Hyperbelfunktionen – sinh(x), cosh(x) und tanh(x)

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• Was sind Hyperbelfunktionen?

Was sind Hyperbelfunktionen?

Die Hyperbelfunktionen (auch hyperbolische Funktionen genannt) Sinus Hyperbolicus, Cosinus Hyperbolicus und Tangens Hyperbolicus sind Funktionen, die von ihrem Namen her auf eine enge Verwandtschaft mit den Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens schließen lassen. Wie wir bereits wissen, lassen sich trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus und Tangens) am Einheitskreis, der mit $x^2+y^2=1$ für $x,y~\in~\mathbb{R}$ beschrieben werden kann, geometrisch herleiten.

Bei den Hyperbelfunktionen gehen wir nun von der Einheitshyperbel, also $x^2 - y^2 = 1$ mit $x,y~\in~\mathbb{R}$, aus. Hier wird nun ebenfalls von der $x$-Achse aus ein Winkel $\alpha$ abgetragen, sodass eine Ursprungsgerade entsteht und wir ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren können. Der Sinus Hyperbolicus ist dann die $x$-Koordinate des Schnittpunktes dieser Ursprungsgerade mit der Einheitshyperbel und der Cosinus Hyperbolicus von $\alpha$ ist die entsprechende $y$-Koordinate.

Die Hyperbelfunktionen sind über die $e$-Funktion definiert. Somit ergeben sich für ein beliebiges $x~\in~\mathbb{R}$:

Sinus Hyperbolicus: $\sinh(x)=\dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}$

Cosinus Hyperbolicus: $\cosh(x)=\dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}$

Tangens Hyperbolicus: $\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\dfrac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$

Auch den Zusammenhang von Sinus und Cosinus auf dem Einheitskreis $(\text{Sinus})^2 + (\text{Cosinus})^2 = 1$ können wir auf die Einheitshyperbel übertragen und erhalten:

$(\text{Sinus Hyperbolicus})^2 - (\text{Cosinus Hyperbolicus})^2 = 1$