y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion
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Grundlagen zum Thema y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion
Inhalt
- Was ist der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion?
- Wie gibt man den y-Achsenabschnitt an?
- Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt mit zwei Punkten?
- Zusammenfassung – y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion
Was ist der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion?
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Jede Gerade, die durch eine lineare Funktion der Form $y = m \cdot x + b$ beschrieben wird, schneidet die $y$-Achse in genau einem Punkt. Dieser Schnittpunkt ist der $\mathbf{y}$-Achsenabschnitt der Funktion.
Im Folgenden schauen wir uns genau an, wie man den $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion bestimmt.
Wie gibt man den y-Achsenabschnitt an?
Alle Punkte, die auf der $y$-Achse liegen, haben die $x$-Koordinate $x = 0$. Da der $y$-Achsenabschnitt auf der $y$-Achse liegt, können wir den zugehörigen $y$-Wert berechnen, indem wir $x = 0$ in die Gleichung der linearen Funktion einsetzen. Allgemein ergibt sich für die lineare Funktion $y = m \cdot x + b$ mit $x = 0$ dann: $y = m \cdot 0 + b = 0 + b = b$.
Wir haben so allgemein gezeigt, wie man den $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet.
Die Koordinaten des Schnittpunkts einer linearen Funktion mit der $y$-Achse lauten: $\text{S}(0 \vert b)$. Häufig wird für den $y$-Achsenabschnitt aber nur die zweite Koordinate $y = b$ angegeben.
Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt mit zwei Punkten?
In den meisten Fällen können wir den $y$-Achsenabschnitt direkt aus der Funktionsgleichung einer linearen Funktion $y = m \cdot x + \mathbf{b}$, oder am Graphen einer Geraden als Schnittpunkt mit der $y$-Achse, ablesen. Was aber, wenn wir weder die Funktionsgleichung kennen noch den gesuchten Wert für $b$ direkt aus dem Graphen entnehmen können? Wir können den $y$-Achsenabschnitt auch anhand von zwei beliebigen Punkten berechnen, die zu dem Graphen einer linearen Funktion gehören.
Betrachten wir folgendes Beispiel:
Wir können die Koordinaten von zwei Punkten aus dem Graphen ablesen:
$\text{P}_{1} (3 \vert 3)$ und $\text{P}_{2} (4 \vert -1)$
Mithilfe der beiden Punkte können wir die Steigung $m$ berechnen:
$m = \dfrac{-1 - 3}{4 - 4} = \dfrac{-4}{1} = -4$
Die Gleichung der zugehörigen linearen Funktion hat damit die Form:
$y = -4x + b$
Wir können nun die Koordinaten eines der beiden Punkte für $x$ und $y$ in diese Gleichung einsetzen und nach $b$ auflösen, um den $y$-Achsenabschnitt $b$ zu berechnen. Mit $\text{P}_{2}$ erhalten wir:
$-1 = -4 \cdot 4 + b$
$-1 = -16 + b \quad \vert + 16$
$15 = b$
Der $y$-Achsenabschnitt liegt demnach bei $b = 15$ und die Gleichung der linearen Funktion ist entsprechend: $y = -4x + 15$.
Zusammenfassung – y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion
Der $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion gibt an, wo der Graph der Funktion die $y$-Achse schneidet. Der $y$-Achsenabschnitt ist der $y$-Wert des Schnittpunkts.
Ist die Funktionsgleichung bekannt, so können wir den $y$-Achsenabschnitt direkt ablesen. Wir nehmen dazu den Wert von $\mathbf{b}$ aus der Funktionsgleichung der Form $y = m \cdot x + b$.
Für den Fall, dass der Funktionsterm nicht bekannt ist und wir den $y$-Achsenabschnitt nicht aus dem Graphen ablesen können, berechnen wir den Wert, indem wir den Funktionsterm aus zwei Punkten auf der Geraden bestimmen.
Auf dieser Seite findet ihr zusätzlich zum Video Übungen mit weiteren Beispielen und Aufgaben zum Thema $y$-Achsenabschnitt berechnen.
