zweier aufeinanderfolgender Funktionswerte berechnen, wenn die dazugehörigen x-Werte den Abstand Eins haben.

  Lösung

  Wir bilden als erstes immer Wertetabellen zu den Graphen. Wir tragen dazu die Funktionswerte zu $x=0$ und $x=1$ ein. Dazu lesen wir die Funktionswerte, also die y-Werte, aus den Diagrammen ab. Wir berechnen mit der Wertetabelle anschließend den Wachstumsfaktor und setzen ihn und den Anfangswert in die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot b^x$ ein.

  Erster Graph: Er hat den Schnittpunkt mit der y-Achse bei 2 und die folgende Wertetabelle

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 2 & 6 \\ \end{array}$

  Der Anfangswert ist dabei immer direkt der y-Wert für $x=0$. Wir kennen also in der allgemeinen Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot b^x$ schon mal den Wert von a. Er ist $a=2$.

  Wir müssen nun noch den Wachstumsfaktor bestimmen. Den Wachstumsfaktor kann man bestimmen, indem man den Quotienten zwischen einem y-Wert und seinem Vorgänger bildet. In unserem Fall rechnen wir also

  $b= y_1 : y_0 = 6 : 2 = 3 =b$.

  Nun können wir alle Variablen in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und bekommen so

  $f(x)=2\cdot3^x$.

  Zweiter Graph: Er hat den Schnittpunkt mit der y-Achse bei 0,5 und die folgende Wertetabelle

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 0{,}5 & 2 \\ \end{array}$

  Den Anfangswert lesen wir wieder direkt bei $x=0$ ab und bekommen so $a= 0{,}5$.

  Um nun den Wachstumsfaktor auszurechnen, bilden wie wieder den Quotienten zwischen einem y-Wert und seinem Vorgänger. Wir rechnen also

  $b=y_1 : y_0=2 : 0{,}5= 4$.

  Nun können wir wieder die Funktionsgleichung aufstellen, indem wir die Variablen einsetzen

  $f(x)=0{,}5\cdot 4^x$.

  Dritter Graph: Er hat den Schnittpunkt mit der y-Achse bei 3 und die folgende Wertetabelle

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 3 & 1{,}5 \\ \end{array}$

  Bei $x=0$ können wir wieder den Anfangswert ablesen. In diesem Fall ist er $a=3$.

  Den Wachstumsfaktor bestimmen wir wieder, indem wir den Quotienten bilden. Wir rechnen also

  $b=y_1 : y_0=1{,}5 : 3= 0{,}5=b$.

  Weil hier $b<1$ gilt, haben wir einen Abnahmeprozess. Wir können wie gewohnt die Funktionsgleichung zusammensetzen:

  $f(x)=3\cdot 0{,}5^x$.

  Vierter Graph: Er hat den Schnittpunkt mit der y-Achse bei 5 und die folgende Wertetabelle

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 5 & 1 \\ \end{array}$

  Wie beginnen wieder den Anfangswert bei $x=0$ abzulesen; er ist $a=5$.

  Als nächstes bestimmen wir wieder den Wachstumsfaktor, indem wir den Quotienten bilden. Wir rechnen also

  $b=y_1 : y_0=5:1 = 0{,}2=b$.

  Die Funktionsgleichung setzen wir nun zusammensetzen

  $f(x)=5\cdot 0{,}2^x$

• Bestimme die Funktionsgleichungen für die vorgegebenen Graphen.

  Tipps

  Schreibe dir eine kleine Wertetabelle auf.

  In der allgemeinen Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot b^x$ steht das a für den Anfangswert.

  Der Wachstumsfaktor b steht für den Faktor, der bei jedem Schritt dazu kommt.

  Diesen Faktor kann man ausrechnen, wenn man zwei Funktionswerte hat.

  Lösung

  Wir bilden die Funktionsgleichungen, indem wir wieder als erstes die Wertetabellen aufstellen. Wir brauchen zwei Funktionswerte und nehmen die bei $x=0$ und bei $x=1$.

  In der Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot b^x$ steht a für den Anfangswert. Er ist der Funktionswert bei $x=0$ und kann dort direkt ablesen werden. Der Anfangswert ist auch der Schnittpunkt mit der y-Achse.

  Erstes Diagramm:

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 0{,}5 & 1 \\ \end{array}$

  Den Anfangswert lesen wir bei $x=0$ in der Wertetabelle ab. Er ist $a=0{,}5$.

  Nun wissen wir schon mal einen Teil der Funktionsgleichung und wir müssen noch den Wachstumsfaktor bestimmen. Wir machen dies durch die Bildung des Quotienten aus einem y-Wert und seinem Vorgänger. Wir rechnen also

  $b=y_1 : y_0 = 1 : 0{,}5=2$

  Die Gleichung ergibt damit wie folgt

  $f(x)=0{,}5\cdot2^x$

  Zweites Diagramm:

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 1{,}5 & 4{,}5 \\ \end{array}$

  Bei $x=0$ können wir in der Wertetabelle wieder den Anfangswert ablesen. Er ist $a=1{,}5$.

