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Änderung in Prozent mittels Anfangswert und Endwert

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Team Digital
Änderung in Prozent mittels Anfangswert und Endwert
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung zum Video Änderung in Prozent mittels Anfangswert und Endwert

Weißt du, wie du aus der Differenz zweier Werte die prozentuale Veränderung berechnen kannst? In diesem Video lernst du eine Methode kennen, mit der das geht. Dazu wird eine Formel eingeführt und anhand von Beispielen geübt. Nach diesem Video sollte es kein Problem mehr für dich sein, eine Änderung in Prozent zu berechnen. Mit den Übungsaufgaben auf dieser Seite kannst du es gleich ausprobieren!

Grundlagen zum Thema Änderung in Prozent mittels Anfangswert und Endwert

Änderungen in Prozent

Xenia ist ein großer Fan von Social Media. Um die Anzahl ihrer Follower auf VidPicStar zu erhöhen, will sie herausfinden, welche Art von Posts den Leuten am besten gefällt. Dazu will sie unterschiedliche Beiträge miteinander vergleichen. Sie muss wissen, wie man die prozentuale Veränderung berechnen kann. Das wollen wir uns im Folgenden anschauen.

Wie berechnet man den Unterschied in Prozent?

Um zu verstehen, wie man den Unterschied in Prozent berechnen kann, schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 1

Xenia hat $240$ Follower. Sie veröffentlicht ein lustiges Tiervideo, das sie im Zoo aufgenommen hat. Einen Tag später hat sie $312$ Follower. Das Video ist also sehr gut angekommen. Aber wie ist die Veränderung in Prozent? Zur Berechnung der prozentualen Veränderung muss Xenia zunächst die Änderung berechnen. Sie ergibt sich aus der Differenz zwischen End- und Anfangswert geteilt durch den Anfangswert:

$\text{Änderung} = \frac{\text{Endwert} - \text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

Das Ergebnis ist ein Dezimalbruch. Um die Prozentzahl zu erhalten, muss man sie noch mit $100$ multiplizieren:

$\text{Dezimalbruch} \cdot 100 = \text{Prozentzahl}$

Wir beginnen also, indem wir die Änderung berechnen. Die Follower vor der Veröffentlichung des Videos sind unser Anfangswert, die Anzahl an Followern einen Tag später der Endwert:

$\text{Änderung} = \frac{312 - 240}{240} = \frac{72}{240} = 0,3$

Das Ergebnis multiplizieren wir mit $100$, um die Prozentzahl zu erhalten:

$0,3 \cdot 100 = 30$

Wenn wir diese Gleichung auf beiden Seiten durch $100$ teilen, erhalten wir:

$0,3 = \frac{30}{100}$

Wir erinnern uns, dass Prozent nichts anderes heißt als pro Hundert. Statt $30$ Hundertstel können wir auch sagen: $30$ pro Hundert und das ist gerade $30$ Prozent, also:

$0,3 = 30~\%$

Xenias Followerzahl ist nach dem Videobeitrag um $30~\%$ gestiegen. Wir schauen uns ein weiteres Beispiel an.

Beispiel 2

Xenia veröffentlicht dieses Mal ein Foto von einem Muffin. Einen Tag später hat sie nur noch $265$ Follower. Das Foto hat zu einer Verringerung der Follower geführt – aber um wie viel Prozent ist die Zahl der Follower gesunken?

Wir wenden zunächst wieder unsere Gleichung zur Berechnung der Änderung an. Der Anfangswert sind dieses Mal die $312$ Follower, der Endwert sind die $265$ Follower vom Folgetag. Damit erhalten wir:

$\text{Änderung} = \frac{265 - 312}{312} = \frac{-47}{312} = -0,15$

Diesen Dezimalbruch können wir wieder in eine Prozentzahl umwandeln:

$-0,15 \cdot 100 = -15$

$-0,15 = \frac{-15}{100} = -15~\%$

Xenias Followerzahl ist also um $15~\%$ gesunken.

