Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Polarkoordinaten

Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Polarkoordinaten Übung

• Vervollständige die Umwandlung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten und umgekehrt.

  Tipps

  Jeder Punkt im Koordinatensystem ist eindeutig gegeben durch

  • seine kartesischen Koordinaten oder
  • seine Polarkoordinaten.

  Zeichne einen Punkt in ein Koordinatensystem und mache dir die kartesischen Koordinaten und die Polarkoordinaten klar.

  Ein Punkt in Polarkoordinaten ist gegeben durch $P(r;\varphi)$. Dabei ist $r$ der Abstand des Punktes zum Koordinatenursprung und der Drehwinkel $\varphi$ der von der positiven x-Achse sowie der Strecke $\overline {0P}$ eingeschlossene Winkel.

  Von den kartesischen Koordinaten zu den Polarkoordinaten benötigst du

  • den Satz des Pythagoras und
  • $tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$.

  Von den Polarkoordinaten zu den kartesischen Koordinaten benötigst du

  • $sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha }{\text{Hypotenuse}}$ und
  • $cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha }{\text{Hypotenuse}}$

  Lösung

  Jeder Punkt im Koordinatensystem ist eindeutig gegeben durch

  • seine kartesischen Koordinaten $P(x;y)$ oder
  • seine Polarkoordinaten $P(r;\varphi)$.

  Seien die kartesischen Koordinaten gegeben, so gilt:

  • $r$ ist der Abstand des Punktes zum Koordinatenursprung. Dieser Abstand kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, also $r=\sqrt{x^2+y^2}$.
  • Der Drehwinkel $\varphi$ ist gegeben durch die Gleichung: $\tan(\varphi)=\frac{\text{Gegenkathete von } \varphi}{\text{Ankathete von } \varphi}=\frac yx$ für $x>0$ und $y\geq 0$. Somit ist $\varphi=arctan\left( \frac yx\right)$.

  Seien die Polarkoordinaten gegeben, so können die entsprechenden kartesischen Koordinaten mit

  • $sin(\varphi)=\frac{\text{Gegenkathete von } \varphi }{\text{Hypotenuse}}$ und
  • $cos(\varphi)=\frac{\text{Ankathete von } \varphi }{\text{Hypotenuse}}$

  berechnet werden. Nach x und y umgestellt, erhältst du:

  • $x=r \cdot cos(\varphi)$ und
  • $y=r \cdot sin(\varphi)$.

• Stelle den gegebenen Punkt in Polarkoordinaten dar.

  Tipps

  Bei gegebenen kartesischen Koordinaten gilt:

  • $r=\sqrt{x^2+y^2}$ und
  • $\varphi=arctan\left( \frac yx\right)$ für $x>0$ und $y\geq 0$.

  „arctan“ ist die Umkehrung von „tan“. Diese erhältst du auf deinem Taschenrechner durch die Umschalttaste „inv“, „Shift“, ...

  Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für „Degree“, also Winkelmaß, eingestellt ist.

  Lösung

  Bei gegebenen kartesischen Koordinaten gilt:

  • Der Radius $r$ lässt sich berechnen durch $r=\sqrt{x^2+y^2}$ und
  • der Drehwinkel $\varphi$ durch $\varphi=arctan\left( \frac yx\right)$ für $x>0$ und $y\geq 0$.

  In diesem Beispiel gilt:

  • $r=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ und
  • $\varphi=arctan\left( \frac yx \right)=arctan\left( \frac 43 \right)=53,13^\circ$.

• Erkläre in dem rechtwinkligen Dreieck Sinus, Kosinus und Tangens.

  Tipps

  Die Hypotenuse liegt im rechtwinkligen Dreieck dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite.

  Die Gegenkathete eines spitzen Winkels ist die Seite, die dem spitzen Winkel gegenüberliegt.

  Die Ankathete eines spitzen Winkels ist die Seite, die an diesem Winkel anliegt.

  Lösung

  Die trigometrischen Funktionen sind in einem rechtwinkligen Dreieck für den spitzen Winkel $\alpha$ wie folgt definiert:

  $\begin{align*} sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ cos(\alpha)&=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ tan(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha} =\frac{sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \end{align*}$.

  Um mit den trigonometrischen Funktionen zu arbeiten, muss man sich zunächst klarmachen, welche Seiten in dem Dreieck die Katheten und welche die Hypotenuse sind. In dem obigen Dreieck sind

  • die Katheten $a$ und $c$ und
  • die Hypotenuse $b$. Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

  Darüberhinaus muss man sich klarmachen, welche Kathete im Bezug auf einen spitzen Winkel Gegen- und welche Ankathete ist. Die Gegenkathete liegt dem spitzen Winkel gegenüber, die Ankathete liegt an dem Winkel an. Somit ist die Gegenkathete von $\alpha$ $a$ und die Ankathete $c$. Bei dem Winkel $\gamma$ ist es umgekehrt.

