y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion

y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion Übung

• Beschreibe die Bedeutung des $y$-Achsenabschnitts einer linearen Funktion.

  Tipps

  Der $y$-Achsenabschnitt ist das $b$ in der Gleichung einer linearen Funktion.

  Setze für $x=0$ ein, dann ist $y=b$.

  Jeder Punkt, dessen $x$-Koordinate $0$ ist, liegt auf der $y$-Achse.

  Lösung

  Die Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=m\cdot x+b$. Im Koordinatensystem ist diese Funktion als Gerade erkennbar.

  Was bedeutet der $y$-Achsenabschnitt $b$ graphisch?

  Der $y$-Achsenabschnitt ist die Zahl, die dort steht, wo der Graph die $y$-Achse schneidet.

• Bestimme den $y$-Achsenabschnitt der Funktion.

  Tipps

  Der $y$-Achsenabschnitt ist der Term ohne die Variable $x$ auf der rechten Seite der Funktionsgleichung.

  Die Punkte der Koordinatenachsen zeichnen sich dadurch aus, dass mindestens eine der beiden Koordinaten $0$ ist.

  Du kannst den $y$-Achsenabschnitt auch anhand des ersten Eintrags in der Wertetabelle erkennen, da dort $x$ den Wert $0$ hat.

  Lösung

  Man kann dieser Wertetabelle zwei Punkte des Funktionsgraphen entnehmen, zum Beispiel $(2|-3{,}5)$ sowie $(-2|-2{,}5)$.

  Wenn man diese Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet und diese miteinander verbindet, erhält man eine Gerade.

  Diese Gerade schneidet die $y$-Achse an einer Stelle. In diesem Beispiel ist dies $b=-3$.

  Dies kann man auch bereits an der Funktionsgleichung $y=-\frac14x-3$ erkennen.

  Wenn man in dieser Gleichung für $x$ den Wert $0$ einsetzt, erhält man:

  $y=-\frac14\cdot 0-3=-3$.

  Der Punkt $(0|-3)$ kann auch der Wertetabelle entnommen werden.

• Gib jeweils den $y$-Achsenabschnitt der Funktion an.

  Tipps

  Der $y$-Achsenabschnitt ist der Wert der „alleine“ (ohne $x$) steht.

  Beachte, dass die Reihenfolge auch vertauscht werden kann:

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion könnte auch so geschrieben werden:

  $y=b+m\cdot x$.

  Lösung

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=m\cdot x+b$.

  • Der Faktor $m$ vor der Variablen $x$ ist die Steigung.
  • Der Wert $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt.

  In dieser Aufgabe geht es um den $y$-Achsenabschnitt:

  Die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt kann man direkt aus der Funktion ablesen. Der Faktor bei dem $x$ ist dabei immer die Steigung.

  1. $y=2-x$: Hier ist $b=2$. Man könnte diese Gleichung auch schreiben als $y = -x + 2$.
  2. $y=-0,5x+4$: Hier ist $b=4$.
  3. $y=2+x$: Hier ist $b=2$.
  4. $y=4$: Hier ist $b=4$.
  5. $y=3-0,3x$: Hier ist $b=3$.

• Untersuche die Funktionen auf gemeinsame $y$-Achsenabschnitte.

  Tipps

  Schaue dir die Stelle an, wo die Graphen die $y$-Achse schneiden.

  Diesen Punkt nennt man $y$-Achsenabschnitt.

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet wie folgt:

  $y=m\cdot x+b$.

  Dabei ist $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Den $y$-Achsenabschnitt kann man ablesen: Es ist die Zahl, welche an der Stelle steht, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  • Die blaue Gerade hat den $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Sie ist der Graph einer proportionalen Funktion.
  • Die grüne und rote Gerade haben den gleichen $y$-Achsenabschnitt bei $b=-4$.
  • Die orange Gerade hat den $y$-Achsenabschnitt $b=-3$.

  Die blaue und die grüne Gerade verlaufen tatsächlich parallel zueinander: Das bedeutet, dass die beiden linearen Funktionen die gleiche Steigung haben.

• Gib an, welcher Teil der linearen Funktion für den $y$-Achsenabschnitt steht.

  Tipps

  Der $y$-Achsenabschnitt ist weder ein Relations- noch ein Operationszeichen.

  Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$.

  Wenn du $x=0$ in der Funktionsgleichung erhältst du einen Punkt des Graphen, welcher auf der $y$-Achse liegt.

  Lösung

  Aus welchen Teilen besteht eine lineare Funktion und welche Bedeutung haben sie?

  Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die eine Funktionsgleichung der Form $y=m\cdot x+b$ hat.

  Dabei ist...

  • ...$m$ die Steigung.
  • ...$b$ der $y$-Achsenabschnitt.
  • ...$y$ der Funktionswert.
  • ...$x$ die Funktionsvariable.
  • ...$=$ ein Relationszeichen.
  • ...$+$ das Operationszeichen für die Addition.

• Berechne den $y$-Achsenabschnitt der Geraden, die durch die vorgegebenen Punkte geht.

  Tipps

  Es gibt mehrere Wege diese Aufgabe zu lösen.

  Du kannst entweder die beiden Punkte einzeichnen, verbinden und den $y$-Achsenabschnitt ablesen oder die Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen.

  Die Steigung der linearen Funktion ist gegeben durch die Differenz der $y$-Werte geteilt durch die Differenz der $x$-Werte.

  Die Steigung der linearen Funktion ist gegeben durch $m=3$.

  Um den $y$-Achsenabschnitt zu bestimmen, musst du einen der beiden Punkte in der Funktionsgleichung einsetzen und $b$ ausrechnen:

  $y=3x+b$.

  Lösung

  Wenn man den $y$-Achsenabschnitt bestimmen will, kann man auf verschiedene Arten vorgehen. Möglich ist es bspw. ...

  • ...die Funktionsgleichung aufzustellen.
  • ...die beiden Punkte in ein Koordinatensystem zu zeichnen, diese zu verbinden und den $y$-Achsenabschnitt abzulesen.

  Um die Steigung einer Gerade zu berechnen, welche durch zwei Punkte gegeben ist, wird die Differenz der $y$-Koordinaten durch die der $x$-Koordinaten dividiert.

  Hier angewendet ergibt sich also:

  $m=\frac{5-2}{4-3}=\frac31=3$.

  Der $y$-Achsenabschnitt ergibt sich durch Einsetzen eines der beiden Punkte in der Funktionsgleichung $y=3x+b$:

  $\begin{array}{rcll} 2&=&3\cdot3+b&|-9\\ -7&=&b \end{array}$

  Die Funktionsgleichung lautet also $y=3x-7$ und der $y$-Achsenabschnitt ist $-7$.