Prozentuale Veränderung – Rechner

Häufig gestellte Fragen zum Thema Änderung in Prozent mittels Anfangs- und Endwert

Berechne den Prozentwert. a) Ein Baby wog zur Geburt $4 \, 000 \, \text{g}$. Sechs Monate später ist das Gewicht um $120 \, \%$ gestiegen. b) Ein Fahrrad kostete $400 \, €$. Der Preis ist dann um $15 \, \%$ gesunken. c) Ein Vorrat an Keksen ist um $60 \, \%$ gesunken. d) Eine Zeitschrift kostete $2,20 \, €$. Der Preis wurde um $5 \, \%$ erhöht.
Der Preis von einem Einzelfahrschein ist von $1,90 \, €$ auf $2,10 \, €$ gestiegen. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?
Berechne die prozentuale Änderung. a) Der Preis für ein Tablet sinkt von $500 \, €$ auf $480 \, €$. b) Jalil hat $110 \, €$ gespart. Nachdem er sich ein Buch gekauft hat, sind nur noch $91,30 \, €$ übrig. c) Im Jahr $2008$ gab es ca. $20 \, 000$ Windkraftwerke. $2018$ waren es $29 \, 000$. d) Durch die neue Baustelle braucht Herr Maier nun $60$ Minuten zur Arbeit. Ohne die Baustelle waren es nur $50$ Minuten.
Wie berechnet man die prozentuale Veränderung?
Wie berechnet man die prozentuale Steigerung?
Wie berechnet man die prozentuale Abnahme?
Wie rechnet man 20 % dazu?
Teste dein Wissen zum Thema Prozentuale Veränderung Berechnen!

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Vorschaubild einer Übung

Transkript Änderung in Prozent mittels Anfangswert und Endwert

Xenia ist ein großer Fan von Social Media. Um die Anzahl ihrer Follower auf VidPicStar zu erhöhen, will sie herausfinden, welche Art von Posts den Leuten am besten gefällt. Zuerst veröffentlicht sie ein witziges Video, das sie im Zoo aufgenommen hat. Vorher hatte sie 240 Follower. Der Post ist ein voller Erfolg! Jetzt folgen ihr 312 User. Wie erfolgreich war sie? Lass uns die Änderung in Prozent berechnen, um den Zugewinn an Followern besser vergleichbar zu machen. Die Änderung in Prozent entspricht der Differenz von Endwert und Anfangswert geteilt durch den Anfangswert. Das Ergebnis ist eine Kommazahl, also musst du sie mit einhundert multiplizieren, um die Änderung in Prozent herauszubekommen. Je nach Vorzeichen handelt es sich um eine Zu - oder Abnahme? Lass uns nun Zahlen in die Formel einsetzen. Xenia hatte anfangs 240 Follower, nach dem Post stieg die Anzahl auf 312. 312 minus 240 geteilt durch 240. Die Differenz, 72, dividiert durch 240, ergibt drei Zehntel oder 0,3. Um das Ergebnis in die Prozentzahl umzuwandeln, multiplizierst du mit einhundert, das ergibt 30. Um den Prozentsatz anzugeben dividierst du nun beide Seiten durch 100. 30 Einhundertstel ist das Gleiche wie 30%. Die Änderung beträgt also plus 30 Prozent! Super! Ein Anstieg von 30 Prozent ist großartig. Aber Xenia möchte mehr Follower also postet sie ein Foto von ihrem köstlichen Muffin. Wird das Foto die Zahl ihrer Follower in die Höhe schießen lassen? Oh nein! Im Gegenteil. Die Zahl ihrer Follower ist auf 265 gesunken. Wie lautet die Änderung in Prozent? Wieder können wir unsere Formel benutzen, um das herauszufinden. Zuerst berechnen wir die Differenz aus Endwert- und Anfangswert, also 265 minus 312 und teilen durch den Anfangswert, also 312. Die Differenz beträgt minus 47. Dividiert durch 312, ergibt minus 15 Hundertstel oder minus 0,15. Minus 0,15 mal einhundert ist gleich minus 15. Auch hier kannst du wieder beide Seiten durch 100 teilen und durch 100 als Prozent schreiben. Xenias Anzahl von Followern ist also um 15 Prozent gesunken. Der letzte Post hat ihnen nicht wirklich gefallen - Essens-Fotos sind sowas von out! Xenia startet einen neuen Versuch. Ein Selfie. Vielleicht wird sie das auf den Olymp der Social-Media Stars bringen.

