Brüche addieren 2 – kleinstes gemeinsames Vielfaches nutzen

Brüche addieren 2 – kleinstes gemeinsames Vielfaches nutzen Übung

• Beschreibe das Vorgehen bei der Addition ungleichnamiger Brüche.

  Tipps

  Folgendes gilt für die Abkürzungen.

  • $\text{ggT}$ = größter gemeinsamer Teiler
  • $\text{kgV}$ = kleinstes gemeinsames Vielfaches

  Ungleichnamige Brüche sind Brüche mit unterschiedlichen Nennern.

  Erweitern bedeutet, dass du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst. Beim Kürzen hingegen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

  Lösung

  Du addierst gleichnamige Brüche, indem du die Zähler addierst und den Nenner beibehältst.

  Manchmal musst du allerdings Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren. In so einem Fall handelt es sich um ungleichnamige Brüche, die du zunächst auf einen gemeinsamen Nenner bringen musst. Du gehst dabei wie folgt vor:

  1. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitern
  2. Zähler der gleichnamig gemachten Brüche addieren und Nenner beibehalten
  3. Ergebnis, wenn möglich, kürzen

  Den gemeinsamen Nenner kann man mittels zweier Methoden bestimmen:

  • Man kann die Brüche jeweils mit dem Nenner des anderen Bruches erweitern.
  • Man bestimmt das $\text{kgV}$ der beiden Nenner als neuen gemeinsamen Nenner und erweitert entsprechend.

  Letztere Methode ist insbesondere bei größeren Nennern sehr vorteilhaft.

• Berechne die Summe der jeweiligen Additionsaufgaben.

  Tipps

  Ungleichnamige Brüche sind Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Möchtest du ungleichnamige Brüche addieren, so musst du diese durch Erweitern gleichnamig machen.

  Bestimme zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Summanden. Erweitere dann die Brüche auf diesen Nenner.

  Sieh dir folgendes Beispiel an: $~ \dfrac 13+\dfrac 12$.

  Bestimme zunächst das $\text{kgV}$ der Nenner.

  • $\text{kgV}(2;3)=6$

  Erweitere nun die Brüche auf diesen Nenner.

  • $\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac 26+\frac 36$

  Addiere nun die Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

  • $\frac 26+\frac 36=\frac 56$

  Lösung

  Bei der Addition ungleichnamiger Brüche geht man wie folgt vor:

  • Zunächst wird das $\text{kgV}$ der Nenner aller Summanden bestimmt.
  • Dann werden alle Brüche auf diesen Nenner erweitert, sodass sie gleichnamig sind.
  • Anschließend werden die Zähler addiert und der Nenner beibehalten.

  Also werden die beiden Additionen wie folgt durchgeführt.

  Aufgabe 1: $~\dfrac 12+\dfrac 14$

  Wir bestimmen zunächst das $\text{kgV}$ der Nenner:

  • $\text{kgV}(2; 4)=4$.

  Wir erweitern nun die Brüche auf den Nenner $4$ und addieren die gleichnamigen Brüche:

  • $\dfrac{1\cdot 2}{2\cdot 2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac 3{4}$.

  Aufgabe 2: $~\dfrac 1{12}+\dfrac 1{18}$

  Wieder bestimmen wir das $\text{kgV}$ der Nenner:

  • $\text{kgV}(12; 18)=36$.

  Wir können nun auf denselben Nenner erweitern und addieren:

  • $\dfrac{1\cdot 3}{12\cdot 3}+\dfrac{1\cdot 2}{18\cdot 2}=\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac 5{36}$.

  Demnach sind alle anderen Auswahlmöglichkeiten falsch.

• Ermittle das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen.

  Tipps

  Notiere dir zunächst die Vielfachenmengen und vergleiche die darin enthaltenen Vielfachen.

  Du kannst auch mit Hilfe der Primfaktorzerlegung das $\text{kgV}$ bestimmen. Sieh dir hierzu das Beispiel $\text{kgV}(4;6)$ an.

  Primfaktorzerlegung

  • $4 = 2 \cdot 2$
  • $6 = 2\cdot 3$

  Nun überprüfst du, in welcher Zerlegung ein Primfaktor am häufigsten vertreten ist.

