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Beweise mit den Additionssätzen führen (2)

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Mathe-Team
Beweise mit den Additionssätzen führen (2)
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Beweise mit den Additionssätzen führen (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Beweise mit den Additionssätzen führen (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Identität $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha)$ für $\alpha=30^\circ$.

    Tipps

    $\sin(3\cdot30^\circ)=\sin(90^\circ)$.

    Spezielle Werte der Sinusfunktion kannst du in der Formelsammlung finden.

    Für den Winkel $\alpha=30^\circ$ gilt $\sin(30^\circ)=\frac12$.

    Lösung

    Es gilt $\sin(90^\circ)=1$.

    Auf der anderen Seite ist $\sin(90^\circ)=\sin(3\cdot 30^\circ)$.

    Nun kann die Formel $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha)$ verwendet werden:

    $\begin{align*} \sin(3\cdot 30^\circ)&=3\sin(30^\circ)-4\sin^3(30^\circ)&|&~\sin(30^\circ)=\frac12\\ &=3\cdot\frac12-4\cdot\left(\frac12\right)^3\\ &=\frac32-\frac48\\ &=1. \end{align*}$

    Somit ist diese Identität für den Winkel $30^\circ$ gezeigt.

  • Beschreibe, wie $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha)$ nachgewiesen werden kann.

    Tipps

    Für die Berechnung des Sinus der Summe zweier Winkel wird der folgende Additionssatz verwendet:

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

    Der Winkel $3\alpha$ kann als Summe $2\alpha+\alpha$ geschrieben werden, um den Additionssatz anwenden zu können.

    Lösung

    Der Winkel $3\alpha$ kann als Summe $2\alpha+\alpha$ geschrieben werden, um den Additionssatz anwenden zu können:

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

    $\begin{align*} \sin(3\alpha)&=\sin(2\alpha+\alpha)\\ &=\sin(2\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(2\alpha)\cdot\sin(\alpha). \end{align*}$

    Im Folgenden werden die Identitäten

    • $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$
    • $\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)$
    • $\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)$
    verwendet:

    $\begin{align*} \sin(2\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(2\alpha)\cdot\sin(\alpha)&=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\left(1-2\sin^2(\alpha)\right)\cdot\sin(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)\cdot\cos^2(\alpha)+\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)\cdot\left(1-\sin^2(\alpha)\right)+\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)+\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)\\ &=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha). \end{align*}$

    Und damit ist diese Aussage bewiesen.

  • Berechne $\sin(270^\circ)$ mithilfe der Gleichung $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha) $.

    Tipps

    Es gilt $\sin(90^\circ)=1$.

    Auch hier lässt sich der Funktionswert für $\alpha=90^\circ$ ablesen. Kannst du den Funktionswert für $\sin(270^\circ)$ erahnen, wenn du an die Symmetrieeigenschaften der Sinus-Funktion denkst?

    Lösung

    Da $270^\circ=3\cdot90^\circ$ ist und $\sin(90^\circ)=1$ kann wie folgt gerechnet werden:

    $\begin{align*} \sin(270^\circ)&=\sin(3\cdot90^\circ)\\ &=3\sin(90^\circ)-4\sin^3(90^\circ)\\ &=3\cdot1-4 \cdot 1^3\\ &=3-4\\ &=-1 \end{align*}$

    Dass der Sinuswert für $\alpha=270^\circ$ den Funktionswert $y=-1$ annimmt, lässt sich im Bild schon erahnen.

  • Setze $\sin(\alpha+90^\circ)$ in Beziehung zu der Kosinusfunktion.

    Tipps

    Verwende den Additionssatz:

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

    Dies ist der Graph der Kosinusfunktion.

    Dies ist der Graph der Sinusfunktion.

    Lösung

    Mit dem Additionssatz

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

    und $\beta=90^\circ$ erhält man

    $\sin(\alpha+90^\circ)=\sin(\alpha)\cdot\cos(90^\circ)+\cos(\alpha)\cdot\sin(90^\circ)$.

    Es gilt

    • $\sin(90^\circ)=1$ sowie
    • $\cos(90^\circ)=0$.
    Damit gilt:

    $\sin(\alpha+90^\circ)=\sin(\alpha)\cdot0+\cos(\alpha)\cdot1=\cos(\alpha)$.

    Da der Kosinus achsensymmetrisch zur y-Achse ist, gilt auch

    $\sin(\alpha+90^\circ)=\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)$.

  • Gib an, welcher Additionssatz zur Berechnung von $\sin(3\alpha)$ verwendet werden kann.

    Tipps

    Der bereits bewiesenen Gleichung $\sin(2\alpha+\alpha)=\sin(2\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(2\alpha)\cdot\sin(\alpha)$ liegt der gesuchte Additionssatz zugrunde.

    Lösung

    Der verwendete Additionssatz ist der erste Additionssatz:

    $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

  • Weise nach, dass $\frac12(1+\cos(2\alpha))=\cos^2(\alpha)$ ist.

    Tipps

    Die folgenden Identitäten können verwendet werden:

    • $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$
    • $\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)$
    • $\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)$

    Es gilt der trigonometrische Pythagoras

    $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

    Lösung

    Wir wollen zum einen $\cos(2\alpha)=1-2\cdot \sin^2(\alpha)$ verwenden, zum anderen den trigonometrischen Satz des Pythagoras. Dieser besagt, dass $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ ist. Wir können somit $\cos^2(\alpha)$ durch $1-\sin(\alpha)$ ersetzen. Durch diese beiden Identitäten ergibt sich diese Gleichung:

    $\begin{align} \frac12 \cdot \left(1+\cos(2\alpha) \right) & = \frac12 \cdot \left(1+1-2\cdot \sin^2(\alpha) \right)\\ & = \frac12 \cdot \left( 2 - 2\cdot \sin^2(\alpha) \right)\\ & = 1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)\\ \end{align}$

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