16 Kommentare
16 Kommentare
  1. Nice

    Von Alex K.C., vor 3 Monaten
  2. Servus aus Bayern und das Video ist sehr sehr hilfreich

    Von Der Hunde Freund , vor 5 Monaten
  3. Supi

    Von Mia Christina, vor etwa einem Jahr
  4. ...

    Von Nikola, vor mehr als 2 Jahren
  5. Ich verstehe das.

    Von Sini, vor mehr als 2 Jahren
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Änderung in Prozent mittels Anfangswert und Endwert Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Änderung in Prozent mittels Anfangswert und Endwert kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Änderungen in Prozent.

    Tipps

    Eine Differenz ist das Ergebnis der Subtraktion zweier Zahlen. Sie kann positiv oder negativ sein.

    Der Begriff „Prozent“ hat seinen Ursprung im Lateinischen und bedeutet „von Hundert“.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Änderungen in Prozent sind ausschließlich positiv.
    Je nachdem, welches Vorzeichen die Differenz aus End- und Anfangswert hat, können Änderungen in Prozent positiv oder negativ sein. Die Änderung ist genau dann negativ, wenn der Endwert kleiner als der Anfangswert ist, also:

    $\text{Endwert}-\text{Anfangswert}<0$

    • Die prozentuale Änderung berechnest du, indem du den Endwert durch den Anfangswert teilst.
    Die korrekte Formel für die Berechnung von Änderungen in Prozent lautet:

    $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

    Diese Aussagen sind richtig:

    • Um eine Dezimalzahl in Prozent anzugeben, musst du sie mit $100$ multiplizieren.
    Hier solltest du dir klar machen, was genau mit dieser Aussage gemeint ist. Du multiplizierst die Dezimalzahl nicht tatsächlich mit $100$. Das ist lediglich eine Hilfsvorstellung, um denjenigen Wert zu erhalten, hinter den du dann ein Prozentzeichen schreibst:

    $\begin{array}{llll} &0,45\cdot 100 & = & 45\\ \Rightarrow &0,45 & = & 45\, \% \end{array}$

    Beachte also die Gleichung in der letzten Zeile: $0,45=45\,\%$.
    Dagegen ist $0,45\cdot 100 = 45 = 4500\,\%$!

    • Änderungen in Prozent berechnest du, indem du die Differenz aus End- und Anfangswert durch den Anfangswert teilst.
    Das ist die Formel für die Berechnung in Worten ausgedrückt. Die Differenz aus End- und Anfangswert im Zähler wird durch den Anfangswert im Nenner geteilt.

    • Das Vorzeichen der Differenz aus End- und Anfangswert bestimmt, ob die Änderung positiv oder negativ wird.
    Ist der Endwert kleiner als der Anfangswert, dann hat in dem Prozess, der beobachtet wird (z.B. die Änderung der Anzahl an Followern) eine Abnahme stattgefunden. Dies drückt sich dann durch ein negatives Vorzeichen der Änderung aus. Ist der Endwert größer als der Anfangswert, dann hat eine Zunahme stattgefunden, und das Vorzeichen der Änderung ist positiv. Sind Anfangs- und Endwert gleich, dann gibt es weder Zu- noch Abnahme, und der Wert der Änderung ist $0$ ($=0\,\%$).

  • Berechne die Änderung in Prozent.

    Tipps

    Die korrekte Formel für die Berechnung von Änderungen in Prozent lautet:

    $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$.

    Um eine Dezimalzahl in Prozent anzugeben, multiplizierst du sie mit $100$ und schreibst dann ein Prozentzeichen hinter das Ergebnis.

