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Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten – Überblick 08:52 min

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Transkript Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten – Überblick

Graf Graph geht seinem Hobby nach: Er zeichnet Funktionen. Im Moment arbeitet er an einer kubischen Funktion und rechnet hunderte von Wertepaaren aus. Aber das dauert. Geht das nicht etwas schneller? Wenn er wenigstens ein paar Eigenschaften seiner Funktionen schon vorher wüsste. Na dann untersuchen wir doch einfach mal ein paar seiner Funktionen: Wir betrachten Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten und deren Eigenschaften Potenzfunktionen haben die Form f (x) = a*xn. Einen ganzzahligen Exponenten besitzen sie dann, wenn 'n' eine ganze Zahl ist - die Null zählen wir hier nicht dazu. Hier betrachten wir den Fall 'a' = 1, also Funktionen der Form „xn“. „n“ heißt Grad oder Ordnung der Funktion. Der Exponent ist bei diesen Potenzfunktionen entweder positiv oder negativ, entweder gerade oder ungerade. So ergeben sich vier Typen, die wir jetzt nacheinander untersuchen. Typ Eins: Der Exponent ist positiv und gerade, zum Beispiel 2 oder 4 oder 6. Als Graphen ergeben sich dann Parabeln. Im Definitionsbereich liegen alle reellen Zahlen und als Wertebereich ergeben sich alle positiven reellen Zahlen und die Null. Die Graphen sind achsensymmetrisch zur y-Achse. Betrachten wir jetzt die Graphen der Funktionen f2(x) = x4 und f3(x) = x6. Wir sehen: Je größer der Exponent, desto steiler verlaufen die Äste der Parabel im äußeren Bereich und im Bereich um die Null nähert sich der Graph immer mehr der x-Achse an. Diese Graphen haben drei gemeinsame Punkte: „1“, „1“, „0“, „0“ und „-1“, „1“. Wir kommen zu Typ Zwei: Potenzfunktionen mit positiven und ungeraden Exponenten, zum Beispiel 3 oder 5 oder 7. Auch hier nennt man die Graphen Parabeln. Der Definitionsbereich besteht wieder aus allen reellen Zahlen und für diese Funktionen enthält auch der Wertebereich alle reellen Zahlen. Die Graphen verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Betrachten wir nun die Funktionen f2(x) = x5 und f3(x) = x 7. Du erkennst die gleiche Veränderung des Graphen wie beim ersten Typ: Je größer der Exponent, desto steiler verlaufen die Äste im äußeren Bereich und desto mehr nähert sich der Graph im Bereich der Null der x-Achse an. Die gemeinsamen Punkte liegen bei „1“, „1“, „0“, „0“ und „-1“, „-1“. Eine Besonderheit ist der Fall 'n' gleich 1. Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade die übrigens auch durch alle drei gemeinsamen Punkte verläuft. Nun zu Typ 3: Potenzfunktionen mit negativen und geraden Exponenten, zum Beispiel „-2“ oder „-4“ oder „-6“. Die Graphen bekommen dann die Bezeichnung Hyperbeln n-ter Ordnung. Der Definitionsbereich umfasst den ganzen Bereich der reellen Zahlen, jedoch ohne die Null, denn dort hat die Funktion eine Definitionslücke. x-2 kann man auch umschreiben zu 1/x2. Setzt man hier die null ein, würde man durch null teilen. Für den Wertebereich ergeben sich alle