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Die Definition des Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck

Hier siehst du ein rechtwinkliges Dreieck.

3113_rechtwinkliges_Dreieck.jpg

Der Cosinuswert eines spitzen Winkels $\alpha$ in einem rechtwinkligen Dreieck wird berechnet über den Quotienten aus der Länge der Ankathete dieses Winkels und der Hypotenuse:

$\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

Du kannst in einem solchen Dreieck auch den Sinuswert und den Tangenswert eines spitzen Winkels bestimmen:

$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

Die Cosinusfunktion wird, ebenso wie die Sinus- und Tangensfunktion, als trigonometrische Funktion bezeichnet.

Die Cosinusfunktion am Einheitskreis

Die trigonometrischen Funktionen können mithilfe eines Einheitskreises erklärt werden.

1008_Einheitskreis.jpg

In einem Einheitskreis ist der Radius $r=1$. Nun zeichnest du ein rechtwinkliges Dreieck, so wie hier zu sehen, ein. Die Hypotenuse entspricht dem Radius $r$. Somit entspricht der Cosinus des Winkels $\alpha$ die Länge der Ankathete.

Wie ändert sich dieser Cosinuswert, wenn der Winkel $\alpha$ geändert wird?

  • Wenn der Winkel$\alpha$ immer kleiner wird, dann wird die Ankathete immer länger. Schließlich für $\alpha=0^\circ$ ist $\cos(\alpha)=1$.
  • Wird der Winkel alpha größer, dann wird die Ankathete immer kürzer.
  • Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=180^\circ$ ist $\cos(\alpha)=-1$.
  • Für $\alpha=270^\circ$ ist $\cos(\alpha)=0$.
  • Wenn $\alpha=360^\circ$ ist, also der Vollwinkel, bist du wieder am Ausgangspunkt, also bei $\alpha=0^\circ$. Von hier an wiederhohlen sich die Cosinuswerte immer wieder. Dies wird als Periodizität bezeichnet. Du kannst dir das vorstellen als würdest du den Graph der Funktion für $\alpha\in[0^\circ;360^\circ]$ kopieren und anschließend diese Kopie links von $0^\circ$ und rechts von $360^\circ$ beliebig oft anfügen.

Übertrage nun diese Cosinuswerte in ein Koordinatensystem. Du erhältst dann den folgenden Funktionsgraphen:

3113_Cosinusfunktion.jpg

An Hand dieses Funktionsgraphen und der vorigen Betrachtung zu speziellen Winkeln, kannst du die folgenden Eigenschaften erkennen:

  • Die Cosinusfunktion ist für alle reellen Werte definiert mit: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
  • Ihr Wertebereich ist gegeben durch: $\mathbb{W}=[-1;1]$
  • Ab $360^\circ$ wiederholt sich der Verlauf. Dies wird als Periodizität bezeichnet. Die Periodenlänge beträgt $360$.
  • Die Nullstellen der Cosinusfunktion liegen bei $90^\circ$ und wegen der Periodizität bei diesem Winkel plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$. Also für $\alpha=90^\circ+k\cdot 180^\circ;~k\in \mathbb{Z}$ gilt: $\cos(\alpha)=0$.
  • Der Graph der Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
  • Zusätzlich ist der Graph der Cosinusfunktion punktsymmetrisch zu jedem Nullpunkt der Funktion.
  • Wenn du eine Parallele zur y-Achse durch einen beliebigen Hoch- oder Tiefpunkt der Funktion zeichnest, so ist der Graph der Cosinusfunktion achsensymmetrisch zu dieser Parallelen.
  • Der Abstand von dem höchsten zu dem niedrigsten Wert der Cosinusfunktion wird als Amplitude der Funktion bezeichnet. Die Amplitude der Cosinusfunktion beträgt: $1-(-1)=2$

Das Bogenmaß

Zur Berechnung von Cosinuswerten verwendest du den Taschenrechner.

1008_Taschenrechner.jpg

Du musst dabei beachten, dass wenn mit den trigonometrischen Funktionen gerechnet wird, kann das Winkelmaß, so wie oben zu sehen, verwendet werden. An Stelle vom Winkelmaß kann auch mit dem Bogenmaß gerechnet werden. Je nachdem, mit welchem der beiden Maße gerechnet wird, muss der Taschenrechner verschieden eingestellt werden:

  • auf DEG für „degree“, also Winkelmaß, oder
  • auf RAD für „radius“, also Bogenmaß.

Stelle dir wieder den Einheitskreis mit Radius $r=1$ vor.

3113_Bogenmaß.jpg

Zu jedem Winkel, im Winkelmaß $^\circ$, gehört ein Kreisbogen, im Bogenmaß. Dieser Bogen ist hier mit $b$ bezeichnet. Die Maßeinheit ist ein Längenmaß und kann zum Beispiel in $cm$ oder $dm$ angegeben werden.

Umrechnung von Winkelmaß in Bogenmaß

Sei der Winkel $\alpha$ gegeben, dann ist das Verhältnis dieses Winkels zu dem gesamten Winkel ebenso groß, wie das des zugehörigen Bogens zu dem Gesamtumfang des Einheitskreis $2~\pi$.

$\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{b}{2~\pi}$

Die Multiplikation mit $2~\pi$ führt zu:

$b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2~\pi$.

Beispiele:

  • Der Winkel $\alpha=0^\circ$ entspricht dem Bogenmaß $b=0$.
  • Der Winkel $\alpha=90^\circ$ entspricht dem Bogenmaß $b=\frac{\pi}2$.
  • Der Winkel $\alpha=180^\circ$ entspricht dem Bogenmaß $b=\pi$.

Damit können einige, der oben bereits genannten Eigenschaften, auch mit Hilfe des Bogenmaßes ausgedrückt werden. Nach $2~\pi$ wiederholt sich der Verlauf der Cosinusfunktion. Dies wird auch als $2~\pi$-Periodizität bezeichnet. Zudem sind die Nullstellen der Cosinusfunktion $\frac{\pi}2$ plus ganzzahlige Vielfache von $\pi$. Das bedeutet, für $x=\frac{\pi}+2k\cdot \pi;~k\in \mathbb{Z}$ gilt: $\cos(x)=0$.

Winkelmaß und Bogenmaß

Umrechnung von Bogenmaß in Winkelmaß

Sei nun das Bogenmaß $b$ gegeben. Es gilt wiederum:

$\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{b}{2~\pi}$

Die Multiplikation mit $360^\circ$ führt zu:

$\alpha=\frac{b}{2~\pi}\cdot 360^\circ$

Beispiele:

Sei $\alpha$ gegeben mit $\alpha=20^{\circ}$, dann berechnet sich das zugehörige Winkelmaß wie folgt:

$ b=\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2~\pi =\frac{20^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2~\pi =\frac{40^{\circ} \cdot ~\pi}{360^{\circ}}=\frac{1\cdot~\pi}{9} \approx 0,3491$

Andersherum sei das Bogenmaß $b$ mit $b=0,8$ gegeben, dann kann das zugehörige Winkelmaß wie folgt bestimmt werden:

$\alpha =\frac{b}{2~\pi}\cdot 360^\circ=\frac{0,8}{2~\pi}\cdot 360^\circ=\frac{0,4}{\pi}\cdot 360^\circ= \frac{144}{\pi}\ \approx 45.837^\circ $