  Somit gelten die folgenden Gleichungen:

  $\begin{align*} sin(\alpha)&=\frac ab\\ cos(\alpha)&=\frac cb\\ tan(\alpha)&=\frac ac\\ sin(\gamma)&=\frac cb\\ cos(\gamma)&=\frac ab\\ tan(\gamma)&=\frac ca\\ \end{align*}$

  Hier ist zu erkennen, dass $sin(\alpha)=cos(\gamma)$ und $cos(\alpha)=sin(\gamma)$ gilt.

• Leite aus dem Punkt in Polarkoordinaten die kartesischen Koordinaten her.

  Tipps

  Die kartesischen Koordinaten lassen sich mit den Polarkoordinaten berechnen durch die Verwendung von

  • $sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha }{\text{Hypotenuse}}$ und
  • $cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha }{\text{Hypotenuse}}$.

  Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

  Du könntest dein Ergebnis überprüfen. Es muss gelten $x^2+y^2=r^2=25$.

  Beachte: Bei gerundeten Ergebnissen wird nicht exakt 25 herauskommen.

  Lösung

  Bei gegebenen Polarkoordinaten $P(r;\phi )$ können die entsprechenden kartesischen Koordinaten $P(x;y)$ wie folgt berechnet werden:

  • $x=r \cdot cos(\phi)$ und
  • $y=r \cdot sin(\phi)$.

  In diesem Beispiel ist $r=5$ und $\phi=40^\circ$.

  Somit ist

  • $x=5\cdot cos(40^\circ )≈3,83$ und
  • $y=5\cdot sin(40^\circ )≈3,21$.

• Beschreibe den Sinus, den Kosinus und den Tangens am Einheitskreis.

  Tipps

  Die trigonometrischen Funktionen sind in einem rechtwinkligen Dreieck wie folgt definiert:

  $\begin{align*} sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ cos(\alpha)&=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ tan(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha} =\frac{sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \end{align*}$

  Wie lang ist die Hypotenuse im Einheitskreis?

  Die geometrische Bedeutung des Tangens kann mit dem 1. Strahlensatz hergeleitet werden.

  Lösung

  Die trigometrischen Funktionen sind in einem rechtwinkligen Dreieck für den spitzen Winkel $\alpha$ wie folgt definiert:

  $\begin{align*} sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ cos(\alpha)&=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ tan(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha} =\frac{sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \end{align*}$

  Im Einheitskreis hat die Hypotenuse die Länge 1, somit ist

  • $cos(\alpha)$ die Länge der Ankathete von $\alpha$,
  • $sin(\alpha)$ die Länge der Gegenkathete von $\alpha$ und
  • $tan(\alpha)$ die Länge der Tangente an den Einheitskreis. Dies kann mit dem 1. Strahlensatz hergeleitet werden.

• Gib zu den gegebenen Punkten in kartesischen Koordinaten die Polarkoordinaten an.

  Tipps

  Der Radius kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

  Es gilt $tan(\varphi )=\frac{\text{Gegenkathete von }\varphi }{\text{Ankathete von }\varphi }$.

  Falls du einen negativen Winkel $\varphi$ berechnest, musst du diesen Winkel um 180° bzw. 360° weiterdrehen. Das hängt davon ab, in welchem Quadranten der Punkt liegt.

  Es gilt die folgende Unterscheidung zur Berechnung des Drehwinkels:

  $\varphi= \begin{cases} \arctan\left( \frac yx\right)&\text{für }x>0,~ y\geq 0\\ \arctan\left( \frac yx\right)+360°&\text{für }x>0,~ y< 0\\ \arctan\left( \frac yx\right)+180°&\text{für }x<0\\ 90°&\text{für }x=0,~ y> 0\\ 270°&\text{für }x=0,~ y< 0. \end{cases}$

  Lösung

  Bei gegebenen kartesischen Koordinaten gilt

  • Der Radius $r$ lässt sich berechnen durch $r=\sqrt{x^2+y^2}$ und
  • der Drehwinkel $\varphi$ durch

  $\varphi= \begin{cases} \arctan\left( \frac yx\right)&\text{für }x>0,~ y\geq 0\\ \arctan\left( \frac yx\right)+360°&\text{für }x>0,~ y< 0\\ \arctan\left( \frac yx\right)+180°&\text{für }x<0\\ 90°&\text{für }x=0,~ y> 0\\ 270°&\text{für }x=0,~ y< 0. \end{cases}$

  Bei allen 4 Punkten ist der Radius gleich: $r=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.

  Zu den Drehwinkeln:

  • $\mathbf{P(6;8)}$: Das ist der erste Fall und damit ist $\varphi=arctan\left(\frac86 \right)=53,13^\circ$.
  • $\mathbf{P(-6;8)}$: Das ist der dritte Fall und damit ist $\varphi=arctan\left(\frac8{-6} \right)+180^\circ=-53,13^\circ+180^\circ=126,87^\circ$.
  • $\mathbf{P(8;6)}$: Das ist der erste Fall und damit ist $\varphi=arctan\left(\frac68 \right)=36,87^\circ$.
  • $\mathbf{P(8;-6)}$: Das ist der zweite Fall und damit ist $\varphi=arctan\left(\frac{-6}8 \right)+360^\circ=-36,87^\circ +360^\circ =323,13^\circ$.