Transkript y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion
Hallo. Wenn Du weißt, was lineare Funktionen sind, dann können wir uns jetzt mal eine kleine Spezialität angucken, und zwar den y-Achsen-Abschnitt. Wie Du ja weißt, sind lineare Funktionen, Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form y = m * x + b und der y-Achsen-Abschnitt ist b. Beziehungsweise, die Zahl, die man für b einsetzt, wenn man eine konkrete Funktion vor sich hat. Dann können wir uns das mal grafisch angucken. Wenn wir also einen Graphen einer Funktion haben, der zum Beispiel so verläuft, das ist eine Gerade, zeichne ich jetzt einfach mal so aus der Hand. Dann ist der y-Achsen-Abschnitt die Zahl, die dort steht, wo der Graph die y-Achse schneidet. So, fertig. Wenn Dir das jetzt alles zu knapp war, ich kann den Film auch nochmal zurückspulen und nochmal von vorne anfangen und das mal in ausführlich machen. Also dann, los geht es. (5 Sek.) Hallo. Lineare Funktionen haben y-Achsen-Abschnitte und was das ist, können wir uns jetzt mal ansehen. Lineare Funktionen erstmal, sind ja Funktionen mit Funktionsgleichungen der Form y = m * x + b. Und wir können uns jetzt einfach mal eine konkrete Funktion dazu ansehen. Zum Beispiel die hier, y = -¼ * x – 3. Also da ist jetzt für m –¼ eingesetzt worden und für b ist -3 eingesetzt worden. Was kann man mit solchen Funktionen machen? Man kann den Graphen zeichnen, da braucht man erst eine Wertetabelle. Habe ich hier schon mal vorbereitet. Man setzt zum Beispiel 0 ein für x und rechnet dann den Funktionswert aus. Oder man setzt für x eins ein und rechnet dann den Funktionswert aus. Man kann dann diese Wertepaare in ein Koordinatensystem eintragen und den Graphen zeichnen. Ich werde mich mal hier auf diese beiden Werte stürzen, weil man ja nur zwei Werte braucht, um eine Gerade zeichnen zu können. Bei minus zwei ist der y-Wert -2,5 und bei zwei ist der y-Wert gleich -3,5. Jetzt brauche ich nur noch die beiden hier verbinden und dann haben wir schon den Funktionsgraphen. Dieser Funktionsgraph schneidet jetzt die y-Achse. Das geht nicht anders, immer wenn man Funktionsgraphen linearer Funktionen zeichnet, schneiden diese Graphen die y-Achse an einer bestimmten Stelle. Das ist hier jetzt, können wir ablesen, bei minus drei. Der y-Achsen-Abschnitt sollte vom Wortsinn her, eigentlich ein Abschnitt der y-Achse sein, ist er aber nicht. Wenn man den y-Achsen-Abschnitt angibt, gibt man die Zahl an, die hier steht, wo der Graph die y-Achse schneidet. Also eigentlich müsste es dieser Abschnitt sein, aber man sagt auf die Frage, welchen y-Achsen-Abschnitt hat diese Funktion hier? Dann sagt man einfach -3. Ich weiß, ist nicht logisch, aber so ist das in der Mathematik, da ist eben nicht immer alles logisch. Wir können uns jetzt noch überlegen, wie man diesen y-Achsen-Abschnitt berechnen kann. Und dazu können wir uns überlegen, wie groß denn der x-Wert bei diesem Funktionswert -3 ist. Naja, da das immer auf der y-Achse liegt, ist der x-Wert gleich null. Das bedeutet, wenn wir für x in die Funktionsgleichung null einsetzen, dann erhalten wir den y-Achsen-Abschnitt, nämlich hier, in dieser Wertetabelle. Und das passt auch mit dem zusammen, was wir gerade gesehen haben, nämlich, dass der y-Achsen-Abschnitt gleich minus 3 ist. Wenn man sich jetzt allgemein fragt, wie berechne ich also den y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion? Kann man sagen, Du nimmst Dir die Funktionsgleichung und schreibst die Zahl ab, die man hier für b eingesetzt hat. Das ist alles. Dann sind wir damit fertig, mit dem y-Achsen-Abschnitt, viel Spaß damit, tschüss.
y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion Übung
-
Beschreibe die Bedeutung des $y$-Achsenabschnitts einer linearen Funktion.
TippsDer $y$-Achsenabschnitt ist das $b$ in der Gleichung einer linearen Funktion.
Setze für $x=0$ ein, dann ist $y=b$.
Jeder Punkt, dessen $x$-Koordinate $0$ ist, liegt auf der $y$-Achse.
LösungDie Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=m\cdot x+b$. Im Koordinatensystem ist diese Funktion als Gerade erkennbar.
Was bedeutet der $y$-Achsenabschnitt $b$ graphisch?
Der $y$-Achsenabschnitt ist die Zahl, die dort steht, wo der Graph die $y$-Achse schneidet.
-
Bestimme den $y$-Achsenabschnitt der Funktion.
TippsDer $y$-Achsenabschnitt ist der Term ohne die Variable $x$ auf der rechten Seite der Funktionsgleichung.
Die Punkte der Koordinatenachsen zeichnen sich dadurch aus, dass mindestens eine der beiden Koordinaten $0$ ist.
Du kannst den $y$-Achsenabschnitt auch anhand des ersten Eintrags in der Wertetabelle erkennen, da dort $x$ den Wert $0$ hat.
LösungMan kann dieser Wertetabelle zwei Punkte des Funktionsgraphen entnehmen, zum Beispiel $(2|-3{,}5)$ sowie $(-2|-2{,}5)$.
