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Binomische Formeln – Anwendung

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Team Digital
Binomische Formeln – Anwendung
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Binomische Formeln – Anwendung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die binomischen Formeln anzuwenden.

Zunächst lernst du, wie du die binomischen Formeln anwenden kannst, um entsprechende Klammerterme zu vereinfachen. Anschließend lernst du, wie du die binomischen Formeln auch “rückwärts” anwenden kannst.

binomische Formeln anwenden

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie erste, zweite und dritte binomische Formel, Term und ausmultiplizieren.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie die drei binomischen Formeln lauten.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, auch schwierigere Anwendungsbeispiele zu üben.

Transkript Binomische Formeln – Anwendung

Großmeister Bi Nom sucht einen Nachfolger. Doch den Titel „binomialer Großmeister“ bekommt sein Lehrling nicht geschenkt. Um die Ausbildung erfolgreich abzuschließen, benötigt es viel Übung im Rechnen mit den binomischen Formeln. Denn ein wahrer Meister weiß nicht nur, wie die Formeln lauten. Seine Mission ist erst dann erfüllt, wenn er auch die „Anwendung der binomischen Formeln“ beherrscht. Schauen wir uns die binomischen Formeln noch einmal auf einen Blick an. Wir haben die erste, zweite, und dritte binomische Formel. Diese sollten wir uns gut einprägen. Denn dann können wir sie in verschiedenen Termen als Muster wiedererkennen und anwenden. Dazu heißt es: Üben, üben, üben! Ein erstes Beispiel: Gegeben ist der Term „drei plus zwei x in Klammern zum Quadrat“. Hier erkennen wir die Form der ersten binomischen Formel wieder. Die drei entspricht unserem a und die zwei x dem b. Um diesen Term auszumultiplizieren, wenden wir also die erste binomische Formel an. Wir erhalten drei hoch zwei plus zwei mal drei mal zwei x plus zwei x zum Quadrat. Achtung, hier müssen wir sowohl die zwei als auch das x quadrieren! Wir erhalten also insgesamt „neun plus zwölf x plus vier x Quadrat“. Diesen Term können wir nicht weiter vereinfachen, fertig! Und schon kommen wir zur zweiten Aufgabe. Jetzt sollen die Klammern „vier minus x“ und „vier plus x“ ausmultipliziert werden. Können wir auch auf diesen Term eine binomische Formel anwenden? Ja! Wir können die Position der beiden Klammern tauschen, da es sich um eine Multiplikation handelt. Dann erkennen wir, dass wir die dritte binomische Formel benutzen können. Wir müssen also nur vier zum Quadrat minus x Quadrat berechnen. Das ergibt sechzehn minus x Quadrat. Und schon haben wir die Klammern mit Hilfe der dritten binomischen Formel ausmultipliziert. Doch wir können auch andersherum vorgehen. Schauen wir uns den Term „x Quadrat minus sechs x plus neun“ an. Können wir auch hier eine binomische Formel anwenden? Das ist schon etwas verzwickter, aber es geht! Wir können den mittleren Term umformen zu „minus zwei mal x mal drei“. Außerdem ist neun gleich drei hoch zwei. Doch wozu diese Umformungsschritte? In dieser Form erkennen wir, dass der Term der rechten Seite der zweiten binomischen Formel entspricht. Das x entspricht dabei dem a und die drei dem b. Da das Vorzeichen negativ ist, handelt es sich um die zweite und nicht um die erste binomische Formel. Haben wir das erkannt, können wir die Formel nun rückwärts anwenden. Und erhalten „x minus drei in Klammern zum Quadrat“. Ein weiteres Beispiel. Gegeben ist „neun x Quadrat minus fünfundzwanzig y Quadrat“. Sowohl die neun als auch die fünfundzwanzig sind Quadratzahlen. Wir können den Term daher umformen zu „drei zum Quadrat mal x Quadrat minus fünf zum Quadrat mal y Quadrat“. Anschließend können wir Klammern setzen. Jetzt erkennen wir, dass die drei x dem a und die fünf y dem b der rechten Seite der dritten binomischen Formel entsprechen. Haben wir das erkannt, ist die Arbeit praktisch erledigt. Wir wenden die Formel rückwärts an und erhalten in Klammern drei x plus fünf y mal in Klammern drei x minus fünf y. Alles klar, Zeit für eine Zusammenfassung. Wenn wir binomische Formeln in Termen wiedererkennen, können wir das nutzen, um die Terme umzuformen. Einerseits können wir binomische Formeln anwenden, um entsprechende Klammer-Terme aufzulösen. Dafür muss allerdings die exakte Form einer der drei binomischen Formeln gegeben sein. Haben wir eine solche erkannt, können wir die Formel anwenden, indem wir die entsprechenden Werte für a und b einsetzen und müssen anschließend nur noch vereinfachen. Andererseits können wir die binomischen Formeln auch rückwärts anwenden. Hier ist es auf den ersten Blick manchmal etwas schwieriger, die zutreffende binomische Formel zu erkennen. Wir sollten uns daher merken, dass im Mittelteil der ersten und zweiten binomischen Formel jeweils das Doppelte des Produkts von a und b stehen muss. Haben wir erkannt, welche binomische Formel wir anwenden können, müssen wir die entsprechenden Werte nur noch einsetzen. Damit das problemlos klappt, sollten wir die drei binomischen Formeln gut verinnerlicht haben. Und wie hat sich unser Lehrling geschlagen? Die harte Arbeit hat sich ausgezahlt. Er hat seine Prüfung bestanden und wird in den erhabenen Kreis der Großmeister aufgenommen. Mögen die Binome mit ihm sein!

