Zufallsexperimente vereinfachen und modellieren

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Die Autor*innen

Martin Wabnik

Zufallsexperimente vereinfachen und modellieren

lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Zufallsexperimente vereinfachen und modellieren

Das Vereinfachen von Zufallsversuchen ist vor allem dann vorteilhaft, wenn die Zufallsversuche unübersichtlich viele Ergebnisse haben. Dann kann man Ergebnisse zusammenfassen, diesen Zusammenfassungen Zahlen zwischen 0 und 1 zuordnen (deren Summe gleich 1 sein soll) und schon hat man ein einfaches Modell, in dem man gut rechnen kann. Z.B. kann es sein, dass man sich beim vierfachen Münzwurf nicht so sehr dafür interessiert, welches Ergebnis welche Wahrscheinlichkeit hat, sondern eher interessant ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit wie oft Kopf geworfen wird. Dann kann man sich ein Modell konstruieren, dass nicht mehr 16, sondern nur noch 5 Ergebnisse hat.

Transkript Zufallsexperimente vereinfachen und modellieren

Hallo! Das Vereinfachen und Modellieren von Zufallsversuchen können wir uns mal an einem konkreten Beispiel ansehen. Hier habe ich vorbereitet den vierfachen Münzwurf. Das ist hier die Ergebnismenge beim vierfachen Münzwurf. Das bedeutet zum Beispiel (Zahl; Kopf; Kopf; Zahl). Diese Dinge hier heißen Quadrupel. Ins Umgangsdeutsch übersetzt könnte man sagen, das sind geordnete Viererketten zum Beispiel. Geordnet deshalb, weil diese beiden Viererketten, also Quadrupel, sich deshalb unterscheiden, weil das Z hier an erster Stelle ist und das Z dort an zweiter Stelle ist. Jedes Quadrupel hat die Wahrscheinlichkeit 1/16, weil wir insgesamt 16 Ergebnisse haben und damit ist der Anteil eines Quadrupels an der Ergebnismenge gleich 1/16. Wenn wir uns bei diesem Zufallsversuch nicht für jedes einzelne Ergebnis persönlich interessieren, sondern vielleicht nur daran interessiert sind, wie viel mal Kopf fällt, dann können wir mit der verallgemeinerten Wahrscheinlichkeit die Situation vereinfachen. Ja, wir erinnern uns, ordnet man den Elementen einer Menge Zahlen zwischen 0 und 1 so zu, dass deren Summe 1 ist, sind diese Zahlen Wahrscheinlichkeiten. Und das können wir uns mal konkret ansehen. Wenn wir viermal eine Münze werfen, dann können wir null mal Kopf werfen oder einmal Kopf oder zweimal Kopf oder dreimal Kopf oder viermal Kopf. Und wenn wir jetzt noch hier die Mengenklammern darum machen, haben wir hier eine Menge, die nenne ich jetzt mal Omega, warum nicht, für Grundmenge. Ich kann die auch G nennen oder manchmal heißt sie auch S, völlig egal. Wir können diesen Elementen nun Zahlen zuordnen und zwar mit Hilfe der Funktion P. Die Funktion P ordnet der 0 die Zahlen 1/16 zu. Ja, warum? Wenn das, was wir jetzt hier modellieren, irgendetwas mit unserem Ausgangszufallsversuch zu tun haben soll, dann wäre es schlau der 0 die Wahrscheinlichkeit zuzuordnen, die das Ereignis null mal Kopf im Ausgangszufallsversuch hat. Null mal Kopf kommt in der Ergebnismenge nur ein einziges Mal vor, also ist die Wahrscheinlichkeit 1/16. Der 1 können wir auch etwas zuordnen, P(1). Und das kann die Wahrscheinlichkeit sein, die das Ereignis einmal Kopf im Ausgangszufallsversuch hat. Es gibt vier Elemente in der Ergebnismenge mit einmal Kopf, denn Kopf kann an der ersten, zweiten, dritten oder vierten Stelle stehen. Das bedeutet im Ausgangszufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit für einmal Kopf gleich 4/16 und das ist 1/4. Ja, 4/16 schreibt man natürlich nicht hin. So und aus Symmetriegründen, würde ich mal sagen, mache ich hier hinten weiter. Es gibt nur ein Element in der Ergebnismenge des Ausgangszufallsversuchs mit viermal Kopf, also möchte ich hier der 4 die Zahl 1/16 zuordnen. Bei der drei kann ich mich auf einmal Kopf berufen, denn wenn man dreimal Kopf hat, hat man nur einmal Zahl. Diese eine Zahl kann an erster, zweiter, dritter oder vierter Stelle stehen und dann haben wir hier P(3) = 1/4 wieder. So und wenn man sich den Ausgangszufallsversuch anguckt sieht man, dass man sechs Elemente der Ergebnismenge hat die zweimal Kopf haben, also ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis “zweimal Kopf” im Ausgangszufallsversuch gleich 6/16. Und das schreibt man so natürlich nicht hin, denn man kürzt das und das sind dann 3/8. Der Vollständigkeit halber schreibe ich noch hin, dass diese Zuordnung hier mit der Funktion P stattfindet. P ordnet den Elementen dieser Menge hier oben Zahlen zu und zwar Zahlen zwischen 0 und 1. P macht das so, dass die Summe aller zugeordneten Zahlen gleich 1 ist. Ja, du kannst das selber nachrechnen, die Summe ist 1. Und nach unserer Definition der verallgemeinerten Wahrscheinlichkeit sind das dann hier Wahrscheinlichkeiten. Diese ganze Situation hier ist jetzt einfacher als der Ausgangszufallsversuch, weil wir hier einfach weniger Ergebnisse haben. Die Situation ist aber auch abstrakter, weil für diese Zuordnung hier, für diese Funktion, gar kein Zufallsversuch stattgefunden haben muss. Das geht auch einfach so. Diese Modellbildung macht man, wenn man eine reale komplexe Situation vor sich hat. Die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten ist dann in der realen Situation oft mühsam oder vielleicht sogar völlig unmöglich. Oft reicht es aber, ein vereinfachtes Modell der Realität zu konstruieren, indem man Wahrscheinlichkeiten gut berechnen kann. Außerdem macht man solche Modelle, um die Wahrscheinlichkeitsrechnung, also die Theorie, weiterzuentwickeln, weil man nämlich Prinzipien an vereinfachten Modellen oft einfacher erkennen kann als an komplexen realen Situationen. Das bedeutet, diese Methode wird uns noch weiter verfolgen. Hier sind wir aber erstmal fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