reellen Zahlen größer 0. Die Graphen sind achsensymmetrisch zur y-Achse. Wir betrachten die Funktionen f2(x) = x-4 und f3(x) = x-6: Wir sehen: Je kleiner der Exponent, desto steiler verläuft der Graph im inneren Bereich zwischen „0“ und „1“ und desto mehr nähert sich die Hyperbel im äußeren Bereich an die x-Achse an. Die gemeinsamen Punkte der Graphen der Funktionen mit negativen geraden Exponenten sind „1“, „1“ und „-1“, „1“. Abschließend Typ 4: Potenzfunktionen mit negativen und ungeraden Exponenten, zum Beispiel 'minus 1' oder 'minus 3' oder minus 5. Auch diese Graphen nennt man Hyperbeln n-ter Ordnung. Eine Definitionslücke gibt es erneut bei x=0, daher umfasst der Definitionsbereich ganz R ohne die Null. Im Wertebereich liegen ebenfalls alle reellen Zahlen ohne die Null. Die Graphen verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Betrachten wir die Funktionen f2(x) = x-3 und f3(x) = x-5. Je kleiner der Exponent, desto steiler verläuft der Graph im inneren Bereich und desto mehr nähert sich die Hyperbel im äußeren Bereich an die x-Achse an. Die beiden gemeinsamen Punkte der Funktionen mit negativem und ungeradem Exponenten sind „1“, „1“ und „-1“, „-1“. Wir beobachten jetzt genauer den Verlauf des Graphen, wenn sich der Exponent verändert. Zuerst untersuchen wir die Parabeln, also die Graphen von Funktionen mit positiven Exponenten. Im Bereich zwischen Null und 1 liegen die Graphen von Funktionen mit höherem Exponent unter den Graphen mit niedrigerem Exponent. Im Bereich 'x größer 1' ist das genau umgekehrt. Nun untersuchen wir die Hyperbeln, also die Graphen von Funktionen mit negativen Exponenten. Hier gilt: Im Bereich zwischen Null und 1 liegen die Graphen von Funktionen mit kleinerem Exponenten über den Graphen mit größerem Exponent. Dabei musst du beachten: Der Graph von x-1 liegt unter dem Graphen von x-3, weil „-3“ kleiner als „-1“ ist. Im Bereich 'x größer 1' ist es wieder genau umgekehrt. Wir fassen zusammen: Bei einem positiven Exponenten ergeben sich Parabeln n-ter Ordnung die auf ganz R definiert sind. Gemeinsame Punkte dieser Parabeln sind „1“, „1“ und „0“, „0“. Bei einem negativen Exponenten entstehen Hyperbeln n-ter Ordnung. Sie haben nur den Punkt „1“ „1“ gemeinsam. Ihr Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen mit Ausnahme der Null. Dort existiert eine Definitionslücke. In beiden Fällen müssen wir gerade und ungerade Exponenten unterscheiden: Mit einem geraden Exponenten ergibt sich ein achsensymmetischer Graph mit den gemeinsamen Punkten „1“, „1“ und „-1“, „1“. Der Wertebereich sind dann die reellen Zahlen größer Null! Die Null gehört nur bei den Parabeln zum Wertebereich, nicht aber bei den Hyperbeln. Mit einem ungeraden Exponenten ergibt sich ein punktsymmetrischer Graph mit den gemeinsamen Punkten „1“, „1“ und „-1“, „-1“. Der Wertebereich besteht aus allen reellen Zahlen ohne die Null. Die Null gehört nur bei den Parabeln zum Wertebereich, nicht aber bei den Hyperbeln. Aber wozu um alles in der Welt braucht Graf Graph all diese Funktionsgraphen? Achso, dafür! Graf Graph möchte standesgemäß zu Abend essen.