  Als nächstes gilt es, den Wachstumsfaktor zu bestimmen. Dazu bilden wir wieder den Quotienten zwischen einem Funktionswert und seinem Vorgänger. Wir rechnen also

  $b=y_1 : y_0 = 4{,}5 : 1{,}5=3$

  Wir haben nun alle Variablen zusammen, die wir brauchen und können so die Funktionsgleichung aufstellen

  $f(x)=1{,}5\cdot3^x$

  Drittes Diagramm:

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 2 & 1 \\ \end{array}$

  Wir lesen wieder zuerst den Anfangswert a ab. Wir schauen wieder in die Wertetabelle und nehmen den Funktionswert bei $x=0$. Er ist $a=2$.

  Den Wachstumsfaktor bilden wir wieder, indem wir den Quotienten von zwei aufeinander folgenden Funktionswerten bilden.

  $b=y_1 : y_0 = 2 : 1=0{,}5$

  Die fertige Funktionsgleichung setzt sich dann wie folgt zusammen

  $f(x)=2\cdot 0{,}5^x$

  Viertes Diagramm:

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 1 & 3 \\ \end{array}$

  Als Erstes können wir den Anfangswert a in der Wertetabelle bei $x=0$ ablesen. Er ist $a=1$.

  Nun müssen wir noch den Wachstumsfaktor b bestimmen. Wir machen dies, indem wir den Quotienten zwischen einem y-Wert und seinem Vorgänger bilden. Wir rechnen also

  $b=y_1 : y_0 = 3 : 1=3$

  Somit können wir die Funktionsgleichung aufstellen

  $f(x)=1\cdot3^x=3^x$

• Benenne die richtigen Kenngrößen der angegebenen Graphen.

  Tipps

  Die allgemeine Funktionsgleichung ist $f(x)=a\cdot b^x$.

  Hierbei ist a der Anfangswert und b der Wachstumsfaktor.

  Den Anfangswert kann man immer direkt aus den Diagramm ablesen.

  Er ist auch der Startwert der Funktion.

  Wenn wir zum Beispiel eine Bevölkerung von 3000 Menschen haben, dann ist 3000 der Anfangswert.

  Der Wachstumsfaktor b gibt an, um welchen Faktor die Funktion bei jedem schritt wächst bzw. fällt.

  Wenn wir zum Beispiel eine Bevölkerung von 3000 Menschen haben und diese Anzahl soll sich jedes Jahr verdoppeln, dann ist 2 unserer Wachstumsfaktor.

  Lösung

  Wir gehen immer gleich vor. Wir bestimmen zuerst immer den Anfangswert, der auch gleichzeitig der Funktionswert des Schnittpunktes mit der y-Achse ist. Anschließend rechnen wir mit Hilfe einer Wertetabelle den Wachstumsfaktor aus. Beiden Variablen können wir dann in die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot b^x$ einsetzen.

  Erster Graph: Wir sehen, dass der Funktionswert des Schnittpunktes mit der y-Achse $y_0=a=1$ ist. Dies können wir einfach aus dem Diagramm ablesen.

  Nun müssen wir noch den Wachstumsfaktor ausrechnen; dazu stellen wir eine Wertetabelle auf:

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 1 & 2 \\ \end{array}$

  Der Wachstumsfaktor beschreibt, mit was ein Funktionswert multipliziert werden muss, damit wir seinen Nachfolger ausrechnen können. In Formel ausgedrückt heißt das $y_0 \cdot b=y_1$. Wir haben mit der Wertetabelle nun einen Funktionswert und seinen Nachfolger, also stellen wir die Gleichung nach b um und bekommen so $b=y_1 : y_0$. Die y-Werte müssen wir nun nur noch einsetzen: $b=y_1 : y_0 = 2 : 1=2$. Damit haben wir auch unseren Wachstumsfaktor b ausgerechnet.

  Wir können nun die fertige Funktionsgleichung aufstellen.

  $f(x)=1\cdot 2^x$.

  Zweiter Graph: Wir suchen wieder nach dem Schnittpunkt mit der y-Achse und können da auch direkt unseren Anfangswert a ablesen. Er ist $a=\frac 3 2$.

  Den Wachstumsfaktor bestimmen wir wieder mit Hilfe der Wertetabelle

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & \frac 3 2 & 1 \\ \end{array}$

  Um den Wachstumsfaktor auszurechnen, nehmen wir wieder die umgestellte Gleichung $b= y_1 : y_0$ zur Hilfe und setzten die Werte direkt ein

  $b=y_1 : y_0 =1 : \frac 3 2 =1 \cdot \frac 2 3=\frac 2 3$.

  Wir haben also wieder alle notwendigen Variablen zusammen und stellen die Funktionsgleichung auf:

  $f(x)=\frac 3 2 \cdot (\frac 2 3)^x$.

  Dritter Graph: Den Anfang macht wie immer der Anfangswert, den wir direkt im Diagramm ablesen. Er ist wieder der Funktionswert des Schnittpunktes mit der y-Achse. Er ist damit $a=\frac 1 2$.

