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Proportionale und antiproportionale Zuordnungen

Proportionalitätsfaktor, Quotientengleichheit, Wertetabelle, Produktgleichheit, Wertetabelle

Was ist eine Zuordnung?

Eine Zuordnung ist eine Beziehung zwischen zwei Größen aus zwei Mengen, die über eine Zuordnungsvorschrift festgelegt ist.

Das bedeutet: Eine Zuordnung ordnet einem Wert einen anderen eindeutig zu.

Proportionale Zuordnungen

Es gibt verschiedene Arten der Darstellung von Zuordnungen. Beispiel: $30$ Liter Benzin kosten $45€$.

Diese Aussage ist eine Zuordnung zwischen Benzinmenge (Ausgangswert) und Preis (zugeordnetem Wert) und kann in einem Pfeildiagramm dargestellt werden:

Volumen (Liter) $\rightarrow$ Preis ($€$)

Anhand der zugehörigen Wertetabelle wird ersichtlich, dass es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt:

Tabelle_proportionale_Zuordnung.jpg

Die dritte Tabellenspalte (Rechnung) verdeutlicht nämlich, wie sich weitere Wertepaare berechnen lassen: Ausgangsgröße und zugeordnete Größe werden jeweils mit demselben Faktor multipliziert oder dividiert.

Allgemein bedeutet dies: Verdoppelt/verdreifacht/halbiert … sich der Ausgangswert, so verdoppelt/verdreifacht/halbiert … sich ebenfalls der zugeordnete Wert.

Quotientengleichheit

In der vierten Spalte der Wertetabelle erscheint der Quotient aus zugeordneter Größe und entsprechender Ausgangsgröße. Er weist einen gleichbleibenden Wert auf:

$\frac{\text{zugeordnete Größe}}{\text{Ausgangsgröße}} = \frac{\text{Preis}}{\text{Volumen}} = 1,5\ \frac{\text{Euro}}{\text{Liter}}=\text{konstanter Wert}$

Diese Eigenschaft nennt man Quotientengleichheit. Sie kann genutzt werden, um zu überprüfen, ob es sich bei einer Zuordnung um eine proportionale Zuordnung handelt. Wenn man den konstanten Wert kennt, kann damit auch die zugeordnete Größe berechnet werden:

$\text{zugeordnete Gr}\ddot{\text{o}}\text{ße} = \text{konstanter Wert} \cdot \text{Ausgangs}\ddot{\text{o}}\text{ße}$

Graphische Darstellung proportionaler Zuordnungen

Eine Zuordnung lässt sich grafisch in einem Koordinatensystem darstellen. Dabei wird die Skala für die Ausgangsgröße auf der $x$-Achse abgetragen und die Skala für die zugeordnete Größe auf $y$-Achse.

Im obigen Beispiel bezeichnet also die $x$-Achse das Volumen und die $y$-Achse den Preis. Die Wertepaare $($ Volumen $\vert $ Preis$)$ werden als Punkte in das Koordinatensystem eingetragen:

$\begin{array}{lllllllllll} (5 | 7,50) ; && (10 |15) ; && (15 | 22,50) ; && (30 | 45) ; && (60 | 90) ; && (90 | 135) \end{array}$

Verbindet man die Punkte miteinander, so liegen sie auf einer Halbgeraden, die im Punkt $(0 | 0)$ beginnt.

proportionale_Zuordnung.jpg

Antiproportionale Zuordnungen

Bei einer antiproportionalen Zuordnung oder auch umgekehrt proportionalen Zuordnung gilt: Zu dem Doppelten/Dreifachen/der Hälfte ... der Ausgangsgröße gehört die Hälfte/ein Drittel/das Doppelte ... der zugeordneten Größe.

Beispiel: Der Lebensmittelvorrat im Basislager einer Himalaja-Expedition reicht bei $10$ Teilnehmern $24$ Tage. Wie lange reicht derselbe Vorrat bei $20$ oder $30$ Teilnehmern? Wie lange reicht er bei $5$ oder gar nur $2$ Teilnehmern?

Bei diesem Beispiel wird vorausgesetzt, dass jedes Mitglied der Expedition jeden Tag gleich viele Lebensmittel verbraucht. Dann reicht der Vorrat für $20$ Teilnehmer nur halb so lange wie für $10$ Teilnehmer und für $5$ Teilnehmer doppelt so lange wie für $10$ Teilnehmer.

Die Ausgangsgröße ist die Anzahl der Teilnehmer und die zugeordnete Größe die Zeit in Tagen, dann erhält man folgendes Pfeildiagramm:

Teilnehmer (Anzahl) $\rightarrow$ Zeit (Tage)

In der Wertetabelle muss im Unterschied zur proportionalen Zuordnung auf der rechten Seite immer die Gegenoperation zu der Operation auf der linken Seite durchgeführt werden.

Dies wird in der dritten und vierten Spalte der Wertetabelle ersichtlich:

Tabelle_antiproportionale_Zuordnung.jpg

Produktgleichheit

Wenn man bei einer antiproportionalen Zuordnung die Ausgangsgröße und die zugeordnete Größe multipliziert, erhält man stets denselben Wert:

$\text{Ausgangsgr}\ddot{\text{o}}\text{ße} \cdot  \text{zugeordnete Gr}\ddot{\text{o}}\text{ße} = \text{konstanter Wert}$

Im Expeditionsbeispiel ist es der Wert $240$.

Diese Eigenschaft nennt man Produktgleichheit: Man kann sie nutzen, um zu überprüfen, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt. Wenn der konstante Wert bekannt ist, kann damit du auch die zugeordnete Größe bestimmt werden:

$\text{zugeordnete Gr}\ddot{\text{o}}\text{ße} = \text{konstanter Wert} : \text{Ausgangsgr}\ddot{\text{o}}\text{ße}$

Graphische Darstellung antiproportionaler Zuordnungen

Auch antiproportionale Zuordnungen können im Koordinatensystem veranschaulicht werden. Die Skala für die Ausgangsgröße wird wieder auf der $x$-Achse abgetragen und die Skala für die zugeordnete Größe auf der $y$-Achse.

antiproportionale_Zuordnung.jpg

Die Punkte des Graphen einer antiproportionalen Zuordnung liegen immer auf einer Kurve. Diese Kurve nennt man Hyperbel.