Was ist eine Nullstelle?

Was ist eine Nullstelle? Übung

• Gib an, welche Aussagen zu Nullstellen korrekt sind.

  Tipps

  Hier siehst du die Definition für den Begriff Nullstelle:

  Jeder $x$-Wert, für den eine Funktionsgleichung den $y$-Wert $0$ annimmt, nennt man Nullstelle.

  Hier siehst du den Graphen einer linearen Funktion. Diese Funktion hat eine Nullstelle bei $6$.

  Betrachte die Funktionsgleichung $y = 6x +3$. Hier siehst du die Nullstellenberechnung:

  $ \begin{array}{rcrl} 6x + 3 & = & 0 & \vert -3\\ 6x & = & -3 & \vert :6 \\ x & = & -0,5 \end{array} $

  Die Nullstelle der Funktion liegt bei $x=-0,5$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe siehst du verschiedene Aussagen zum Thema Nullstellen. Einige davon sind richtig, andere sind falsch.

  Als Nullstelle bezeichnet man in der Mathematik eine Zahl $x$, für die $f(x) = 0$ ist. Wenn du also in eine Funktion für $x$ den Wert $4$ einsetzt und $y=0$ erhältst, dann ist $4$ eine Nullstelle.

  Jeder Punkt eines Graphen, der die $x$-Achse schneidet bzw. berührt, hat den $y$-Wert $0$. Das heißt, dass ein Graph bei der Nullstelle die $x$-Achse schneidet bzw. berührt.

  Um eine Nullstelle rechnerisch zu ermitteln, setzt du für $y$ bzw. $f(x)$ den Wert $0$ ein und rechnest den Wert für $x$ aus.

• Beschreibe die Eigenschaften von Nullstellen.

  Tipps

  Die Definition einer Nullstelle siehst du hier:

  Jede Zahl $x$, für die $f(x) = 0$ ist, ist eine Nullstelle der Funktion $f$.

  Hier siehst du den Graph einer linearen Funktion. Dieser hat eine Nullstelle bei $x = 3$. Welchen $y$-Wert kannst du bei $x=3$ ablesen?

  Der $y$-Wert einer Nullstelle ist immer $0$. Zur Berechnung des $x$-Wertes setzt du für $y$ den Wert $0$ ein und stellst die Funktionsgleichung um.

  Lösung

  In dieser Aufgabe werden einige Eigenschaften von Nullstellen bestimmt.

  Eine Funktion $f(x)$ ordnet jedem $x$-Wert (des Definitionsbereichs) genau einen $y$-Wert zu. Andersrum muss das nicht stimmen.

  Um das zu sehen, betrachten wir die Funktion $f(x) = x^2$. Mit den $x$-Werten $x=2$ und $x=-2$ erhalten wir für die $y$-Koordinate den Wert $4$. Die Funktion ordnet also beiden Werten den Wert $y=4$ zu. Das heißt umgekehrt, dass bei dieser Funktion dem $y$-Wert $4$ zwei $x$-Werte zugeordnet werden.

  Alle $x$-Werte, für die der $y$-Wert $0$ ist, nennen wir Nullstelle.

  Nun schauen wir uns ein Beispiel an: Die lineare Funktion $y = -\frac{1}{3}x + 15$ hat eine Nullstelle. Beachte, dass bei Funktionen immer $f(x) = y$ gilt. Wir könnten also auch $f(x) = -\frac{1}{3}x + 15$ schreiben.

  Um die Nullstelle der Funktion auszurechnen, setzt du für $y$ den Wert $0$ ein und stellst die Gleichung um. Dies siehst du hier:

  $ \begin{array}{rcrl} -\frac{1}{3}x + 15 & = & 0 & \vert -15\\ -\frac{1}{3}x & = & -15 & \vert :-\frac{1}{3} \\ x & = & 45 \end{array} $

  Der Graph $G_f$ einer Funktion $f(x)$ schneidet bzw. berührt die $x$-Achse bei jeder Nullstelle. In anderen Worten: Jeder Punkt auf der $x$-Achse hat den $y$-Wert $0$.

  Das Prinzip der Nullstellenberechnung lässt sich auch auf Probleme wie $f(x) = 78$ anwenden. Dazu musst du auf die Gleichung in die entsprechende Form bringen und auf beiden Seiten $78$ subtrahieren. Dann hast du eine Gleichung der Form $f(x) - 78 = 0$. Dies ist dann wieder ein Nullstellenproblem.

• Ermittle die Nullstellen der Funktion $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$.

  Tipps

  Bei einer Nullstelle ist der $y$-Wert der Funktion immer $0$.

  Die $p$-$q$-Formel kannst du auf Gleichungen der Form $x^2 + px + q$ anwenden.

