Binomische Formeln – Übung (2)

Binomische Formeln – Übung (2) Übung

• Bestimme die binomische Formel sowie die Wahl von $a$ und $b$.

  Tipps

  Überlege zunächst, welche binomische Formel angewendet wird. Oben siehst du alle drei Formeln. Welche trifft auf diesen Term zu?

  Beachte, dass der gegebene Term ein Minuszeichen enthält.

  Schreibe dir den Term über die binomische Formel und gleiche sowohl die Variablen als auch das Rechenzeichen ab.

  Lösung

  Man erkennt schnell, dass es sich bei dem Term $(3-b)^2$ um die „linke“ Seite einer binomischen Formel handelt. Um genauer zu bestimmen, welche der drei Formeln zutreffen, schauen wir uns die Rechenoperationen an. Es ist ein Minuszeichen und die Klammer wird zum Quadrat genommen, also mit sich selber multipliziert. Dies ist nur bei der 2. binomischen Formel der Fall:

  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

  Um die Formel anwenden zu können, musst du entscheiden, was für $a$ und was für $b$ eingesetzt werden kann. Schreibe zum Beispiel den Term $(3-b)^2$ über die 2. binomische Formel. Du kannst erkennen, dass $a=3$ und $b=b$ gilt. Jetzt kannst du die binomische Formel anwenden:

  $\begin{align*} (3-b)^2&=3^2-2\cdot3\cdot b+b^2\\ &=9-6b+b^2. \end{align*}$

• Stelle den Term mit einer binomischen Formel dar.

  Tipps

  Die drei binomischen Formeln lauten:

  Der Term $a^2-1$ ist eine Differenz von zwei Quadratzahlen, denn $1^2 = 1$.

  Setze die Werte für $a$ und $b$ in die binomische Formel ein.

  Lösung

  Um eine binomische Formel anwenden zu können, musst du zunächst entscheiden

  • ob es sich überhaupt um eine binomische Formel handelt und
  • falls ja, um welche binomische Formel es sich handelt.

  Der Term $a^2-1$ ist eine Differenz von zwei Quadratzahlen, denn $1 = 1^2$. Daher liegt hier die 3. binomische Formel $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$ vor.

  Wir setzen für $a$ und $b$ in die Formel $a=a$ und $b=1$ ein und erhalten somit:

  $a^2-1=(a+1)\cdot (a-1)$.

• Wende, sofern möglich, die binomischen Formeln an.

  Tipps

  Wie lauten die drei binomischen Formeln? Notiere sie dir und vergleiche die gegebenen Terme mit den Formeln.

  Man kann Formeln immer von links nach rechts, sowie von rechts nach links anwenden.

  Lösung

  Woran kannst du erkennen, ob, und wenn ja, welche binomische Formel angewendet werden kann? Zunächst solltest du die binomischen Formeln dir notieren:

  $\begin{align*} \text{1. }&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ \text{2. }&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ \text{3. }&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}$

  Wenn du einen Term umformen möchtest, schau dir an, ob dieser so aussieht wie die linke oder die rechte Seite von einer dieser Formeln.

  • $4-4z+z^2$ entspricht der rechten Seite der 2. binomischen Formel. Das kannst du an dem Minuszeichen erkennen. Hier ist $a=\sqrt{4}=2$ und $b=\sqrt{z^2}=z$. Also gilt $4-4z+z^2=(2-z)^2$.

  • $4-4z-z^2$ sieht so ähnlich aus wie der erste Term. Jedoch steht vor dem $z^2$ ein Minuszeichen. Daher ist hier keine binomische Formel anwendbar.

  • $(4+z)^2$ ist die linke Seite der 1. binomischen Formel mit $a=4$ und $b=z$. Also gilt $(4+z)^2=4^2+2\cdot 4 \cdot z+z^2=16+8z+z^2$.

  • $16-z^2$ stellt die rechte Seite der 3. binomischen Formel dar, denn es ist die Differenz aus zwei Quadratzahlen. Dabei ist $a=\sqrt{16}=4$ und $b=\sqrt{z^2}=z$. Somit gilt $16-z^2=(4+z)\cdot (4-z)$.