Zufallsexperimente vereinfachen und modellieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zufallsexperimente vereinfachen und modellieren kannst du es wiederholen und üben.

Beschreibe den Zufallsversuch „Viermaliges Werfen einer Münze“.

Tipps

Da jedes der Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit $p$ hat und die Summe der Wahrscheinlichkeiten $1$ ist, gilt
$p+...+p=1$.
Teile also $1$ durch die Anzahl der Ergebnisse.

Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen.
Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuchs.

„Geordnet“ bedeutet, dass die beiden Quadrupel $($K,K,K,Z$)$ und $($Z,K,K,K$)$ unterschieden werden.

Lösung

Wenn eine Münze viermal geworfen wird und notiert wird, ob „Kopf“ (kurz „K“) oder „Zahl“ (kurz „Z“) oben liegt, erhält man geordnete Quadrupel oder auch geordnete Ketten der Länge $4$. Die Ergebnismenge ist damit
$\begin{array}{rcl} \Omega&=&\{(\text{K,K,K,K}),(\text{K,K,K,Z}),(\text{K,K,Z,K}),(\text{K,K,Z,Z}),\\ &&(\text{K,Z,K,K}),(\text{K,Z,K,Z}),(\text{K,Z,Z,K}),(\text{K,Z,Z,Z}),\\ &&(\text{Z,K,K,K}),(\text{Z,K,K,Z}),(\text{Z,K,Z,K}),(\text{Z,K,Z,Z}),\\ &&(\text{Z,Z,K,K}),(\text{Z,Z,K,Z}),(\text{Z,Z,Z,K}),(\text{Z,Z,Z,Z})\} \end{array}$
Dies sind $16$ Quadrupel. Die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser Quadrupel ist gleich groß:
$\frac1{16}$
Bestimme zu jedem Ergebnis die zugehörige Wahrscheinlichkeit.