  Lösung

  In dieser Aufgabe siehst du die Nullstellenberechnung einer quadratischen Funktion.

  Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$.

  Da eine Funktion bei einer Nullstelle immer den $y$-Wert $0$ annimmt, führt dies zum ersten Schritt. Die Berechnung der Nullstellen wird mit Hilfe der $p$-$q$-Formel gezeigt. Dazu muss vorher der Faktor vor dem $x^2$ eliminiert werden.

  Hier siehst du die Rechnung:

  $ \begin{array}{rcrl} 2x^2 - 12x +10 & = & 0 & \vert :2\\ x^2 - 6x + 5 & = & 0 & \vert\ p\text{-}q\text{-Formel}\\ \end{array} $

  Durch die Anwendung ergibt sich:

  $x_{1,2} = \frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 - 5}$.

  Die einzelnen Rechnungen siehst du hier:

  $\begin{array} x_{1} = \frac{6}{2} - \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 - 5} = 1 \\ x_{2} = \frac{6}{2} + \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 - 5} = 5 \end{array}$

• Bestimme die gesuchten Nullstellen.

  Tipps

  Ersetze jeweils in der Funktionsgleichung $f(x)$ mit dem Wert $0$ und bestimme $x$.

  Hier siehst du, wie du die Nullstellen einer linearen Funktion berechnest. Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = 2x+10$.

  $ \begin{array}{rcrl} f(x) & = & 2x + 10 & \vert\ \text{gleich }0\text{ setzen}\\ 2x + 10 & = & 0 & \vert -10\\ 2x & = & -10 & \vert :2 \\ x & = & -5 \end{array} $

  Die Nullstelle der Funktion ist $-5$.

  Hier siehst du, wie du die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnest. Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = x^2 + 5x - 14$.

  $ \begin{array}{rcrl} f(x) & = & x^2 + 5x - 14 & \vert\ \text{gleich }0\text{ setzen}\\ x^2 + 5x - 14 & = & 0 & \vert\ p\text{-}q\text{-Formel anwenden}\\ \end{array} $

  Das ergibt folgende Nullstellen:

  • $x_1 = -\frac{5}{2} - \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 14} = -7$
  • $x_2 = -\frac{5}{2} + \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 14} = 2$

  Lösung

  In dieser Aufgabe sollst du Nullstellen von linearen und quadratischen Funktionen berechnen. In der Lösung siehst du je ein Beispiel.

  Nullstelle einer linearen Funktion

  Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = 7x + 3$. Zuerst ersetzt du $f(x)$ durch den Wert $0$. Das ergibt $7x + 3 = 0$. Anschließend subtrahierst du auf beiden Seiten der Gleichung $3$ und dividierst durch $7$ um $x$ zu isolieren.

  Das ergibt zuerst $7x = -3$ und dann $x = -\frac{3}{7}$. Damit hast du die Nullstelle gefunden.

  Nullstellen einer quadratischen Funktion

  Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = 2x^2 - 8x - 4,5$. Auch hier ersetzt du zuerst $f(x)$ durch den Wert $0$. Anschließend musst du, um die $p$-$q$-Formel anwenden zu können, auf beiden Seiten der Gleichung durch $2$ dividieren. Insgesamt erhältst du $x^2 - 4x - 2,25 = 0$.

  Nun wendest du die $p$-$q$-Formel an und erhältst folgende Gleichungen:

  • $x_1 = \frac{4}{2} - \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 + 2,25} = -0,5$
  • $x_2 = \frac{4}{2} + \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 + 2,25} = 4,5$

  Die Nullstellen der beiden hier nicht aufgeführten Funktionen lassen sich analog berechnen.

• Bestimme die Graphen, deren Funktion mindestens eine Nullstelle aufweist.

  Tipps

  Bei der Nullstelle einer Funktion schneidet bzw. berührt der zugehörige Graph die $x$-Achse.

  Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Alle linearen Funktionen mit einer Steigung ungleich $0$ haben genau eine Nullstelle.

  Wenn eine lineare Funktion die Steigung $0$ hat, so ist der Graph dieser Funktion parallel zur $x$-Achse.

  Wenn eine solche Funktion entlang der $y$-Achse verschoben wird, so hat sie keine Nullstelle mehr, da die $x$-Achse nicht geschnitten wird.

  Graphen von quadratischen Funktionen sind Parabeln. Eine nach oben geöffnete Parabel, die nach oben verschoben ist, hat keine Nullstelle.

  Lösung

  In dieser Aufgabe siehst du, wie man anhand von Graphen erkennt, ob die zugehörigen Funktionen Nullstellen aufweisen.

  Den $x$-Wert, für den die Funktion den Wert $y=0$ annimmt, nennt man Nullstelle.

