Ableitungen der Grundfunktionen

In diesem Video wollen wir die Ableitungen einiger Grundfunktionen kennenlernen. Nach dem wir also nun den Differentialquotienten kennengelernt haben, möchte ich den bei einigen dieser Funktionen nutzen, um die Ableitung auszurechnen, bei anderen möchte ich die Ableitung einfach nur angeben. Nehmen wir zu erst einmal eine konstante Funktion f(x)=k. Der Funktionswert ist immer k, egal was wir einsetzen. So entsteht also im Zähler k-k, also 0. Also lim 0 von h->0 und das ist 0. f'(x) ist also 0 und wenn man sich den Graphen anguckt, ist das auch plausibel, denn so eine waagerechte Gerade hat ja wirklich überall die Steigung 0. Kommen wir jetzt zur Funktion f(x)=x. Da entsprechen also die Funktionswerte gleich den Argumenten. Wir schreiben also x0+h-x0, da fällt das x nur weg und h/h ergibt 1. Also ist der Grenzwert 1. f'(x) ist also 1 und auch hier verdeutlicht das der Graph noch mal, denn diese Gerade hat ja überall die Steigung 1. Als Nächstes betrachten wir eine Potenzfunktion, mit einem natürlichen Exponenten. Wir schreiben uns xⁿ hin, die Ableitung ist wieder eine Potenz, und zwar kommt die Hochzahl als Faktor nach vorne und die neue Hochzahl ist um 1 kleiner als die Alte. Also, f'(x)=n×xⁿ-1, Bruchzahl nah vorne und neue Hochzahl eins kleiner. Nehmen wir zum Beispiel f(x)=x², dann kommt die 2, die Hochzahl, nach vorne und wird um 1 kleiner, also haben wir 2×x¹, also 2x und das war ja auch das, was wir beim Differentialquotienten als Ableitung für x² rausbekommen haben. Die Funktion f(x)=1/x möchte ich wieder mit dem Differentialquotienten herleiten. Da haben wir also, (1/x0+h)-1/x0. Den Zähler bringe ich auf den Hauptnenner (x0+h)×x0. Dann bleibt im Zähler des Zählers nur -h übrig und das kürzt sich, mit dem h aus dem Nenner, zu -1/(x0+h)×x0. Für h->0 geht das dann gegen -1/(x0)², also ist f '(x)=-1/x². Die Funktion f(x)=/sqrt(x) hat die Ableitung, f '(x)=1/2×/sqrt(x). /sqrt(x) kann man ja auch schreiben als x^½ und da könnten wir ja mal überprüfen, ob das Ableitungsgesetz, was wir eben für Potenzen hatten, auch für x^½ gilt. Schreiben wir also ½ nach vorne und machen die Hochzahl um 1 kleiner. Das können wir dann schreiben als (½×1)/x^½ und x^½ ist ja wieder /sqrt(x). Also kriegen wir mit der Potenzregel tatsächlich das gleiche Ergebnis. Nun zur Funktion f(x)=lxl. Die kann man ja so aufschreiben, indem man eine Fallunterscheidung macht. Das ist also x, wenn x>0 ist, 0, falls x=0 ist und (-x), falls x negativ ist. Und dann können wir jeden Fall einzeln ableiten. x ergibt 1, das hatten wir schon. -x hat als Ableitung -1, das verrate ich jetzt schon einmal. Aber was ist an der Stelle 0? Denn wenn die Steigung rechts von 0 immer 1 ist und links von 0 immer -1, wie soll denn dann die Tangente an der Stelle 0 aussehen? Die existiert nicht, denn die Steigung müsste ja ganz schnell von -1 nach 1 switchen. Das geht nicht! An der Stelle 0 hat die Betragsfunktion also keine Ableitung. Wie kann ma das denn nun am Differentialquotienten sehen? Wenn ich den an der Stelle 0 ausrechnen will, habe ich also l(0+h)l-l0l. Das vereinfacht sich also zu lhl/h und das ist immer 1, wenn h sich von oben gegen 0 nähert und -1, wenn h von unten gegen 0 geht. Das heißt, der Grenzwert ist nicht eindeutig und existiert somit gar nicht. Gut, kommen wir zum Schluss noch zu den trigonometrischen Funktionen. Die Ableitung von sin x ist cos x und die Ableitung von cos x ist -sin x. Vergesst das Minus nicht, da sind schon ganz, ganz viele durcheinander gekommen! Jetzt fassen wir noch einmal alles zusammen. Konstante Funktionen haben 0 als Ableitung, x hat als Ableitung die konstante Funktion 1, bei xⁿ ist es n×xⁿ-1, bei 1/x ist es -(1/x²), bei /sqrt(x) ist es 1/2×/sqrt(x), die  Betragsfunktion hat keine Ableitung an der Stelle 0, die Ableitung 1 für x>0 und -1 für x