Tipps

Es gibt insgesamt $16$ geordnete Quadrupel, wenn du eine Münze viermal wirfst.
Es gibt nur ein Quadrupel, in dem „Kopf“ keinmal vorkommt: (Z,Z,Z,Z)
Deswegen ist $P(0)=\frac1{16}$.

Schreibe dir jeweils auf, welche Quadrupel die entsprechende Anzahl an „Kopf“ enthalten.
Wenn du diese Anzahl jeweils durch $16$ dividierst, erhältst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Kürze so weit wie möglich.

Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten addierst, erhältst du $1$.

Lösung

Wir werfen eine Münze viermal. Jedes Mal notieren wir, ob „Kopf“ oder „Zahl“ oben liegt. Auf diese Weise erhalten wir geordnete Quadrupel. Die Ergebnismenge ist somit gegeben durch:
$\begin{array}{rcl} G&=&\{(\text{K,K,K,K}),(\text{K,K,K,Z}),(\text{K,K,Z,K}),(\text{K,K,Z,Z}),\\ &&(\text{K,Z,K,K}),(\text{K,Z,K,Z}),(\text{K,Z,Z,K}),(\text{K,Z,Z,Z}),\\ &&(\text{Z,K,K,K}),(\text{Z,K,K,Z}),(\text{Z,K,Z,K}),(\text{Z,K,Z,Z}),\\ &&(\text{Z,Z,K,K}),(\text{Z,Z,K,Z}),(\text{Z,Z,Z,K}),(\text{Z,Z,Z,Z})\} \end{array}$
Dies sind $16$ Quadrupel. Die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser Quadrupel ist $\frac1{16}$.
Um nun die Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit von „Kopf“ zu bestimmen, zählst du die Quadrupel, welche ebenso häufig „K“ enthalten.
Die Ergebnismenge des Zufallsversuchs ist $\Omega=\{0;1;2;3;4\}$.
Kopf wird keinmal geworfen
Dies ist nur ein Quadrupel $($Z,Z,Z,Z$)$.
Damit ist $P(0)=\frac1{16}$.
Kopf wird einmal geworfen
Dies sind vier Quadrupel $($K,Z,Z,Z$)$, $($Z,K,Z,Z$)$, $($Z,Z,K,Z$)$ sowie $($Z,Z,Z,K$)$. Übrigens: Ebenso viele Quadrupel gibt es, in denen dreimal „K“ für „Kopf“ vorkommt.
Damit ist $P(1)=P(3)=\frac4{16}=\frac14$.
Kopf wird zweimal geworfen
Das sind die folgenden Quadrupel $($K,K,Z,Z$)$, $($K,Z,K,Z$)$, $($K,Z,Z,K$)$, $($Z,K,K,Z$)$, $($Z,K,Z,K$)$ sowie $($Z,Z,K,K$)$, also sechs Quadrupel.
Damit ist $P(2)=\frac6{16}=\frac38$.
Kopf wird dreimal geworfen
$P(3)=\frac4{16}=\frac14$
Kopf wird viermal geworfen
Das ist wieder nur ein Quadrupel $($K,K,K,K$)$.
Damit ist $P(4)=\frac1{16}$.
Du kannst hier erkennen, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch ist. Das wurde bei $P(1)=P(3)$ explizit verwendet.
Darüber hinaus wird jedes Quadrupel in einem der fünf Fälle vorkommen und sicher auch nur in einem dieser Fälle. Das bedeutet, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten $1$ ist:
$\frac1{16}+\frac14+\frac38+\frac14+\frac1{16}=1$ ✓
Also liegt tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vor.
Arbeite die Eigenschaften des Zufallsexperiments heraus.

Tipps

So kannst du dir die Ergebnisse dieses zweistufigen Zufallsversuchs herleiten.
In der linken Spalte steht die zuerst geworfene Zahl und in der oberen Zeile die zweite Zahl.

