Brüche addieren 2 – kleinstes gemeinsames Vielfaches nutzen

Grundlagen zum Thema Brüche addieren 2 – kleinstes gemeinsames Vielfaches nutzen
Wenn wir Brüche addieren, erweitern wir diese erst so, dass sie gleiche Nenner haben. Dabei ist es oft praktisch, auf das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner zu erweitern. Im Video kannst du sehen, wieviel Aufwand es sein kann, schlicht die Nenner der Brüche zu multiplizieren statt auf das kgV zu erweitern. Unsere Methode, Brüche zu addieren, sieht also nun so aus: - auf das kgV der Nenner erweitern - Zähler addieren - kürzen (falls möglich)
Brüche addieren 2 – kleinstes gemeinsames Vielfaches nutzen Übung
-
Beschreibe das Vorgehen bei der Addition ungleichnamiger Brüche.
TippsFolgendes gilt für die Abkürzungen.
- $\text{ggT}$ = größter gemeinsamer Teiler
- $\text{kgV}$ = kleinstes gemeinsames Vielfaches
Ungleichnamige Brüche sind Brüche mit unterschiedlichen Nennern.
Erweitern bedeutet, dass du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst. Beim Kürzen hingegen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.
LösungDu addierst gleichnamige Brüche, indem du die Zähler addierst und den Nenner beibehältst.
Manchmal musst du allerdings Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren. In so einem Fall handelt es sich um ungleichnamige Brüche, die du zunächst auf einen gemeinsamen Nenner bringen musst. Du gehst dabei wie folgt vor:
- Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitern
- Zähler der gleichnamig gemachten Brüche addieren und Nenner beibehalten
- Ergebnis, wenn möglich, kürzen
- Man kann die Brüche jeweils mit dem Nenner des anderen Bruches erweitern.
- Man bestimmt das $\text{kgV}$ der beiden Nenner als neuen gemeinsamen Nenner und erweitert entsprechend.
-
Berechne die Summe der jeweiligen Additionsaufgaben.
TippsUngleichnamige Brüche sind Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Möchtest du ungleichnamige Brüche addieren, so musst du diese durch Erweitern gleichnamig machen.
Bestimme zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Summanden. Erweitere dann die Brüche auf diesen Nenner.
Sieh dir folgendes Beispiel an: $~ \dfrac 13+\dfrac 12$.
Bestimme zunächst das $\text{kgV}$ der Nenner.
- $\text{kgV}(2;3)=6$
- $\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac 26+\frac 36$
- $\frac 26+\frac 36=\frac 56$
LösungBei der Addition ungleichnamiger Brüche geht man wie folgt vor:
- Zunächst wird das $\text{kgV}$ der Nenner aller Summanden bestimmt.
- Dann werden alle Brüche auf diesen Nenner erweitert, sodass sie gleichnamig sind.
- Anschließend werden die Zähler addiert und der Nenner beibehalten.
Aufgabe 1: $~\dfrac 12+\dfrac 14$
Wir bestimmen zunächst das $\text{kgV}$ der Nenner:
- $\text{kgV}(2; 4)=4$.
- $\dfrac{1\cdot 2}{2\cdot 2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac 3{4}$.
Wieder bestimmen wir das $\text{kgV}$ der Nenner:
- $\text{kgV}(12; 18)=36$.
- $\dfrac{1\cdot 3}{12\cdot 3}+\dfrac{1\cdot 2}{18\cdot 2}=\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac 5{36}$.
-
Ermittle das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen.
TippsNotiere dir zunächst die Vielfachenmengen und vergleiche die darin enthaltenen Vielfachen.
Du kannst auch mit Hilfe der Primfaktorzerlegung das $\text{kgV}$ bestimmen. Sieh dir hierzu das Beispiel $\text{kgV}(4;6)$ an.
Primfaktorzerlegung
- $4 = 2 \cdot 2$
- $6 = 2\cdot 3$
- Die $2$ kommt in der Primfaktorzerlegung der $4$ zweimal vor und somit häufiger als in der Zerlegung der Zahl $6$.
- Die $3$ kommt in der Zerlegung der Zahl $4$ gar nicht vor und in der Zerlegung der $6$ einmal und somit häufiger.
- $\text{kgV}(4; 6)=2\cdot 2\cdot 3=4\cdot 3=12$.
LösungEs gibt unterschiedliche Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen zu bestimmen. Im Folgenden notieren wir uns die Vielfachenmengen der gegebenen Zahlen und vergleichen diese, um so das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.
Beispiel 1: $~\text{kgV}(3;5)$
Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:
- $V_3=\{ 3; 6; 9; 12; 15; \ ...\ \}$ und
- $V_5=\{ 5; 10; 15; 20; \ ...\ \}$.
- $~\text{kgV}(3;5)=15$.
Die Vielfachenmengen sind:
- $V_{6}=\{ 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; \ ...\ \}$ und
- $V_{14}=\{ 14; 28; 42; \ ...\ \}$.
- $~\text{kgV}(6;14)=42$.
Für $8$ und $18$ erhalten wir folgende Vielfachenmengen:
- $V_{8}=\{ 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; \ ...\ \}$ und
- $V_{18}=\{ 18; 36; 54; 72; \ ...\ \}$.
- $~\text{kgV}(8;18)=72$.
Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:
