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Additionstheoreme für sin(x+y) und cos(x+y)

Additionssätze, Additionstheoreme, Sinussatz, Kosinussatz, Winkelsummen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Die Definition von Sinus und Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck.

Der Sinuswert eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist der Quotient aus der Länge der Gegenkathete dieses Winkels sowie der Länge der Hypotenuse.

1147_rechtwinkliges_Dreieck_1.jpg

  ~~

Der Kosinuswert ist definiert als der Quotient aus der Länge der Ankathete dieses Winkels sowie der der Hypotenuse. Es gilt:

  • sin(α)=Gegenkathete von αHypotenuse\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}
  • cos(α)=Ankathete von αHypotenuse\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}

Die Sinus- sowie Kosinusfunktion werden trigonometrische Funktionen oder auch Winkelfunktionen genannt.

Es gilt der trigonometrische Pythagoras (sin(α))2+(cos(α))2=1(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2=1. Dies kannst du dir am Einheitskreis klarmachen.

Damit kannst du schon Sinus- oder Kosinuswerte für bestimmte Winkel berechnen. Zum Beispiel ist sin(45)=cos(45)\sin(45^\circ)=\cos(45^\circ), da ein rechtwinkliges Dreieck mit übereinstimmenden Basiswinkeln gleichschenklig ist. Dann erhältst du:

 (sin(45))2+(cos(45))2=1 cos(45)=sin(45)(sin(45))2+(sin(45))2=1 2(sin(45))2=1 :2(sin(45))2=12sin(45)=12 sin(45)0,707 \begin{array}{rrcll}~&(\sin(45^\circ))^2+(\cos(45^\circ))^2&=&1& \vert~\cos(45^\circ)=\sin(45^\circ)\\ \Leftrightarrow & (\sin(45^\circ))^2+(\sin(45^\circ))^2 & = & 1 &~\\ \Leftrightarrow & 2\cdot(\sin(45^\circ))^2 & = & 1 & \vert~:2\\ \Leftrightarrow & (\sin(45^\circ))^2 & = & \frac12 & \vert \sqrt{}\\ \Leftrightarrow & \sin(45^\circ) & = & \sqrt{\frac12} &~\\ \Leftrightarrow & \sin(45^\circ) & \approx & 0,707 &~ \end{array}

Somit gilt:

sin(45)=cos(45)=120,707\sin(45^\circ)=\cos(45^\circ)=\frac1{\sqrt2}\approx 0,707

. Kosinuswerte sind beispielsweise gegeben durch:

  • sin(30)=0,5\sin(30^\circ)=0,5
  • sin(60)=32\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt 3}2
  • cos(30)=32\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt 3}2
  • cos(60)=0,5\cos(60^\circ)=0,5

Wie können Sinus- und Kosinuswerte von Summen oder Differenzen von Winkeln berechnet werden?

Hierfür werden die Additionssätze verwendet.

1. und 2. Additionssatz

1. Additionssatz

Der 1. Additionssatz lautet:

sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)

.

Nachweis dieses Satzes

Schaue dir dieses Dreieck an:

980_rechtwinkliges_Dreieck.jpg.

  • Mit dem Sinussatz gilt:

   sin(γ)c=sin(α)a\quad~~~\frac{\sin(\gamma)}{c}=\frac{\sin(\alpha)}{a}

.

  • Multiplikation mit cc führt zu:

   sin(γ)=sin(α)ca\quad~~~\sin(\gamma)=\frac{\sin(\alpha)\cdot c}{a}

.

  • Mit dem Winkelsummensatz gilt α+β+γ=180\alpha+\beta+\gamma=180^\circ. Nun subtrahierst du α+β\alpha+\beta zu γ=180(α+β)\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta). Da die Sinusfunktion symmetrisch zu einer zur y-Achse parallelen Geraden durch x=90x=90^\circ ist, folgt: sin(γ)=sin(180(α+β))=sin(α+β)\sin(\gamma)=\sin(180^\circ-(\alpha+\beta))=\sin(\alpha+\beta).