1 Kommentar
  1. erstes video hier welches mir endlich geholfen hat

    Von Vpechy, vor etwa einem Monat

Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten – Überblick kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit positiven Exponenten.

    Tipps

    Eine Potenz mit geradem Exponenten hat immer einen positiven Potenzwert. Ist also $n$ gerade, so ist $a^n>0$.

    Das sind die Funktionsgraphen einiger Potenzfunktionen mit geraden, positiven Exponenten.

    Lösung

    Aussage 1

    Potenzfunktionen mit positiven Exponenten heißen Parabeln. Das ist korrekt. Die Graphen von Potenzfunktionen mit positiven Exponenten nennt man Parabeln $n$-ter Ordnung.

    Aussage 2

    Es ist wahr, dass der Funktionsgraph einer Potenzfunktion mit dem Exponenten $1$ eine Gerade ist. Ersetzt man in der allgemeinen Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=ax^n$ den Exponenten $n$ mit einer $1$, so erhält man:

    • $f(x)=ax^1=ax$.
    Diese Funktion beschreibt eine lineare Funktion mit der Steigung $a$. Der zugehörige Funktionsgraph ist eine Gerade mit der Steigung $a$.

    Aussage 3

    Je größer der Exponent einer Potenzfunktion mit positivem Exponenten ist, desto steiler verläuft ihre Parabel im Bereich $x>1$. Auch diese Eigenschaft trifft zu. Je größer die Potenz ist, desto schneller strebt die Funktion bei Werten größer als Eins gegen Unendlich. Deshalb wird die Steigung in diesem Bereich für größere Exponenten ebenfalls größer.

    Aussage 4

    Die Graphen aller Potenzfunktionen mit geraden, positiven Exponenten verlaufen durch die Punkte $(-1|-1)$ und $(1|1)$. Diese Aussage ist falsch, denn alle Graphen von Potenzfunktionen mit geraden Koeffizienten nehmen nur nichtnegative Werte an. Sie verlaufen also nicht unterhalb der $x$-Achse. Der Punkt $(-1|-1)$ liegt aber unterhalb der $x$-Achse.

    Aussage 5

    Es stimmt nicht, dass die Graphen von Potenzfunktionen mit geraden, positiven Exponenten punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind. Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch.

    Aussage 6

    Es ist korrekt, dass die Graphen aller Potenzfunktionen mit ungeraden, positiven Exponenten durch die Punkte $(-1|-1)$ und $(1|1)$ verlaufen. Hierzu betrachten wir die allgemeine Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=x^n$. Wir ersetzen $x$ zunächst mit $1$ und es folgt:

    • $f(1)=1^n=1$.
    Die Potenz $1^n$ hat immer den Potenzwert $1$. Sie beschreibt nämlich die $n$-fache Multiplikation des Faktors $1$ mit sich selbst. Das resultierende Produkt ist hierbei immer $1$. Nun ersetzen wir $x$ noch mit $-1$. Es folgt:
    • $f(-1)=(-1)^n$.
    Hier müssen wir nun zwischen geradem und ungeradem Exponenten $n$ unterscheiden. Der Potenzwert ist für gerade $n$ immer $1$ und für ungerade $n$ immer $-1$:
    • $f(-1)=(-1)^n=1$, wenn $n$ gerade.
    • $f(-1)=(-1)^n=-1$, wenn $n$ ungerade.
    Somit sehen wir, dass Potenzfunktionen mit ungeraden, positiven Exponenten tatsächlich durch die Punkte $(-1|-1)$ und $(1|1)$ verlaufen. Sie verlaufen zusätzlich durch den Punkt $(0|0)$.

  • Gib verschiedene Eigenschaften von Potenzfunktionen wieder.

    Tipps

    Die Graphen von Potenzfunktionen mit positiven Exponenten heißen Parabel.

    Ist die Basis einer Potenz mit ungeradem Exponenten negativ, so ist der Potenzwert ebenfalls negativ. Zum Beispiel:

    $(-1)^3=-1$.

    Lösung

    Potenzfunktionen mit positiven und geraden Exponenten

    Die Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=x^4$ hat folgende Eigenschaften:

    • Ihr Funktionsgraph ist eine Parabel.
    • Ihr Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
    • Sie enthält den Punkt $(-1|1)$.
    Potenzfunktionen mit negativen und ungeraden Exponenten

    Die Potenzfunktion $g$ mit $g(x)=x^{-1}$ hat folgende Eigenschaften:

    • Ihr Funktionsgraph ist eine Hyperbel.
    • Sie enthält den Punkt $(-1|-1)$.
    Potenzfunktionen mit Exponenten $1$

    Die Potenzfunktion $h$ mit $h(x)=-x$ hat folgende Eigenschaften:

    • Ihr Funktionsgraph heißt Gerade.
    • Sie enthält den Punkt $(1|-1)$.
  • Gib die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten wieder.

    Tipps

    Eine Potenz mit geradem Exponenten hat immer einen positiven Potenzwert. Ist also $n$ gerade, so ist $a^n>0$.

    Achtung: $-1$ ist größer als $-3$!