6 Kommentare
6 Kommentare
  1. Sehr gut erklert 1

    Von Hias, vor 2 Monaten
  2. Gutes Video

    Von Julian, vor 5 Monaten
  3. Sehr toll

    Von Milo, vor etwa einem Jahr
  4. Danke! Sehr hilfreich!

    Von Lia, vor etwa einem Jahr
  5. Lol

    Von Jacky, vor mehr als einem Jahr
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Binomische Formeln – Anwendung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomische Formeln – Anwendung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man die binomische Formel löst.

    Tipps

    Die binomischen Formeln lauten:

    (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

    (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    Lösung

    Die binomischen Formeln lauten:

    (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

    (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    Auflösen der binomischen Formel

    Um die binomischen Formeln in Terme umzuformen, muss die exakte Form gegeben sein.

    Hierfür ist es ganz wichtig, die binomischen Formeln gut zu kennen.

    Wenn wir binomische Formeln in Termen wiedererkennen, können wir das nutzen, um Terme umzuformen.

    Beispiel: $(3+2x)^2 = 3^2~+~2\cdot3\cdot2x~+~2x^2 = 9+12x+4x^2$

    Bei dieser Aufgabe wird die erste binomische Formel in den entsprechenden Klammerterm aufgelöst.

    Die Zahl $3$ entspricht $a$ und $2x$ entspricht dem $b$ in der Formel. Dementsprechend werden die Terme eingesetzt und vereinfacht.

  • Vereinfache den Term mithilfe der binomischen Formel.

    Tipps

    Die binomischen Formeln lauten:

    (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

    (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    Lösung

    Die binomischen Formeln lauten:

    (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

    (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    Vereinfachen des Terms:

    Aufgabe: $(x-3)^2$

    Um den Term zu vereinfachen, musst du zunächst die Struktur der binomischen Formel erkennen. Die Rechenzeichen geben dir einen ersten Anhaltspunkt, hier findest du das Minus in der Klammer. Daher handelt es sich um die zweite binomische Formel.

    $x$ ist also $a$ und $3$ ist $b$.

    Nach dem Einsetzen erhältst du:

    $(x-3)^2 = x^2-2\cdot{x}\cdot3+3^2 = x^2-6x+9 $

  • Überprüfe, ob die binomischen Formeln korrekt angewendet wurden.

    Tipps

    Überprüfe die Formeln auf ihre Richtigkeit. Sie müssen die exakte Struktur haben. Sie lauten:

    (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

    (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    Achte auf die Rechenzeichen: Auch sie müssen genau übereinstimmen!

    Lösung

    Lösungen der Klammerterme

    Um in die binomischen Formeln einsetzen zu können, muss die Struktur genau stimmen und man muss sie gut kennen, um sie anzuwenden. Sie lauten:

    (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

    (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    Überprüfe die Rechnungen

    Um hier den Fehler zu entdecken, musst du die Rechnung mit der korrekten Formel vergleichen. Achte auf die richtigen Zahlen und Rechenzeichen.