Wenn man diese Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet und diese miteinander verbindet, erhält man eine Gerade.
Diese Gerade schneidet die $y$-Achse an einer Stelle. In diesem Beispiel ist dies $b=-3$.
Dies kann man auch bereits an der Funktionsgleichung $y=-\frac14x-3$ erkennen.
Wenn man in dieser Gleichung für $x$ den Wert $0$ einsetzt, erhält man:
$y=-\frac14\cdot 0-3=-3$.
Der Punkt $(0|-3)$ kann auch der Wertetabelle entnommen werden.
-
Gib jeweils den $y$-Achsenabschnitt der Funktion an.
TippsDer $y$-Achsenabschnitt ist der Wert der „alleine“ (ohne $x$) steht.
Beachte, dass die Reihenfolge auch vertauscht werden kann:
Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion könnte auch so geschrieben werden:
$y=b+m\cdot x$.
LösungDie allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=m\cdot x+b$.
- Der Faktor $m$ vor der Variablen $x$ ist die Steigung.
- Der Wert $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt.
Die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt kann man direkt aus der Funktion ablesen. Der Faktor bei dem $x$ ist dabei immer die Steigung.
- $y=2-x$: Hier ist $b=2$. Man könnte diese Gleichung auch schreiben als $y = -x + 2$.
- $y=-0,5x+4$: Hier ist $b=4$.
- $y=2+x$: Hier ist $b=2$.
- $y=4$: Hier ist $b=4$.
- $y=3-0,3x$: Hier ist $b=3$.
-
Untersuche die Funktionen auf gemeinsame $y$-Achsenabschnitte.
TippsSchaue dir die Stelle an, wo die Graphen die $y$-Achse schneiden.
Diesen Punkt nennt man $y$-Achsenabschnitt.
Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet wie folgt:
$y=m\cdot x+b$.
Dabei ist $b$ der $y$-Achsenabschnitt.
LösungDen $y$-Achsenabschnitt kann man ablesen: Es ist die Zahl, welche an der Stelle steht, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet.
- Die blaue Gerade hat den $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Sie ist der Graph einer proportionalen Funktion.
- Die grüne und rote Gerade haben den gleichen $y$-Achsenabschnitt bei $b=-4$.
- Die orange Gerade hat den $y$-Achsenabschnitt $b=-3$.
-
Gib an, welcher Teil der linearen Funktion für den $y$-Achsenabschnitt steht.
TippsDer $y$-Achsenabschnitt ist weder ein Relations- noch ein Operationszeichen.
Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$.
Wenn du $x=0$ in der Funktionsgleichung erhältst du einen Punkt des Graphen, welcher auf der $y$-Achse liegt.
LösungAus welchen Teilen besteht eine lineare Funktion und welche Bedeutung haben sie?
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die eine Funktionsgleichung der Form $y=m\cdot x+b$ hat.
Dabei ist...
- ...$m$ die Steigung.
- ...$b$ der $y$-Achsenabschnitt.
- ...$y$ der Funktionswert.
- ...$x$ die Funktionsvariable.
- ...$=$ ein Relationszeichen.
- ...$+$ das Operationszeichen für die Addition.
-
Berechne den $y$-Achsenabschnitt der Geraden, die durch die vorgegebenen Punkte geht.
TippsEs gibt mehrere Wege diese Aufgabe zu lösen.
Du kannst entweder die beiden Punkte einzeichnen, verbinden und den $y$-Achsenabschnitt ablesen oder die Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen.
Die Steigung der linearen Funktion ist gegeben durch die Differenz der $y$-Werte geteilt durch die Differenz der $x$-Werte.
Die Steigung der linearen Funktion ist gegeben durch $m=3$.
Um den $y$-Achsenabschnitt zu bestimmen, musst du einen der beiden Punkte in der Funktionsgleichung einsetzen und $b$ ausrechnen:
$y=3x+b$.
LösungWenn man den $y$-Achsenabschnitt bestimmen will, kann man auf verschiedene Arten vorgehen. Möglich ist es bspw. ...
- ...die Funktionsgleichung aufzustellen.
- ...die beiden Punkte in ein Koordinatensystem zu zeichnen, diese zu verbinden und den $y$-Achsenabschnitt abzulesen.
Hier angewendet ergibt sich also:
$m=\frac{5-2}{4-3}=\frac31=3$.
Der $y$-Achsenabschnitt ergibt sich durch Einsetzen eines der beiden Punkte in der Funktionsgleichung $y=3x+b$:
$\begin{array}{rcll} 2&=&3\cdot3+b&|-9\\ -7&=&b \end{array}$
Die Funktionsgleichung lautet also $y=3x-7$ und der $y$-Achsenabschnitt ist $-7$.
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10 Kommentare
beschte
heftig gut erklärt
sehr gutes video
Wow, er ist erwachsen geworden, thx
Sehr gutes Video .