    Lösung

    Potenzfunktionen mit negativen und geraden Exponenten

    Wir betrachten im Folgenden die allgemeine Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=ax^n$, wobei der Exponent $n$ negativ und gerade ist. Eine solche Funktion hat folgende Eigenschaften:

    • Ihre Graphen nennt man Hyperbeln.
    • Der Definitionsbereich umfasst den ganzen Bereich der reellen Zahlen, jedoch ohne die Null, denn dort hat die Funktion eine Definitionslücke. Diese entsteht, da man nicht durch Null teilen darf. Deshalb kann man Null nicht in die Funktion einsetzen.
    • Für den Wertebereich ergeben sich alle reellen Zahlen größer Null. Das liegt daran, dass eine Potenz mit geradem Exponenten immer einen positiven Potenzwert hat. Ist also $n$ gerade, dann ist $a^n>0$.
    • Die Graphen sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymetrisch zur $y$-Achse.
    • Und es gilt: Je kleiner der Exponent, desto steiler verläuft der Graph im inneren Bereich zwischen null und eins. Das liegt daran, dass man in diesem Bereich durch Zahlen kleiner als eins teilt. Das Ergebnis dieser Rechnung wird unendlich groß. Je kleiner der Exponent, desto schneller geht die Funktion also gegen Unendlich (Wir befinden und im negativen Bereich; $-1$ ist größer als $-3$!).
    Potenzfunktionen mit negativen und geraden Exponenten

    Wir betrachten im Folgenden die allgemeine Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=ax^n$, wobei der Exponent $n$ negativ und ungerade ist. Eine solche Funktion hat folgende Eigenschaften:

    • Ihre Graphen nennt man Hyperbeln.
    • Die Graphen verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind.
    • Je größer der Exponent, desto weiter entfernt sich die Hyperbel im äußeren Bereich von der $x$-Achse. In diesem Bereich teilt man durch Zahlen größer als Eins. Das Ergebnis dieser Rechnung nähert sich gegen Null. Je größer der Exponent, desto langsamer geht die Funktion also gegen null (Wir befinden und im negativen Bereich; $-1$ ist größer als $-3$!).
    • Die gemeinsamen Punkte aller dieser Funktionen sind $(-1|-1)$ und $(1|1)$. Bei Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten wird bei $(-1|-1)$ die $-1$ eine ungerade Anzahl oft mit sich selbst multipliziert. Deshalb bleibt hier das Minuszeichen stehen. Bei $(1|1)$ wird die Eins mehrmals mit sich selbst multipliziert.
  • Erschließe, wie man Funktionsgraphen im Koordinatensystem verschiebt.

    Tipps

    Setzt man in $f(x)= (x-b)^n + c$ eine negative Zahl für $b$ ein, dann dreht sich das Vorzeichen in der Klammer um.

    Wie man Parabeln mit dem Exponenten $2$ verschiebt, hast du schon gelernt.

    Lösung

    Verschieben von Funktionen auf der $y$-Achse

    Die Funktion $g(x)= x^2 + 2$ wurde also um zwei nach oben verschoben.

    Die Funktion $h(x)= x^2 - 2$ wurde also um zwei nach unten verschoben.

    Ein positives Vorzeichen verschiebt die Funktion nach oben und ein negatives nach unten.

    Verschieben von Funktionen auf der $x$-Achse

    Die Funktion $i(x)= (x-3)^3$ wurde also um drei nach rechts verschoben.

    Um $i(x)= (x-3)^3$ zu erhalten, muss $+3$ eingesetzt werden. Eine positive Zahl wurde eingesetzt, also wird die Funktion nach rechts verschoben.

    Die Funktion $j(x)= (x+3)^3$ wurde um drei nach links verschoben.

    Um $j(x)= (x+3)^3$ zu erhalten, muss $-3$ eingesetzt werden. Eine negative Zahl wurde eingesetzt, also wird die Funktion nach links verschoben.

    Verschieben von Funktionen auf beiden Achsen

    Die Funktion $k(x)=(x-5)^{-2}-3$ wurde um fünf nach rechts und um drei nach unten verschoben.

    Um $k(x)=(x-5)^{-2}-3$ zu erhalten, muss $5$ für $b$ und $-3$ für $c$ eingesetzt werden. Somit wird die Funktion um fünf nach rechts und um drei nach unten verschoben.

  • Vergleiche die Steigungen der verschiedenen Potenzfunktionen.

    Tipps

    Eine größere Steigung bedeutet, dass die Funktion schneller wächst.