  Um erkennen zu können, ob die Funktion eines gegebenen Graphen eine Nullstelle besitzt, schaust du, ob der Graph die $x$-Achse schneidet bzw. berührt.

  Hier siehst du die Lösungen:

  1. Der Graph der linearen Funktion geht durch den Koordinatenursprung $O(0|0)$. Die Nullstelle der Funktion ist somit $x=0$.
  2. Dieser Graph hat die Steigung $m=0$. Dadurch ist der Graph parallel zur $x$-Achse. Da er entlang der $y$-Achse um $2$ Einheiten nach unten verschoben ist, hat er keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse und somit hat die zugehörige Funktion auch keine Nullstelle.
  3. Hier siehst du den Graphen einer quadratischen Funktion. Diese nach oben geöffnete Parabel ist nach unten verschoben und hat dadurch zwei Nullstellen. Diese sind bei $x = -3$ und $x = -1$.
  4. Hier siehst du einen Graphen, der die $x$-Achse nicht schneidet. Die zugehörige Funktion hat also keine Nullstelle.

• Untersuche die jeweilige Funktion auf Nullstellen.

  Tipps

  Wenn in einem Term in jedem Summand ein $x$ vorkommt, kannst du ausklammern.

  Schau dir zum Beispiel die Gleichung $3x^2 + 4x = 0$ an. Durch Ausklammern von $x$ erhältst du $x(3x + 4) = 0$. Nun kannst du die beiden Faktoren $x$ und $(3x+4)$ einzeln betrachten.

  Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu ermitteln, kannst du die $p$-$q$-Formeln anwenden.

  Für die Funktion $f(x) = x^2 + px + q$ lautet diese $-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$.

  Wenn bei einer solchen Berechnung unter der Wurzel ein negativer Term entsteht, dann hat die zugehörige Funktion keine Nullstelle.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es nicht nur darum Nullstellen von Funktionen berechnen zu können, sondern auch zu erkennen, ob bzw. wie viele Nullstellen eine Funktion hat.

  Hier siehst du nun die Lösungen:

  1. Funktion: $f(x) =5x^2+10x$

  $ \begin{array}{rcrl} 5x^2 + 10x & = & 0 & \vert\ \text{ausklammern}\\ x(5x + 10) & = & 0 \end{array} $

  Nun kannst du die beiden Faktoren einzeln betrachten. Das führt zu $x=0$ und $5x+10=0$. Die erste Gleichung ist schon in einer Form, bei der du die Lösung ablesen kannst. Bei der zweiten Gleichung musst du auf beiden Seiten $10$ subtrahieren und anschließend durch $5$ dividieren. Das führt dich zu $x = -2$. Nun hast du beide Nullstellen errechnet.

  2. Funktion: $f(x) = 7x + 7$

  Dies ist eine lineare Funktion. Solche Funktionen haben maximal eine Nullstelle. Du berechnest diese wie folgt:

  $7x + 7 = 0 \Leftrightarrow 7x = -7 \Leftrightarrow x = -1$.

  3. Funktion: $y = 4$

  Dies ist eine konstante Funktion. Der Graph dieser Funktion ist eine zur $x$-Achse parallele Gerade, die entlang der $y$-Achse um $4$ Einheiten nach oben verschoben ist. Eine solche Funktion hat keine Nullstelle.

  4. Funktion: $f(x) = x^2 - 6x + 10$

  Dies ist eine vollständige quadratische Funktion. Bei einer solchen Funktion bietet sich die Nutzung der $p$-$q$-Formel an. Dies führt dich zu der Gleichung $x_{1,2} = \frac{6}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{6}{2}\right)^2 -10}$. Da der Wert unter der Wurzel negativ ist, hat diese Funktion keine Nullstelle.

  5. Funktion: $f(x) = 2x^2 -4x-16$

  Diese Funktionsgleichung führt zur Gleichung $2x^2 - 4x -16 = 0$. Auch hier bietet sich wieder die $p$-$q$-Formel an. Zuerst muss jedoch der Faktor vor dem $x^2$ eliminiert werden. Dazu dividierst du auf beiden Seiten durch $2$. Hier siehst du die komplette Rechnung:

  $ \begin{array}{rcrl} 2x^2 -4x-16 & = & 0 & \vert\ :2\\ x^2 -2x -8 & = & 0 & \vert\ p\text{-}q\text{-Formel anwenden}\\ x_{1,2} = \frac{2}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{2}{2}\right)^2 + 8}\\ \end{array} $

  Du kommst also zu diesen beiden Lösungen:

  • $x_{1} = \frac{2}{2} - \sqrt{\left (\frac{2}{2}\right)^2 + 8} = -2$
  • $x_{2} = \frac{2}{2} + \sqrt{\left (\frac{2}{2}\right)^2 + 8} = 4$