  • Die $2$ kommt in der Primfaktorzerlegung der $4$ zweimal vor und somit häufiger als in der Zerlegung der Zahl $6$.
  • Die $3$ kommt in der Zerlegung der Zahl $4$ gar nicht vor und in der Zerlegung der $6$ einmal und somit häufiger.

  Nun multiplizieren wir die Primfaktoren mit der höchsten Häufigkeit miteinander:

  • $\text{kgV}(4; 6)=2\cdot 2\cdot 3=4\cdot 3=12$.

  Lösung

  Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen zu bestimmen. Im Folgenden notieren wir uns die Vielfachenmengen der gegebenen Zahlen und vergleichen diese, um so das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.

  Beispiel 1: $~\text{kgV}(3;5)$

  Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:

  • $V_3=\{ 3; 6; 9; 12; 15; \ ...\ \}$ und
  • $V_5=\{ 5; 10; 15; 20; \ ...\ \}$.

  Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also die $15$. Dieses geben wir wie folgt an:

  • $~\text{kgV}(3;5)=15$.

  Beispiel 2: $~\text{kgV}(6;14)$

  Die Vielfachenmengen sind:

  • $V_{6}=\{ 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; \ ...\ \}$ und
  • $V_{14}=\{ 14; 28; 42; \ ...\ \}$.

  Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also $42$ und wir schreiben:

  • $~\text{kgV}(6;14)=42$.

  Beispiel 3: $~\text{kgV}(8;18)$

  Für $8$ und $18$ erhalten wir folgende Vielfachenmengen:

  • $V_{8}=\{ 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; \ ...\ \}$ und
  • $V_{18}=\{ 18; 36; 54; 72; \ ...\ \}$.

  Das kleinste gemeinsame Vielfache können wir nun wie folgt angeben:

  • $~\text{kgV}(8;18)=72$.

  Beispiel 4: $~\text{kgV}(4; 22)$

  Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:

  • $V_{4}=\{ 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; \ ...\ \}$ und
  • $V_{22}=\{ 22; 44; \ ...\ \}$.

  Das kleinste gemeinsame Vielfache ist demnach wie folgt gegeben:

  • $~\text{kgV}(4;22)=44$.

• Bestimme die Summe der gegebenen Brüche.

  Tipps

  Beim Addieren ungleichnamiger Brüche gehst du wie folgt vor:

  1. $\text{kgV}$ der Nenner bestimmen
  2. Brüche durch Erweitern gleichnamig machen
  3. Zähler addieren, Nenner beibehalten
  4. wenn möglich kürzen

  Du erweiterst, indem du den Zähler und den Nenner eines Bruches mit derselben Zahl multiplizierst.

  Lösung

  Beim Addieren ungleichnamiger Brüche gehen wir wie folgt vor:

  1. $\text{kgV}$ der Nenner bestimmen
  2. Brüche durch Erweitern gleichnamig machen
  3. Zähler addieren, Nenner beibehalten
  4. wenn möglich kürzen

  Für die gegebenen Additionsaufgaben erhalten wir dann die folgenden Summen.

  • $\dfrac 16+\dfrac 3{14}=\dfrac {1\cdot 7}{6\cdot 7}+\dfrac {3\cdot 3}{14\cdot 3}=\dfrac {7}{42}+\dfrac {9}{42}=\dfrac{16}{42}=\dfrac{8}{21}$

  • $\dfrac 14+\dfrac 2{7}=\dfrac {1\cdot 7}{4\cdot 7}+\dfrac {2\cdot 4}{7\cdot 4}=\dfrac {7}{28}+\dfrac {8}{28}=\dfrac{15}{28}$

  • $\dfrac 5{12}+\dfrac 5{24}=\dfrac {5\cdot 2}{12\cdot 2}+\dfrac {5}{24}=\dfrac {10}{24}+\dfrac {5}{24}=\dfrac{15}{24}$

  • $\dfrac 1{12}+\dfrac 7{9}=\dfrac {1\cdot 3}{12\cdot 3}+\dfrac {7\cdot 4}{9\cdot 4}=\dfrac {3}{36}+\dfrac {28}{36}=\dfrac{31}{36}$

• Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen.