    Wenn du zum Beispiel $0,7$ als Prozentzahl angeben willst, geht das so:

    $\begin{array}{llll} & 0,7\cdot 100 & = & 70\\ \Rightarrow & 0,7 & = & 70\,\% \end{array}$

    Lösung

    Xenia führt ihre Rechnung in der folgenden Reihenfolge durch:

    • Zuerst stellt sie die Formel für die Änderung in Prozent auf:
    • „$\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{312-240}{240}$“
    Die korrekte Formel für die Berechnung von Änderungen in Prozent lautet:

    $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

    In diese Gleichung setzt sie die Anzahl ihrer Follower vor dem Posten des Bilds (Anfangswert) und danach (Endwert) ein.

    • Das berechnet sie zu: $\frac{72}{240}=\frac{3}{10}=0,3$
    • Und gibt die Lösung in Prozent an:
    • „$0,3 = 30\%$“
    Um eine Dezimalzahl in Prozent anzugeben, multiplizierst du sie mit $100$ und schreibst dann ein Prozentzeichen hinter das Ergebnis:

    $\begin{array}{llll} & 0,3\cdot 100 & = & 30\\ \Rightarrow & 0,3 & = & 30\,\% \end{array}$

  • Bestimme die Änderungen in Prozent.

    Tipps

    Die Veränderungen in Prozent kannst du berechnen, indem du die Mitgliederzahlen in den jeweiligen Jahren in die bekannte Formel einsetzt.

    Die Formel lautet:

    $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

    Lösung

    Die Veränderungen in Prozent kannst du berechnen, indem du die Mitgliederzahlen in den jeweiligen Jahren in die bekannte Formel einsetzt. Diese lautet:

    $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

    Damit ergibt sich für den Zeitraum $2009$ bis $2011$:

    $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{69\,485-78\,064}{78\,064}\approx -0,1099=-10,99\,\%$

    Analog kannst du die Veränderungen über die anderen Zeiträume bestimmen:

    • Im Zeitraum $2011$ bis $2013$ hat sich die Mitgliederzahl um $-8,23\,\%$ verändert.
    • Die Veränderung zwischen den Jahren $2013$ und $2015$ betrug $-7,48\,\%$.
    • Von $2015$ bis $2017$ hat sich die Mitgliederzahl um $5,60\,\%$ geändert.
    Von $2009$ bis $2015$ ist die Mitgliederzahl also gefallen (negatives Vorzeichen der Änderung!), von $2015$ bis $2017$ wieder gestiegen.

  • Bestimme die Änderungen in Prozent.

    Tipps

    Die Tabelle kannst du vervollständigen, indem du die Änderungen in Prozent mit der bekannten Formel berechnest:

    $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

    Julias Mutter betrachtet hier die Änderung des Smartphonekonsums ihrer Tochter über mehrere Zeiträume. Der Anfang dieses Zeitraums ist immer der jeweilige Vortag, das Ende der jeweils aktuelle Tag (der gleichzeitig der Anfang des nächsten Zeitraumes ist).

    Den Wert des Vortags kannst du entweder aus der nächsthöheren Spalte der Tabelle ablesen oder aus der Differenz berechnen:

    $\text{Anfangswert}=\text{Endwert}- \text{Differenz}$

    Lösung

    Die Tabelle kannst du vervollständigen, indem du die Änderungen in Prozent mit der bekannten Formel berechnest. Hierbei ist jeweils der Wert des aktuellen Tages der Endwert und der des Vortags der Anfangswert:

    $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}=\frac{\text{Differenz}}{\text{Wert des Vortags}}$

    In der ersten Zeile ergibt sich für die Differenz:

    $\text{Differenz}=120-100=20$ und schließlich für die Änderung:

    $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{20}{100}=0,2=20\,\%$

    Den Wert des Vortags kannst du entweder aus der nächsthöheren Spalte der Tabelle ablesen oder aus der Differenz berechnen:

    $\text{Anfangswert}=\text{Endwert}- \text{Differenz}$

    In der zweiten Zeile ergibt sich:

