Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Polarkoordinaten

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Grundlagen zum Thema Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Polarkoordinaten
Hallo, In diesem Video möchte dir zeigen, wie man Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis definieren kann. Außerdem lernen wir die Polarkoordinaten kennen. Ich werde dir erklären, wie man die kartesischen Koordinaten eines Punktes in die Polarkoordinaten überführt und umgekehrt. In zwei Beispielen werden wir dann die Umwandlung der Koordinaten eines Punktes üben. Ich wünsche dir viel Spaß!
Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Polarkoordinaten Übung
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Vervollständige die Umwandlung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten und umgekehrt.
TippsJeder Punkt im Koordinatensystem ist eindeutig gegeben durch
- seine kartesischen Koordinaten oder
- seine Polarkoordinaten.
Ein Punkt in Polarkoordinaten ist gegeben durch $P(r;\varphi)$. Dabei ist $r$ der Abstand des Punktes zum Koordinatenursprung und der Drehwinkel $\varphi$ der von der positiven x-Achse sowie der Strecke $\overline {0P}$ eingeschlossene Winkel.
Von den kartesischen Koordinaten zu den Polarkoordinaten benötigst du
- den Satz des Pythagoras und
- $tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$.
Von den Polarkoordinaten zu den kartesischen Koordinaten benötigst du
- $sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha }{\text{Hypotenuse}}$ und
- $cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha }{\text{Hypotenuse}}$
LösungJeder Punkt im Koordinatensystem ist eindeutig gegeben durch
- seine kartesischen Koordinaten $P(x;y)$ oder
- seine Polarkoordinaten $P(r;\varphi)$.
- $r$ ist der Abstand des Punktes zum Koordinatenursprung. Dieser Abstand kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, also $r=\sqrt{x^2+y^2}$.
- Der Drehwinkel $\varphi$ ist gegeben durch die Gleichung: $\tan(\varphi)=\frac{\text{Gegenkathete von } \varphi}{\text{Ankathete von } \varphi}=\frac yx$ für $x>0$ und $y\geq 0$. Somit ist $\varphi=arctan\left( \frac yx\right)$.
- $sin(\varphi)=\frac{\text{Gegenkathete von } \varphi }{\text{Hypotenuse}}$ und
- $cos(\varphi)=\frac{\text{Ankathete von } \varphi }{\text{Hypotenuse}}$
- $x=r \cdot cos(\varphi)$ und
- $y=r \cdot sin(\varphi)$.
-
Stelle den gegebenen Punkt in Polarkoordinaten dar.
TippsBei gegebenen kartesischen Koordinaten gilt:
- $r=\sqrt{x^2+y^2}$ und
- $\varphi=arctan\left( \frac yx\right)$ für $x>0$ und $y\geq 0$.
„arctan“ ist die Umkehrung von „tan“. Diese erhältst du auf deinem Taschenrechner durch die Umschalttaste „inv“, „Shift“, ...
Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für „Degree“, also Winkelmaß, eingestellt ist.
LösungBei gegebenen kartesischen Koordinaten gilt:
- Der Radius $r$ lässt sich berechnen durch $r=\sqrt{x^2+y^2}$ und
- der Drehwinkel $\varphi$ durch $\varphi=arctan\left( \frac yx\right)$ für $x>0$ und $y\geq 0$.
- $r=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ und
- $\varphi=arctan\left( \frac yx \right)=arctan\left( \frac 43 \right)=53,13^\circ$.
-
Erkläre in dem rechtwinkligen Dreieck Sinus, Kosinus und Tangens.
TippsDie Hypotenuse liegt im rechtwinkligen Dreieck dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite.
Die Gegenkathete eines spitzen Winkels ist die Seite, die dem spitzen Winkel gegenüberliegt.
Die Ankathete eines spitzen Winkels ist die Seite, die an diesem Winkel anliegt.
LösungDie trigometrischen Funktionen sind in einem rechtwinkligen Dreieck für den spitzen Winkel $\alpha$ wie folgt definiert:
$\begin{align*} sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ cos(\alpha)&=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ tan(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha} =\frac{sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \end{align*}$.
Um mit den trigonometrischen Funktionen zu arbeiten, muss man sich zunächst klarmachen, welche Seiten in dem Dreieck die Katheten und welche die Hypotenuse sind. In dem obigen Dreieck sind
- die Katheten $a$ und $c$ und
- die Hypotenuse $b$. Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Somit gelten die folgenden Gleichungen:
$\begin{align*} sin(\alpha)&=\frac ab\\ cos(\alpha)&=\frac cb\\ tan(\alpha)&=\frac ac\\ sin(\gamma)&=\frac cb\\ cos(\gamma)&=\frac ab\\ tan(\gamma)&=\frac ca\\ \end{align*}$
Hier ist zu erkennen, dass $sin(\alpha)=cos(\gamma)$ und $cos(\alpha)=sin(\gamma)$ gilt.
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Leite aus dem Punkt in Polarkoordinaten die kartesischen Koordinaten her.
TippsDie kartesischen Koordinaten lassen sich mit den Polarkoordinaten berechnen durch die Verwendung von
- $sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha }{\text{Hypotenuse}}$ und
- $cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha }{\text{Hypotenuse}}$.
Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.
Du könntest dein Ergebnis überprüfen. Es muss gelten $x^2+y^2=r^2=25$.
Beachte: Bei gerundeten Ergebnissen wird nicht exakt 25 herauskommen.
LösungBei gegebenen Polarkoordinaten $P(r;\phi )$ können die entsprechenden kartesischen Koordinaten $P(x;y)$ wie folgt berechnet werden:
- $x=r \cdot cos(\phi)$ und
- $y=r \cdot sin(\phi)$.
Somit ist
- $x=5\cdot cos(40^\circ )≈3,83$ und
- $y=5\cdot sin(40^\circ )≈3,21$.
-
Beschreibe den Sinus, den Kosinus und den Tangens am Einheitskreis.
TippsDie trigonometrischen Funktionen sind in einem rechtwinkligen Dreieck wie folgt definiert:
$\begin{align*} sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ cos(\alpha)&=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ tan(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha} =\frac{sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \end{align*}$
Wie lang ist die Hypotenuse im Einheitskreis?
Die geometrische Bedeutung des Tangens kann mit dem 1. Strahlensatz hergeleitet werden.
LösungDie trigometrischen Funktionen sind in einem rechtwinkligen Dreieck für den spitzen Winkel $\alpha$ wie folgt definiert:
$\begin{align*} sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ cos(\alpha)&=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}} \\ tan(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha} =\frac{sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \end{align*}$
Im Einheitskreis hat die Hypotenuse die Länge 1, somit ist
- $cos(\alpha)$ die Länge der Ankathete von $\alpha$,
- $sin(\alpha)$ die Länge der Gegenkathete von $\alpha$ und
- $tan(\alpha)$ die Länge der Tangente an den Einheitskreis. Dies kann mit dem 1. Strahlensatz hergeleitet werden.
-
Gib zu den gegebenen Punkten in kartesischen Koordinaten die Polarkoordinaten an.
TippsDer Radius kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
Es gilt $tan(\varphi )=\frac{\text{Gegenkathete von }\varphi }{\text{Ankathete von }\varphi }$.
Falls du einen negativen Winkel $\varphi$ berechnest, musst du diesen Winkel um 180° bzw. 360° weiterdrehen. Das hängt davon ab, in welchem Quadranten der Punkt liegt.
Es gilt die folgende Unterscheidung zur Berechnung des Drehwinkels:
$\varphi= \begin{cases} \arctan\left( \frac yx\right)&\text{für }x>0,~ y\geq 0\\ \arctan\left( \frac yx\right)+360°&\text{für }x>0,~ y< 0\\ \arctan\left( \frac yx\right)+180°&\text{für }x<0\\ 90°&\text{für }x=0,~ y> 0\\ 270°&\text{für }x=0,~ y< 0. \end{cases}$
LösungBei gegebenen kartesischen Koordinaten gilt
- Der Radius $r$ lässt sich berechnen durch $r=\sqrt{x^2+y^2}$ und
- der Drehwinkel $\varphi$ durch
Bei allen 4 Punkten ist der Radius gleich: $r=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.
Zu den Drehwinkeln:
- $\mathbf{P(6;8)}$: Das ist der erste Fall und damit ist $\varphi=arctan\left(\frac86 \right)=53,13^\circ$.
- $\mathbf{P(-6;8)}$: Das ist der dritte Fall und damit ist $\varphi=arctan\left(\frac8{-6} \right)+180^\circ=-53,13^\circ+180^\circ=126,87^\circ$.
- $\mathbf{P(8;6)}$: Das ist der erste Fall und damit ist $\varphi=arctan\left(\frac68 \right)=36,87^\circ$.
- $\mathbf{P(8;-6)}$: Das ist der zweite Fall und damit ist $\varphi=arctan\left(\frac{-6}8 \right)+360^\circ=-36,87^\circ +360^\circ =323,13^\circ$.
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@Claudia P.:
Dazu haben wir leider kein Video. Schau dir dazu aber nochmal die Minute 4:00 - 4:43 zur Erklärung der Polarkoordinaten an. Bei den Polarkoordinaten sind der Winkel und der Radius gegeben.
Wenn wir das Beispiel am Ende des Videos betrachten mit r=6 und Phi=30° gehst du so vor:
(0) Zeichne ein geeignetes Koordinatensystem mit genauer Achsenbeschriftung.
(1) Du trägst mit einem Geodreieck vom Ursprung aus einen 30°-Winkel zur positiven x-Achse ab und zeichnest eine Hilfslinie ein.
(3) Trage auf dieser Hilfslinie 6 cm vom Ursprung ab und du erhältst den entsprechenden Punkt.
(4) Durch eine horizontale und eine vertikale gepunktete Linie und deren Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen erhältst du schließlich die x- und y-Koordinate.
Ich hoffe, dass dir diese Erklärung weiterhelfen konnte. Wenn du weiterhin Schwierigkeiten haben solltest, kannst du dich auch sehr gerne an den Fach-Chat, der dir täglich von 17-19 Uhr zur Verfügung steht, wenden.
Ich hab polaekoord. gegeben und muss kartesische koord. graphisch ermitteln - gibts dafür auch ein video ?