Wenn du eine Münze einmal wirfst, kann es zwei verschiedene Ergebnisse geben: „Kopf“, kurz „K“, oder „Zahl“, kurz „Z“.
Die Wahrscheinlichkeiten sind gleich groß, also $P($K$)=P($Z$)=\frac12$.

Wenn alle Wahrscheinlichkeiten eines Wahrscheinlichkeitsexperimentes gleich groß sind, musst du $1$ durch die Anzahl der Ergebnisse dividieren, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

Lösung

Wir werfen dieses regelmäßige Tetraeder zweimal und notieren uns nach jedem Wurf, welche Zahl unten liegt. Auf diese Weise erhält man geordnete Paare.
Also kannst du die Ergebnismenge wie folgt angeben:
$\begin{array}{rcl} G&=&\{(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),\\ &&(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ &&(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),\\ &&(4;1),(4;2),(4;3),(4;4)\} \end{array}$
Wie du siehst gibt, es zu jeder der vier Zahlen auf der ersten Position vier Zahlen auf der zweiten Position. Das bedeutet, dass es insgesamt $4\cdot 4=16$ solcher geordneter Paare gibt.
Da für jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit gleich groß ist, kannst du folgern, dass die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis $\frac1{16}$ beträgt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ergebnisses.
Tipps

Hier siehst du die Ergebnismenge, wenn du die geordneten Zahlenpaare aufschreibst:
$\begin{array}{rcl} G&=&\{(1;1),(1;2),(1;3),(1;4), (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ &&(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(4;1),(4;2),(4;3),(4;4)\} \end{array}$

Prüfe jeweils, welche dieser Paare zu der entsprechenden Augensumme führen, und zähle, wie viele solcher Paare es gibt.
Dividiere diese Anzahl durch $16$ und kürze, sofern möglich.

Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten addierst, erhältst du $1$.

Lösung
Schauen wir uns noch einmal die Definition einer Wahrscheinlichkeitsverteilung an.
Ordnet man allen Elementen einer Menge Zahlen zwischen $0$ und $1$ so zu, dass deren Summe gleich $1$ ist, sind diese Zahlen Wahrscheinlichkeiten.
Wir werden nun prüfen, ob wir im Folgenden tatsächlich von Wahrscheinlichkeiten sprechen dürfen.
Hierfür betrachten wir die Ergebnismenge für das Zufallsexperiment „Zweimaliges Werfen des regelmäßigen Tetraeders“ mit geordneten Paaren als Ergebnissen:
$\begin{array}{rcl} G&=&\{(1;1),(1;2),(1;3),(1;4), (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ &&(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(4;1),(4;2),(4;3),(4;4)\} \end{array}$
Nun schauen wir uns die Augensummen an, die sich durch diese Paare ergeben:
$\Omega=\{2;3;4;5;6;7;8\}$
Dann müssen wir schauen, wie viele Paare jeweils die gesuchte Augensumme ergeben. Diese Anzahl teilen wir dann durch $16$ und kürzen eventuell.
- Augensumme $2$: Hier gibt es nur ein Zahlenpaar $(1;1)$. Die Wahrscheinlichkeit ist somit $P(2)=\frac1{16}$.
- Augensumme $3$: Hier gibt es zwei Zahlenpaare $(1;2)$ sowie $(2;1)$. Die Wahrscheinlichkeit ist somit $P(3)=\frac2{16}=\frac18$.
- Augensumme $4$: Hier gibt es drei Zahlenpaare $(1;3)$, $(2;2)$ sowie $(3;1)$. Die Wahrscheinlichkeit ist somit $P(4)=\frac3{16}$.
- Augensumme $5$: Hier gibt es vier Zahlenpaare $(1;4)$, $(2;3)$, $(3;2)$ sowie $(4;1)$. Die Wahrscheinlichkeit ist somit $P(5)=\frac4{16}=\frac14$.
- Augensumme $6$: Hier gibt es drei Zahlenpaare $(2;4)$, $(3;3)$ sowie $(4;2)$. Die Wahrscheinlichkeit ist somit $P(6)=\frac3{16}$.
- Augensumme $7$: Hier gibt es zwei Zahlenpaare $(3;4)$ sowie $(4;3)$. Die Wahrscheinlichkeit ist somit $P(7)=\frac2{16}=\frac18$.
- Augensumme $8$: Hier gibt es nur ein Zahlenpaar $(4;4)$. Die Wahrscheinlichkeit ist somit $P(8)=\frac1{16}$.
Vielleicht ist dir schon aufgefallen, dass diese Verteilung symmetrisch ist. Es gilt $P(2) = P(8), P(3) = P(7)$ und $P(4) = P(6)$.
Alle diese Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen $0$ und $1$. Nun können wir noch prüfen, ob die Summe tatsächlich $1$ ergibt:
$\frac1{16}+\frac2{16}+\frac3{16}+\frac4{16}+\frac3{16}+\frac2{16}+\frac1{16}=\frac{1+2+3+4+3+2+1}{16}=\frac{16}{16}=1$ ✓
Definiere, was eine Wahrscheinlichkeit ist.