    $\text{Anfangswert}=300-180=120$

    Und als Änderung entsprechend:

    $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{180}{120}=1,5=150\,\%$

    In der dritten und vierten Zeile kannst du genauso verfahren wie in den ersten beiden Zeilen. So kannst du die Tabelle vervollständigen:

    $\begin{array}{cccc} \text{Nutzungsdauer}& \text{Nutzungsdauer Vortag} & \text{Differenz}& \ddot{\text{A}}\text{nderung in }\%\\ \hline 120 &100 &20 &20 \\ 300 &120 & 180 &150\\ 150 & 300 & -150 &-50\\ 220 & 150 & 70 & 46,67\\ \end{array}$

  • Beschreibe das Verfahren zur Berechnung von Änderungen in Prozent.

    Tipps

    In der Mathematik gilt die Regel „Punkt vor Strich“. Sie besagt, dass Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion ausgeführt werden. Allerdings werden Terme in Klammern trotzdem immer zuerst ausgerechnet, auch wenn darin eine Summe oder eine Differenz steht.

    Einen Bruch kannst du dir als eine Division vorstellen, bei der Zähler und Nenner in Klammern stehen:

    $\frac{a+b-c}{x-y+z}=(a+b-c)\div(x-y+z)$

    Hier werden also zunächst die Summen und Differenzen in Zähler und Nenner berechnet und erst dann die Division durchgeführt.

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung prozentualer Änderungen lautet:

    $\ddot{\text{A}}\text{nderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$

    Wenn du also Anfangs- und Endwert kennst, dann kannst du sie in die Formel einsetzen und die folgenden Schritte nacheinander abarbeiten, um die Prozentzahl zu erhalten:

    • Zuerst berechnest du die Differenz aus End- und Anfangswert.
    • Diese Differenz teilst du durch den Anfangswert.
    • Das Ergebnis der Division ist eine Dezimalzahl.
    • Die Dezimalzahl multiplizierst du mit $100$.
    • Hinter dieses Ergebnis schreibst du ein Prozentzeichen, um die fertige Prozentzahl zu erhalten.
  • Erarbeite, wie du den Anfangswert bestimmen kannst.

    Tipps

    Einen Quotienten kann man als Bruch schreiben, man kann aber auch „$:$“ benutzen.

    Um eine Dezimalzahl in eine Prozentzahl umzurechnen, multiplizierst du sie mit $100$ und schreibst dann ein Prozentzeichen dahinter. Hier rechnest du eine Prozentangabe in eine Dezimalzahl um, also teilst du die Zahl vor dem Prozentzeichen durch $100$.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    „(...) die Formel zur Berechnung von prozentualen Änderungen:

    $\text{Änderung}=(\text{Endwert}-\text{Anfangswert}):\text{Anfangswert}$.

    Er weiß, dass man eine Änderung von $20~\%$ in Dezimalzahlen als $0,2$ ausdrückt. Dann setzt er alles Gegebene in die Gleichung ein.“

    • Um eine Dezimalzahl in eine Prozentzahl umzurechnen, multiplizierst du sie mit $100$ und schreibst dann ein Prozentzeichen dahinter. Hier rechnest du eine Prozentangabe in eine Dezimalzahl um, also teilst du die Zahl vor dem Prozentzeichen durch $100$: $\frac{20}{100}=0,2$
    „$-0,2=\frac{55,99-a}{a}$.“

    • Hier wurde $0,2$ für die Änderung in Prozent, $55,99$ für den Endwert und $a$ als Variable für den Anfangswert eingesetzt.
    „Doch wie kann er jetzt den Anfangswert $a$ bestimmen? Dazu muss er die Gleichung zuerst mit $a$ multiplizieren (...).“

    • Um die Variable $a$ im Nenner auf der rechten Seite loszuwerden, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $a$.
    „Anschließend muss er die Gleichung nach $a$ auflösen.“

    • Um den Anfangswert $a$ zu bestimmen, lösen wir die Gleichung nach $a$ auf.
    „Der Rucksack hat also ursprünglich $69,99~€$ gekostet.“