• Gib die einzelnen Schritte zur Umformung mit einer binomischen Formel an.

  Tipps

  Schau den Term $u^2-25$ an: Ist dies die linke oder die rechte Seite einer binomischen Formel?

  Du siehst die Differenz zweier Quadrate. In welcher binomischen Formel kommt dies vor?

  Lösung

  Bei dem Term $u^2-25=u^2-5^2$ kannst du die „rechte“ Seite der 3. binomischen Formel $(a+b)\cdot(a-b)= a^2-b^2$ erkennen.

  Wir setzen also $a=u$ und $b=5$ in die 3. binomische Formel ein und erhalten:

  $u^2-25=(u+5) \cdot (u-5)$.

• Gib die binomischen Formeln an.

  Tipps

  Wie lauten die drei binomischen Formeln? Falls sie dir nicht einfallen, kannst du die Klammer-Ausdrücke einfach ausmultiplizieren und zusammenfassen.

  Wenn du zwei Klammern miteinander multiplizierst, dann musst du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.

  Man kann $a$ und $b$ auch ersetzen durch andere Bezeichnungen für Variablen.

  Hier wurde auch $a=b$ und $b=a$ in die dritte binomische Formel eingesetzt.

  Lösung

  Die binomischen Formeln lauten:

  1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  3. $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$

  Wenn du dir diese nicht merken kannst, multipliziere sie jedes Mal aufs neue aus:

  • 1. binomische Formel:

  $\begin{align*} (a+b)^2&=(a+b)\cdot(a+b) \\ &=a \cdot a+ab+ba+b\cdot b \\ &=a^2+2ab+b^2. \end{align*}$

  • 2. binomische Formel:

  $\begin{align*} (a-b)^2&=(a-b)\cdot(a-b)\\ &=a\cdot a-ab-ba-b\cdot(-b)\\ &=a^2-2ab+b^2. \end{align*}$

  • 3. binomische Formel:

  $\begin{align*} (a+b)\cdot(a-b)&=a\cdot a-ab+ba+b\cdot (-b)\\ &=a^2-b^2. \end{align*}$

  Die binomischen Formeln werden oft zum Vereinfachen von Termen verwendet. Auch hier trifft, wie so oft in der Mathematik, das Sprichwort zu: Übung macht den Meister. Durch viel Übung lernst du die Formeln automatisch auswendig.

• Vereinfache den Term so weit wie möglich mit Hilfe der binomischen Formeln.

  Tipps

  Du kannst bei beiden Brüchen die Zähler mit Hilfe der binomischen Formeln umformen.

  Man kann einen Bruch kürzen, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert.

  Lösung

  Der gegebene Term $\large{\frac{x^2-6x+9}{x-3}-\frac{x^2-16}{x+4}}$ sieht sehr kompliziert aus. Doch durch das Umformen mit Hilfe der binomischen Formeln

  $\begin{align*} \text{1. }&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ \text{2. }&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ \text{3. }&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}$

  und durch das anschließende kürzen, erhalten wir schnell eine einfache Lösung.

  Betrachten wir als erstes den Zähler des ersten Bruchs:

  $x^2-6x+9=x^2-2\cdot x\cdot3+3^2$.

  So ist an dem Minuszeichen und den drei Summanden gut zu erkennen, dass hier die 2. binomische Formel mit $a=x$ und $b=3$ angewendet werden kann: $x^2-6x+9=(x-3)^2$.

  Der Zähler des zweiten Bruchs stellt die Differenz zweier Quadratzahlen dar:

  $x^2-16= x^2-4^2$.

  Solch eine Differenz siehst du auf der rechten Seite der dritten binomischen Formel mit $a=x$ und $b=4$. Also gilt $x^2-4^2=(x+4)\cdot (x-4)$.

  Nun kann der Ausgangsterm vereinfacht werden:

  $\begin{align*} \frac{x^2-6x+9}{x-3}-\frac{x^2-16}{x+4}&=\frac{(x-3)^2}{(x-3)}-\frac{(x+4)\cdot(x-4)}{x+4}\\ &=(x-3)-(x-4) \\ &=x - x -3 + 4 \\ &= 1 \end{align*}$