    Je größer der Exponent einer Potenz, desto extremer wird der Potenzwert. Ist also die Basis klein, dann wird der Potenzwert noch kleiner.

    Möchtest du eine Potenz potenzieren, so wendest du folgendes Gesetz an:

    • $\left(a^n\right)^m=a^\left(n\cdot m\right)$.

    Lösung

    In der ersten Reihe sortieren wir die Potenzfunktionen von der kleinsten bis zur größten Steigung im äußeren Bereich, also $x>1$. Bevor wir damit beginnen, vereinfachen wir zunächst die gegebenen Funktionen zu:

    • $f(x)=\left(x^{3}\right)^2=x^{3\cdot 2}=x^6$
    • $g(x)=x^{\left(2\ \cdot\ 4\right)}=x^8$
    • $h(x)=x^{\left(1^2\right)}=x^1$
    • $i(x)=x^{\left(\frac{10}{2}\right)}=x^5$
    Für den Bereich $x>1$ nimmt die Steigung des Graphen einer Potenzfunktion mit größer werdendem Exponenten zu. Somit erhalten wir hier folgende Reihenfolge:

    • $h(x)=x^1$
    • $i(x)=x^5$
    • $f(x)=x^6$
    • $g(x)=x^8$
    Denn je größer die Potenz ist, desto schneller strebt die Funktion bei Werten größer als $1$ gegen Unendlich. Deshalb vergrößert sich die Steigung in diesem Bereich mit dem Exponenten.

    In der zweiten Reihe sortieren wir die Potenzfunktionen von der kleinsten bis zur größten Steigung im inneren Bereich, also $0<x<1$. Wieder vereinfachen wir zunächst die gegebenen Funktionen zu:

    • $f(x)=x^{-\left(2^2\right)}=x^{-4}$
    • $g(x)=x^{\left(-2\right)^3}=x^{-8}$
    • $h(x)=x^{-6}$
    • $i(x)=\left(x^{-6}\right)^\frac 12=x^{-3}$
    Für den Bereich $0<x<1$ nimmt die Steigung des Graphen einer Potenzfunktion mit kleiner werdendem Exponenten zu. Somit erhalten wir hier folgende Reihenfolge:

    • $i(x)=x^{-3}$
    • $f(x)=x^{-4}$
    • $h(x)=x^{-6}$
    • $g(x)=x^{-8}$
    In diesem Bereich teilt man durch Zahlen kleiner als Eins. Je kleiner der Exponent ist, desto schneller geht die Funktion also gegen Unendlich. Da wir negative Exponenten betrachten, ist $-2$ größer als $-4$!

  • Bestimme die gemeinsamen Punkte der gegebenen Funktionen.

    Tipps

    Überlege, welche Eigenschaften die Funktionspaare gemeinsam haben. So kannst du auf gemeinsame Punkte schließen.

    Die Graphen von Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch.

    Die Graphen von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten haben eine Definitionslücke.

    Lösung

    Beispiel 1

    Wir betrachten die Funktionen $f_1(x)=x^2$ und $g_1(x)=x^{-4}$. Die zugehörigen Funktionsgraphen sind eine Parabel und eine Hyperbel. Beide sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse und haben daher die folgenden beiden Punkte gemeinsam:

    • $(1|1)$
    • $(-1|1)$
    Alle Funktionen mit geraden Exponenten haben diese beiden Punkte gemeinsam.

    Beispiel 2

    Die Funktionen $f_2(x)=x^3$ und $g_2(x)=x^{-1}$ haben die gemeinsamen Punkte:

    • $(1|1)$
    • $(-1|-1)$
    Alle Funktionen mit ungeraden Exponenten haben diese Punkte gemeinsam.

    Beispiel 3

    Die gemeinsamen Punkte der Funktionen $f_3(x)=x^3$ und $g_3(x)=x^{6}$ sind:

    • $(1|1)$
    • $(0|0)$.
    Alle Funktionen mit positiven Exponenten haben diese Punkte gemeinsam.

    Beispiel 4

    Die Funktionen $f_4(x)=x^{-3}$ und $g_4(x)=x^{-6}$ haben den gemeinsamen Punkt:

    • $(1|1)$.
    Alle Funktionen mit negativen Exponenten haben diesen Punkt gemeinsam.