- $V_{4}=\{ 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; \ ...\ \}$ und
- $V_{22}=\{ 22; 44; \ ...\ \}$.
- $~\text{kgV}(4;22)=44$.
-
Bestimme die Summe der gegebenen Brüche.
TippsBeim Addieren ungleichnamiger Brüche gehst du wie folgt vor:
- $\text{kgV}$ der Nenner bestimmen
- Brüche durch Erweitern gleichnamig machen
- Zähler addieren, Nenner beibehalten
- wenn möglich kürzen
Du erweiterst, indem du den Zähler und den Nenner eines Bruches mit derselben Zahl multiplizierst.
LösungBeim Addieren ungleichnamiger Brüche gehen wir wie folgt vor:
- $\text{kgV}$ der Nenner bestimmen
- Brüche durch Erweitern gleichnamig machen
- Zähler addieren, Nenner beibehalten
- wenn möglich kürzen
- $\dfrac 16+\dfrac 3{14}=\dfrac {1\cdot 7}{6\cdot 7}+\dfrac {3\cdot 3}{14\cdot 3}=\dfrac {7}{42}+\dfrac {9}{42}=\dfrac{16}{42}=\dfrac{8}{21}$
- $\dfrac 14+\dfrac 2{7}=\dfrac {1\cdot 7}{4\cdot 7}+\dfrac {2\cdot 4}{7\cdot 4}=\dfrac {7}{28}+\dfrac {8}{28}=\dfrac{15}{28}$
- $\dfrac 5{12}+\dfrac 5{24}=\dfrac {5\cdot 2}{12\cdot 2}+\dfrac {5}{24}=\dfrac {10}{24}+\dfrac {5}{24}=\dfrac{15}{24}$
- $\dfrac 1{12}+\dfrac 7{9}=\dfrac {1\cdot 3}{12\cdot 3}+\dfrac {7\cdot 4}{9\cdot 4}=\dfrac {3}{36}+\dfrac {28}{36}=\dfrac{31}{36}$
-
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen.
Tipps$\text{kgV}$ steht für das kleinste gemeinsame Vielfache. Das $\text{kgV}$ zweier Zahlen kann nicht kleiner sein als die größere der beiden betrachteten Zahlen.
Vergleiche die Vielfachenmengen der gegebenen Zahlen und bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache.
Sieh dir folgendes Beispiel an: $\text{kgV}(3;8)$.
$V_3=\{ 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; \ ...\ \}$
$V_8=\{ 8; 16; 24; 32; 40; \ ...\ \}$
Die $24$ ist die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachenmengen vorkommt.
Also gilt für das kleinste gemeinsame Vielfache von $3$ und $8$: $~\text{kgV}(3;8)=24$.
LösungEs gibt unterschiedliche Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen zu bestimmen. Im Folgenden notieren wir uns die Vielfachenmengen der gegebenen Zahlen und vergleichen diese, um so das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.
Beispiel 1: $~\text{kgV}(2;4)$
Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:
- $V_2=\{ 2; 4; 6; 8;\ ...\ \}$ und
- $V_4=\{ 4; 8; 12; 16; \ ...\ \}$.
- $~\text{kgV}(2;4)=4$.
Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:
- $V_{12}=\{ 12; 24; 36; 48;\ ...\ \}$ und
- $V_{18}=\{ 18; 36; 54; \ ...\ \}$.
- $~\text{kgV}(12;18)=36$.
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Ermittle die Summe der gegebenen Terme.
TippsFinde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der zu addierenden Brüche und erweitere die Summanden auf diesen Nenner.
LösungWir gehen nun wie folgt vor:
- Wir überprüfen zunächst, ob die Nenner der zu addierenden Brüche gleich sind.
- Sind sie gleichnamig, können wir sie addieren, indem wir ihre Zähler addieren und den Nenner gleich lassen. Sind sie nicht gleichnamig, so müssen wir sie so erweitern, dass sie denselben Nenner haben. Dann können wir wie gewohnt addieren.
- $\dfrac 17+\dfrac 14=\dfrac {1\cdot 4}{7\cdot 4}+\dfrac {1\cdot 7}{4\cdot 7}=\dfrac{4}{28}+\dfrac{7}{28}=\dfrac{11}{28}$
- $\dfrac {3}{14}+\dfrac 5{28}=\dfrac {3\cdot 2}{14\cdot 2}+\dfrac {5}{28}=\dfrac{6}{28}+\dfrac{5}{28}=\dfrac{11}{28}$
- $\dfrac{11}{15}+\dfrac{11}{45}=\dfrac {11\cdot 3}{15\cdot 3}+\dfrac {11}{45}=\dfrac{33}{45}+\dfrac{11}{45}=\dfrac{44}{45}$
- $\dfrac{3}{5}+\dfrac{17}{45}=\dfrac {3\cdot 9}{5\cdot 9}+\dfrac {17}{45}=\dfrac{27}{45}+\dfrac{17}{45}=\dfrac{44}{45}$
- $\dfrac{2}{3}+\dfrac{14}{45}=\dfrac {2\cdot 15}{3\cdot 15}+\dfrac {14}{45}=\dfrac{30}{45}+\dfrac{14}{45}=\dfrac{44}{45}$
- $\dfrac{6}{15}+\dfrac{19}{45}=\dfrac {6\cdot 3}{15\cdot 3}+\dfrac {19}{45}=\dfrac{18}{45}+\dfrac{19}{45}=\dfrac{37}{45}$

Brüche gleichnamig machen

Addition von Brüchen

Brüche addieren

Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen

Brüche addieren 1 – Brüche gleichnamig machen

Brüche addieren 2 – kleinstes gemeinsames Vielfaches nutzen

Brüche addieren 3 – allgemeine Methode

Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen (Übungsvideo)

Brüche addieren – Übung 1

Brüche addieren – Übung 2

Brüche addieren – Übung 3

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Brüche addieren – Übung 5
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37 Kommentare
Finde ich auch auserdem
Ich finde das Video gut. Aber es könnte ein bisschen deutlicher erklärt werden.
Cool
Ach so das sind Stifte 🖊
🫑