    Diese Rechnungen sind falsch:

    • ${(x+5)^2=x^2+10x~{\color{red}-}~25}$
    Hier ist das Rechenzeichen vor der $25$ nicht korrekt, es gehört ein Pluszeichen hin. Die Lösung lautet:

    ${x^2+10x~{\color{green}+}~25}$

    • ${(x-6)(x+6)=x^2~{\color{red}+}~36}$
    Bei dieser Rechnung wurde falsch in die Formel eingesetzt. Hier stimmt das Pluszeichen nicht, es gehört ein Minuszeichen hin. Die Lösung lautet:

    ${x^2~{\color{green}-}~36}$

    • ${(2x+4y)(2x-4y)=4x^2-~{\color{red}8}~y^2}$
    In dem Fall wurde falsch ausmultipliziert. In der Formel steht ${b^2}$, daher ist die Lösung:

    ${4x^2-~{\color{green}1}{\color{green}6}~y^2}$

    Diese Rechnung ist korrekt:

    • ${(x+7)^2 = x^2+14x+49}$
  • Forme die Terme mithilfe der binomischen Formeln um.

    Tipps

    Setze die Werte exakt in die binomischen Formeln ein, dann erhälst du die Klammerterme.

    Beispiel:

    ${(a+3)^2=a^2+2 \cdot a \cdot 3+3^2=a^2+6a+9}$

    Die binomischen Formeln lauten:

    (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

    (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    Lösung

    Lösungen der Klammerterme

    Um in die binomischen Formeln einsetzen zu können, muss die Struktur genau stimmen und man muss sie gut kennen, um sie anzuwenden. Sie lauten:

    (1) ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

    (2) ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

    (3) ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    Die korrekten, ausführlichen Lösungen sind:

    Erste binomische Formel:

    ${(2+a)^2=2^2+2 \cdot 2 \cdot a + a^2 =4+4a+a^2}$

    Zweite binomische Formel:

    ${(2-a)^2=2^2- 2 \cdot 2 \cdot a + a^2=4-4a+a^2}$

    ${(a-2a)^2=a^2 - 2 \cdot a \cdot 2a +(2a)^2 =a^2-4a^2+4a^2=a^2}$

    ${(a-2)^2=a^2-2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 =a^2-4a+4}$

    Dritte binomische Formel:

    ${(a-2)(a+2)=a^2-2^2=a^2-4}$

  • Berechne die Aufgabe mithilfe der binomischen Formel.

    Tipps

    Hier wird die dritte binomische Formel angewendet.

    Die dritte binomische Formel lautet:

    ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    Lösung

    Um diese Aufgabe zu lösen, benötigt man die dritte binomische Formel. Sie lautet:

    ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

    Die Zahl $4$ entspricht hier dem $a$ und das $x$ entspricht dem $b$.

    Somit setzt man wie folgt in die Formel ein:

    ${(4+x)(4-x)=4^2-x^2=16-x^2}$

  • Ermittle aus der Formel den Klammerterm.

    Tipps

    Hier wird die dritte binomische Formel in einen Klammerterm umgewandelt.

    Die dritte binomische Formel lautet:

    ${a^2-b^2=(a)^2-(b)^2=(a+b)(a-b)}$

    Bedenke, dass die Umwandlung von zum Beipiel ${49x^2}$ sowohl die 49 als auch die ${x^2}$ betreffen. Die Lösung lautet hier ${7^2x^2}$.

    Lösung

    Ermittlung des Klammerterms

    In dieser Aufgabe musstest du den Klammerterm zurück in die dritte binomische Formel umformen. Dazu muss die Struktur der binomischen Formel exakt gegeben sein. Dann kannst du die Werte in die Formel einsetzen und erhältst das Ergebnis.

    Die dritte binomische Formel lautet:

    ${a^2-b^2=(a)^2-(b)^2=(a+b)(a-b)}$

    Korrekte Reihenfolge des ersten Terms:

    ${9x^2-25y^2=3^2x^2-5^2y^2=(3x)^2-(5y)^2=(3x+5y)\cdot(3x-5y)}$

    Korrekte Reihenfolge des zweiten Terms:

    ${16x^2-64y^2=4^2x^2-8^2y^2=(4x)^2-(8y)^2=(4x+8y)\cdot(4x-8y)}$

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