Tipps

Stelle dir vor, du wirfst eine Münze einmal.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird „Kopf“ oben liegen?
Richtig: $50\%$ oder $\frac12$ oder $0,5$.
Übrigens: Mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wird „Zahl“ oben liegen.

Beim Münzwurf kann nur „Kopf“ (kurz „K“) oder „Zahl“ (kurz „Z“) oben liegen. Diese beiden Ergebnisse werden zu der Ergebnismenge zusammengefasst:
$\Omega=\{$K, Z$\}$
Was fällt dir auf, wenn du die beiden Wahrscheinlichkeiten addierst?

Lösung

Wie definieren wir eine Wahrscheinlichkeitszuordnung?
Ordnet man allen Elementen einer Menge Zahlen zwischen $0$ und $1$ so zu, dass deren Summe gleich $1$ ist, sind diese Zahlen Wahrscheinlichkeiten.
Schauen wir uns einmal die kleinste und auch die größte Wahrscheinlichkeit an.
Die Wahrscheinlichkeit $0$: Dies besagt, dass etwas unmöglich ist.
Die Wahrscheinlichkeit $1$: Dies besagt, dass etwas sicher ist.
Es gibt sicher keine Wahrscheinlichkeit, die größer ist als $1$ oder kleiner als $0$ ist.
Übrigens: Die Wahrscheinlichkeit ist eine theoretische Größe. Sie genügt der obigen Definition und dient dazu „mit dem Zufall zu rechnen“.
Berechne die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Tipps

Neben dem Bild sind den jeweiligen Summen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zugeordnet.
Prüfe, welche Ergebnisse zu der jeweiligen Aussage gehören.
Addiere die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse.

Wir wollen zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Augensumme ungerade ist.
Es werden also die Ergebnisse $3$, $5$ und $7$ betrachtet. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden addiert. Es ergibt sich:
$P(3)+P(5)+P(7)=0,125+0,25+0,125=0,5$
Beachte, dass $P(3)=P(7)$ gilt.

Lösung

Die Definition einer Wahrscheinlichkeitsverteilung besagt:
Ordnet man allen Elementen einer Menge Zahlen zwischen $0$ und $1$ so zu, dass deren Summe gleich $1$ ist, sind diese Zahlen Wahrscheinlichkeiten.
Wenn mehrere Ergebnisse zusammengefasst werden, werden die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten addiert. Die Zusammenfassung mehrerer Ergebnisse nennt man Ereignis.
Damit können wir die folgenden Wahrscheinlichkeiten berechnen:
Gerade Augensumme: $2$, $4$, $6$ oder $8$
Wir addieren die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten zu $P(2)+P(4)+P(6)+P(8)=0,0625+0,1875+0,1875+0,0625=0,5$.
Augensumme größer oder gleich fünf: $5$, $6$, $7$ oder $8$
Wir addieren die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten zu $P(5)+P(6)+P(7)+P(8)=0,25+0,1875+0,125+0,0625=0,625$.
Augensumme kleiner als vier: $2$ oder $3$
Wir addieren die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten zu $P(2)+P(3)=0,0625+0,125=0,1875$.