Definition Lineare Funktionen

Definition Lineare Funktionen Übung

• Nenne die Definition der linearen Funktion.

  Tipps

  Eine Funktion ordnet einer Variablen $x$ eindeutig einen Wert $y$ zu.

  „Linear“ bedeutet, dass jede Variable höchstens in der ersten Potenz, also mit Exponent $1$, vorkommt.

  Lösung

  Eine lineare Funktion kann man an der Funktionsgleichung

  $y=m\cdot x+b$

  erkennen.

  Statt $m$ oder $b$ können auch andere Buchstaben dort stehen. Wichtig ist der Faktor $x$.

  Wenn man eine Funktionsgleichung daraufhin untersuchen möchte, ob sie zu einer linearen Funktion gehört, so muss man sie so umschreiben können, dass sie die oben angegebene Form hat. Das heißt: Es befinden sich Zahlen in der Gleichung, welche für $m$ und $b$ stehen.

• Ergänze die Wertetabelle.

  Tipps

  Setze den jeweiligen Wert für $x$ in die Gleichung $y=\frac12x-1$ ein und berechne $y$.

  Für $x=3$ würde die Rechnung wie folgt aussehen:

  $y=\frac12\cdot3-1=1,5-1=0,5$

  Lösung

  Das Erstellen einer Wertetabelle ist deshalb von Bedeutung, da man die erhaltenen Punkte $(x|y)$ in ein Koordinatensystem eintragen und somit den Graphen der Funktion zeichnen kann. In diesem Beispiel ist dies eine Gerade, welche in dem Bild zu sehen ist.

  Die vollständige Wertetabelle erhält man durch Einsetzen des jeweiligen Wertes für $x$ in die Funktionsgleichung $y=\frac12x-1$.

  So erhält man zum Beispiel für $x=1$ folgende Rechnung:

  $y=\frac12\cdot 1-1=\frac12-1=-\frac12=-0,5$

  Alle übrigen Werte sind wie folgt gegeben:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x&1&-1&0&2&-2\\ \hline y&-0,5&-1,5&-1&0&-2 \end{array}$

• Entscheide, ob eine lineare Funktion vorliegt.

  Tipps

  Wenn du einen Wert für $m$ und einen für $b$ findest, so dass die vorgegebene Funktion die Gestalt $y=m\cdot x+b$ hat, liegt eine lineare Funktion vor.

  Die Reihenfolge der Terme $mx$ und $b$ ist bei einer linearen Funktion nicht wichtig.

  Du kannst für $m$ und $b$ jede Zahl einsetzen. Diese können auch $0$ sein:

  • $m=0~\rightarrow~y=b$
  • $b=0~\rightarrow~y=mx$

  Lösung

  • $y=2x-3$. Hier ist $m=2$ und $b=-3$. Dies ist eine lineare Funktion.
  • $y=4$. Hier ist $m=0$ und $b=4$. Dies ist eine lineare Funktion. Es handelt sich um eine zur $x$-Achse parallele Gerade.
  • $y=x^2-3$. Es ist nicht möglich, ein $m$ und ein $b$ zu finden, damit die Form $y=m\cdot x +b$ erkennbar ist. Dies ist keine lineare Funktion.
  • $y=4-x$. Bei dieser Gleichung ist $m=-1$ und $b=4$. Auch wenn die Reihenfolge vertauscht ist, handelt es sich um eine lineare Funktion.
  • $y=\frac1x$. Auch hier ist das Auffinden passender $m$ und $b$ nicht möglich. Dies ist keine lineare Funktion.

• Bestimme bei den linearen Funktionen $m$ und $b$.

  Tipps

  Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet

  $y=m\cdot x+b$.

  $m$ ist der Faktor vor dem $x$. Der Term $m\cdot x$ kann am Beginn sowie am Ende der Gleichung stehen.

  Sowohl zu $m$ als auch zu $b$ gehört das Vorzeichen.

  Zum Beispiel ist in der Gleichung

  $y=-2x-4$.

  • $m=-2$ und nicht $2$ und ebenso
  • $b=-4$ und nicht $4$.

  Lösung

  Um zu entscheiden, welche Zahl für $m$ und welche für $b$ steht, ist nicht die Position in der Gleichung von Bedeutung:

  • $m$ steht als Faktor vor der Variablen $x$ und
  • $b$ steht alleine.

  Das Vorzeichen gehört jeweils dazu.

  1. $y=-3,5+2x=2x-3,5$. Es ist also $m=2$ und $b=-3,5$.
  2. $y=\frac43x+2$. Hier ist $m=\frac43$ und $b=2$.
  3. $y=1+4x=4x+1$. Hier ist $m=4$ und $b=1$.
  4. $y=-2,3x+3$. Hier ist $m=-2,3$ und $b=3$.

• Gib an, welche der Gleichungen eine lineare Funktion darstellt.

  Tipps

  Bei einer linearen Funktion ist der höchste Exponent der Variablen eine $1$.

  Eine der beiden angegebenen Funktionen ist eine lineare Funktion.

  Folgende Funktionsgleichung beschreibt eine lineare Funktion:

  $y=2x+4$

  Lösung

  Wenn eine Funktion durch Ersetzen von $m$ und $b$ in der Gleichung $y=m\cdot x+b$ entsteht, liegt eine lineare Funktion vor, ansonsten nicht.

  Die obige Gleichung ist eine mögliche Darstellung der linearen Funktion.

  Eine Funktion $y=ax^2+bx+c$ hat den höchsten Exponenten $2$. Dies ist keine lineare Funktion. Somit ist auch $x^2-3x$ keine lineare Funktion.

  Bei der Funktion $y=\frac12x-1$ ist $m=\frac12$ und $b=-1$. Also handelt es sich hierbei um eine lineare Funktion.

• Prüfe, welcher der Graphen zu der linearen Funktion gehört.

  Tipps

  Rechne einige Werte aus und trage die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem ein.

  Wenn $m>0$ ist, steigt die Gerade.

  Du kannst auch nach dem Ausschlussprinzip vorgehen. Berechne den Funktionswert für $x=0$.

  Lösung

  Man kann eine Wertetabelle erstellen:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&1,25&2&2,75&3,5&4,25 \end{array}$

  Die so erhaltenen Punkte können in ein Koordinatensystem eingetragen und verbunden werden.

  Der zugehörige Graph ist die rote Gerade, also die Gerade (2). Diese ist in dem nebenstehenden Bild zu erkennen.