  Tipps

  $\text{kgV}$ steht für das kleinste gemeinsame Vielfache. Das $\text{kgV}$ zweier Zahlen kann nicht kleiner sein als die größere der beiden betrachteten Zahlen.

  Vergleiche die Vielfachenmengen der gegebenen Zahlen und bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache.

  Sieh dir folgendes Beispiel an: $\text{kgV}(3;8)$.

  $V_3=\{ 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; \ ...\ \}$

  $V_8=\{ 8; 16; 24; 32; 40; \ ...\ \}$

  Die $24$ ist die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachenmengen vorkommt.

  Also gilt für das kleinste gemeinsame Vielfache von $3$ und $8$: $~\text{kgV}(3;8)=24$.

  Lösung

  Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen zu bestimmen. Im Folgenden notieren wir uns die Vielfachenmengen der gegebenen Zahlen und vergleichen diese, um so das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.

  Beispiel 1: $~\text{kgV}(2;4)$

  Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:

  • $V_2=\{ 2; 4; 6; 8;\ ...\ \}$ und
  • $V_4=\{ 4; 8; 12; 16; \ ...\ \}$.

  Mehr Vielfache müssen wir uns nicht notieren, da das kleinste gemeinsame Vielfache bereits enthalten ist, nämlich die $4$. Es folgt also:

  • $~\text{kgV}(2;4)=4$.

  Beispiel 2: $~\text{kgV}(12;18)$

  Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:

  • $V_{12}=\{ 12; 24; 36; 48;\ ...\ \}$ und
  • $V_{18}=\{ 18; 36; 54; \ ...\ \}$.

  Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also $36$ und wir schreiben:

  • $~\text{kgV}(12;18)=36$.

  Alle übrigen Auswahlmöglichkeiten sind demnach falsch. Merke dir: Das kleinste gemeinsame Vielfache kann nicht kleiner sein als die größere der betrachteten Zahlen.

• Ermittle die Summe der gegebenen Terme.

  Tipps

  Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der zu addierenden Brüche und erweitere die Summanden auf diesen Nenner.

  Lösung

  Wir gehen nun wie folgt vor:

  1. Wir überprüfen zunächst, ob die Nenner der zu addierenden Brüche gleich sind.
  2. Sind sie gleichnamig, können wir sie addieren, indem wir ihre Zähler addieren und den Nenner gleich lassen. Sind sie nicht gleichnamig, so müssen wir sie so erweitern, dass sie denselben Nenner haben. Dann können wir wie gewohnt addieren.

  Aufgaben mit der Summe $\frac {11}{28}$

  • $\dfrac 17+\dfrac 14=\dfrac {1\cdot 4}{7\cdot 4}+\dfrac {1\cdot 7}{4\cdot 7}=\dfrac{4}{28}+\dfrac{7}{28}=\dfrac{11}{28}$
  • $\dfrac {3}{14}+\dfrac 5{28}=\dfrac {3\cdot 2}{14\cdot 2}+\dfrac {5}{28}=\dfrac{6}{28}+\dfrac{5}{28}=\dfrac{11}{28}$

  Aufgaben mit der Summe $\frac {44}{45}$

  • $\dfrac{11}{15}+\dfrac{11}{45}=\dfrac {11\cdot 3}{15\cdot 3}+\dfrac {11}{45}=\dfrac{33}{45}+\dfrac{11}{45}=\dfrac{44}{45}$
  • $\dfrac{3}{5}+\dfrac{17}{45}=\dfrac {3\cdot 9}{5\cdot 9}+\dfrac {17}{45}=\dfrac{27}{45}+\dfrac{17}{45}=\dfrac{44}{45}$
  • $\dfrac{2}{3}+\dfrac{14}{45}=\dfrac {2\cdot 15}{3\cdot 15}+\dfrac {14}{45}=\dfrac{30}{45}+\dfrac{14}{45}=\dfrac{44}{45}$

  Aufgaben mit der Summe $\frac {37}{45}$

  • $\dfrac{6}{15}+\dfrac{19}{45}=\dfrac {6\cdot 3}{15\cdot 3}+\dfrac {19}{45}=\dfrac{18}{45}+\dfrac{19}{45}=\dfrac{37}{45}$