980_Sinus.jpg

  • Nun verwendest du c=p+qc=p+q und erhältst

   sin(α+β)=sin(α)(p+q)a=sin(α)pa+sin(α)qa=sin(α)ap+sin(α)qa\quad~~~\begin{array}{rcl}\sin(\alpha+\beta)&=&\frac{\sin(\alpha)\cdot (p+q)}{a}\\ &=&\frac{\sin(\alpha)\cdot p}{a}+\frac{\sin(\alpha)\cdot q}{a}\\ &=&\frac{ \sin(\alpha)} a\cdot p +\sin(\alpha)\cdot \frac qa\end{array}

  • aa ist die Hypotenuse in dem rechten rechtwinkligen Dreieck und qq die Ankathete von β\beta, also ist:

   qa=cos(β)\quad~~~\frac qa=\cos(\beta)

.

  • Dies kannst du in der obigen Gleichung einsetzen

   sin(α+β)=sin(α)ap+sin(α)cos(β)\quad~~~\sin(\alpha+\beta)=\frac{ \sin(\alpha)} a\cdot p+\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)

.

  • Du siehst, da steht bereits ein Teil des 1. Additionssatzes.
  • Du verwendest noch einmal den Sinussatz

   sin(α)a=sin(β)b\quad~~~\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}

.

  • Nun setzt du dies in die Gleichung ein

   sin(α+β)=sin(β)bp+sin(α)cos(β)=sin(β)pb+sin(α)cos(β)\quad~~~\begin{array}{rcl}\sin(\alpha+\beta)&=&\frac{\sin(\beta)}{b}\cdot p+\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)\\ &=&\sin(\beta)\cdot \frac pb+\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)\end{array}

  • In dem linken rechtwinkligen Dreieck gilt

   pb=cos(α)\quad~~~\frac pb=\cos(\alpha)

.

  • Damit ist der Additionssatz bewiesen

   sin(α+β)=sin(β)cos(α)+sin(α)cos(β)\quad~~~\sin(\alpha+\beta)=\sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)

.

  • Du musst nur noch die Reihenfolge der Addition sowie Multiplikation umstellen und schon bist du fertig.

Beispiel: Nun kannst du den Sinuswert, zum Beispiel des Winkels 7575^\circ, berechnen. Diesen erhältst du mit dem Taschenrechner sin(75)0,966\sin(75^\circ)\approx 0,966:

sin(75)=sin(45+30)=sin(45)cos(30)+cos(45)sin(30)=1232+120,5=3+1220,966\begin{array}{rcl}\sin(75^\circ)&=&\sin(45^\circ+30^\circ)\\ &=&\sin(45^\circ)\cdot\cos(30^\circ)+\cos(45^\circ)\cdot\sin(30^\circ)\\ &=&\frac1{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt 3}2+\frac1{\sqrt 2}\cdot 0,5 \\ &=&\frac{\sqrt 3+1}{2\sqrt 2}\\ &\approx&0,966 \end{array}

2. Additionssatz

Der 2. Additionssatz lautet

sin(αβ)=sin(α)cos(β)cos(α)sin(β)\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)

Nachweis dieses Satzes

  • Es ist sin(αβ)=sin(α+(β))\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha+(-\beta)). Nun kannst du den 1. Additionssatz verwenden:

   sin(α+(β))=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)\quad~~~\sin(\alpha+(-\beta))=\sin(\alpha)\cdot\cos(-\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(-\beta)

.

  • Die Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch, also ist cos(β)=cos(β)\cos(-\beta)=\cos(\beta), und die Sinusfunktion punktsymmetrisch, also ist sin(β)=sin(β)\sin(-\beta)=-\sin(\beta).
  • Damit gilt sin(αβ)=sin(α)cos(β)cos(α)sin(β)\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta).
  • Dies ist der 2. Additionssatz.

Beispiel: Berechne sin(15)\sin(15^\circ). Mit dem Taschenrechner erhältst du sin(15)0,259\sin(15^\circ)\approx 0,259.

sin(15)=sin(4530)=sin(45)cos(30)cos(45)sin(30)=1232120,5=31220,259\begin{array}{rcl}\sin(15^\circ)&=&\sin(45^\circ-30^\circ)\\ &=&\sin(45^\circ)\cdot\cos(30^\circ)-\cos(45^\circ)\cdot\sin(30^\circ)\\ &=&\frac1{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt 3}2-\frac1{\sqrt 2}\cdot 0,5 \\ &=&\frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}\\ &\approx&0,259 \end{array}

3. und 4. Additionssatz

Der 3. Additionssatz lautet

cos(α+β)=cos(α)cos(β)sin(α)sin(β)\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)

.