  Als nächstes stellen wir wieder eine Wertetabelle auf, um den Wachstumsfaktor b zu bestimmen

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & \frac 1 2 & \frac 3 2 \\ \end{array}$

  Den Wachstumsfaktor rechnen wir wieder aus mit $b=y_1 : y_0$. Wir rechnen also

  $b=y_1 : y_0= \frac 3 2 : \frac 1 2 = \frac 3 2 \cdot \frac 2 1= 3 $.

  Wir können auch die letzte Gleichung aufstellen

  $f(x)=\frac 1 2 \cdot 3^x$.

• Ermittle aus den Graphen die Kenngrößen.

  Tipps

  Denke daran eine Wertetabelle aufzuschreiben, sodass du nicht den Überblick verlierst.

  Den Anfangswert brauchst du, wenn du die Funktionsgleichung bilden willst.

  Du kannst ihn jeweils direkt in den Diagrammen ablesen.

  Der Wachstumsfaktor gibt an, um welchen Faktor die Funktion bei jedem Schritt wächst.

  Wenn du nun aber nur zwei Funktionswerte hast, gibt es eine Möglichkeit ihn aus diesen beiden Funktionswerten auszurechnen.

  Lösung

  Wir haben wieder die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot b^x$ im Hinterkopf und bestimmen die einzelnen Variablen nacheinander.

  Die Variable a steht hierbei für den Anfangswert und b für den Wachstumsfaktor.

  Erster Graph:

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 1 & 1{,}5 \\ \end{array}$

  Den Anfangswert a können wir einfach aus der Wertetabelle ablesen; er ist der y-Wert für $x=0$. In diesem Fall gilt also $a=1$.

  Nun müssen wir noch nach dem Wachstumsfaktor b suchen. Dieser Faktor beschreibt, mit was man einen Funktionswert multiplizieren muss, um auf seinen Nachfolger zu kommen. In Formeln sieht das so aus $y_0\cdot b=y_1$. Nun haben wir aber zwei Funktionswerte aber keinen Wachstumsfaktor. Wir stellen die Gleichung also um und können dann wie folgt den Wachstumsfaktor b ausrechnen:

  $b=y_1 : y_0 = 1{,}5 : 1 = 1{,}5$

  Nun haben wir alle Variablen und können die Funktionsgleichung aufstellen

  $f(x)=1\cdot 1{,}5^x$.

  Zweiter Graph:

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 3 & 1 \\ \end{array}$

  Wir bestimmen wieder Anfangswert, indem wir in die Wertetabelle schauen und ihn bei $x=0$ ablesen. Er ist $a=3$.

  Nun müssen wir wieder den Wachstumsfaktor bestimmen. Wir greifen also wieder nach der Formel, welche uns den Wachstumsfaktor als Quotient zwischen einem Funktionswert und seinem Vorgänger gibt:

  $b=y_1 : y_0 = 1 : 3 = 0{,}33$

  Der Wachstumsfaktor ist hier eigentlich $\frac{1}{3}$, aber wir schreiben ihn als gerundeten Dezimalbruch, da es so in der Aufgabenstellung gefordert ist.

  Wir bilden nun wieder eben diese Funktionsgleichung

  $f(x)=3\cdot 0{,}33^x$.

  Dritter Graph:

  $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 2 & 5 \\ \end{array}$

  Den Anfang macht wie immer der Anfangswert. Wir lesen wieder in der Wertetabelle den Funktionswert bei $x=0$ ab und bekommen so $a=2$.

  Den Wachstumsfaktor b bestimmen wir wieder über die Bildung des Quotienten. Wir rechnen also wieder

  $b=y_1 : y_0 = 5 : 2 = 2{,}5$.

  Nun können wir die fertige Funktionsgleichung wieder aufschreiben

  $f(x)=2\cdot 2{,}5^x$.

  Vierter Graph: $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 2 & 0{,}5 \\ \end{array}$

  Wir bestimmen wieder zunächst den Anfangswert a. Dazu blicken wir wieder in die Wertetabelle an die Stelle $x=0$ und bekommen so $a=2$.

  Den Wachstumsfaktor berechnen wir wieder durch die gleiche Formel

  $b=y_1 : y_0 = 0{,}5 : 2 = 0{,}25$.

  Damit haben wir wieder alle Variablen zusammen und können die Funktionsgleichung aufstellen

  $f(x)=2\cdot0{,}25^x$.

  Fünfter Graph: $\begin{array}{l|c|c} x & 0& 1 \\ \hline y & 1 & 0{,}5 \\ \end{array}$

  Mit dem Anfangswert fangen wir wieder an. Wir schauen in die Wertetabelle und lesen den Funktionswert bei $x=0$ ab. Wir bekommen so $a=1$.

  Den Wachstumsfaktor rechnen wir wieder aus. Dazu bilden wir den Quotienten:

  $b=y_1 : y_0 = 0{,}5 : 1 = 0{,}5$.

  Mit beiden Variablen können wir nun die Funktionsgleichung aufstellen

  $f(x)=1\cdot 0{,}5^x$.