Beispiel: Berechne cos(75)\cos(75^\circ). Hier erhältst du mit dem Taschenrechnercos(75)0,259\cos(75^\circ)\approx0,259.

cos(75)=cos(45+30)=cos(45)cos(30)sin(45)sin(30)=1232120,5=31220,259\begin{array}{rcl}\cos(75^\circ)&=&\cos(45^\circ+30^\circ)\\ &=&\cos(45^\circ)\cdot\cos(30^\circ)-\sin(45^\circ)\cdot\sin(30^\circ)\\ &=&\frac1{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt 3}2-\frac1{\sqrt 2}\cdot 0,5 \\ &=&\frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}\\ &\approx&0,259 \end{array}

Der 4. Additionssatz lautet

cos(αβ)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)

.

Beispiel: Berechne cos(15)\cos(15^\circ). Gib dies in den Taschenrechner ein. Du erhältst cos(15)0,966\cos(15^\circ)\approx0,966.

cos(15)=cos(4530)=cos(45)cos(30)+sin(45)sin(30)=1232+120,5=3+1220,966\begin{array}{rcl}\cos(15^\circ)&=&\cos(45^\circ-30^\circ)\\ &=&\cos(45^\circ)\cdot\cos(30^\circ)+\sin(45^\circ)\cdot\sin(30^\circ)\\ &=&\frac1{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt 3}2+\frac1{\sqrt 2}\cdot 0,5 \\ &=&\frac{\sqrt 3+1}{2\sqrt 2}\\ &\approx&0,966 \end{array}

Anwendung der Additionssätze

  • Du kannst mit den Additionssätzen (bei bekannten Sinus- und Cosinuswerten) die Sinus- und Kosinuswerte von zusammengesetzten Winkeln berechnen.
  • Du kannst auch Sinus- oder Kosinuswerte von Vielfachen von Winkeln berechnen.

sin(2α)\sin(2\alpha)

  • Da 2α=α+α2\alpha=\alpha+\alpha ist, gilt

   sin(2α)=sin(α+α)\quad~~~\sin(2\alpha)=\sin(\alpha+\alpha).

.

  • Nun kannst du den 1. Additionssatz anwenden:

   sin(α+α)=sin(α)cos(α)+cos(α)sin(α)=2sin(α)cos(α)\quad~~~\sin(\alpha+\alpha)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha)

.

Auch damit kannst du spezielle Sinuswerte berechnen:

sin(120)=sin(260)=2sin(60)cos(60)=23212=320,866\begin{array}{rcl}\sin(120^\circ)&=&\sin(2\cdot 60^\circ)\\ &=&2\sin(60^\circ)\cdot \cos(60^\circ)\\ &=&2\cdot \cdot \frac{\sqrt 3}2\cdot\frac12\\ &=&\frac{\sqrt 3}2\\ &\approx&0,866\end{array}

cos(2α)\cos(2\alpha)

  • Hier verwendest du wieder 2α=α+α2\alpha=\alpha+\alpha:

   cos(2α)=cos(α+α)\quad~~~\cos(2\alpha)=\cos(\alpha+\alpha)

.

  • Nun kannst du den 3. Additionssatz anwenden:

   cos(α+α)=cos(α)cos(α)sin(α)sin(α)=(cos(α))2(sin(α))2\quad~~~\cos(\alpha+\alpha)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\alpha)=(\cos(\alpha))^2-(\sin(\alpha))^2

.

  • Mit dem trigonometrischen Pythagoras kannst du weiter umformen zu:

   cos(α+α)=(cos(α))2(sin(α))2=(cos(α))2(1cos(α))2=2(cos(α))21\quad~~~\begin{array}{rcl} \cos(\alpha+\alpha)&=&(\cos(\alpha))^2-(\sin(\alpha))^2\\ &=&(\cos(\alpha))^2-(1-\cos(\alpha))^2\\ &=&2(\cos(\alpha))^2-1 \end{array}